Дидактические материалы по теме 'Квадратные уравнения'

Материалы подготовила учитель математики и физики Полетайкина В.Н.

Квадратные уравнения.

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Во всех современных школьных учебниках алгебры и термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более, необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен несколькими различными способами: сразу для общего или сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению х² - а = 0 или к уравнению х² = а. Но в любом случае приходится использовать выделение полного квадрата в трехчлене ах²+ вх+ с, сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения ах²+ вх + с = 0 отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный - в/2а; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня »

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

В ряде учебников, кроме основной формулы для корней квадратного уравнения

ах² + вх + с = 0, приводятся еще формулы корней уравнения х²+ рх+ q= 0 или х²+ 2рх+ q=0. Иногда использование этих формул упрощает вычисления, при наличии времени полезно их рассмотреть.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным сводятся

дробно-рациональные уравнения вида = к и биквадратные уравнения.

Еще один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители
могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие
приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к
квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения
методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому
методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает
также сложность перевода на язык математики. В целом можно сказать, что освоение темы
«Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения
содержанием школьной математики.

Одним из главных средств обучения математики является дидактический материал. Он побуждает учащихся к проявлению самостоятельности, активизирует их мыслительную деятельность в процессе усвоения учебного материала. Особенно следует отметить достоинство дидактических материалов по математике, используемых для индивидуальной работы с учащимися. Их применяют в различных целях: для формирования знаний, умений и навыков; проверки качества их усвоения; работы по ликвидации пробелов в знаниях. Дидактический материал позволяет обеспечить соответствующий объем, степень сложности и темп работы каждого ученика в классе.

Разработанные дидактические материалы помогут учащимся овладеть различными приёмами работы с квадратными уравнениями.

Тест №1 Квадратные уравнения и его корни.

1. Какое из уравнений является квадратным:

1. 5х² - 4/х = 0 3) 4х + 3 = 0

2) х² - 2 х ³ + 7 = 0 4) 1,2 х² - 3х +1 = 0?

2.В квадратном уравнении 7х + 6 - 2х² + 1 укажите его коэффициенты:

1) а =7, в = 6, с = -2; 3) а = -2, в =7, с = 6,

2) а=7, в = -2, с = 6, 4)а = -2, в = 6, с = 7.

3) Определите, какое из приведённых уравнений является равносильным уравнению

х² + (2- х)(1+2х) = 6

1) 3х² + 5х +2 = 0 3) х² +3х -2 = 0

2) - х² +3х +2 = 0, 4) - х² - 3х + 2 = 0

4) Найдите корни уравнения 6в² - 54 = 0:

1) 0, 3; 2) -3. 3; 3) не имеет корней; 4) 3;

5) Какие из чисел -4, -2, -1, 0, 2 являются корнями квадратного уравнения 4 х² + 8х = 0

1) -2, 0; 2) 0, 2; 3) -4,-1; 4) -4, 0?

6) Решите уравнение 1 - 4у +3 у² = у² -4у +9

1) -2, 0; 2) -2, 2; 3) 2; 4) 0.

Тест №2 Формула корней квадратного уравнения.

1. Вычислите дискриминант квадратного уравнения 2х² -5х + 3 = 0:

1) 49; 2) -1; 3) 1; 4) 25.

2. Определите, имеет ли квадратное уравнение х² +7х +6 = 0 корни, и если имеет, то сколько:

1) имеет один корень; 2) не имеет корней; 3) имеет два корня.

3. Найдите корни уравнения х² + 10х +9 = 0

1) -1, -9; 2) -1, 9; 3) -9,1; 4) 1,9.

4. Решите квадратное уравнение 4х² +10х +9 = 0:

1) 3/4,1; 2) -1, 3/4; 3) 3/8, 1; 4) - 3/4,1.

5. Решите уравнение 5у² = 9у +2:

1) -2, 1/5; 2)-1/5, 2; 3) 4/5, 2; 4) 1/5, 2.

6. Найдите корни уравнения ( х² +5х) / 2 - 1 = 2:

1) 1, 6; 2) -1, 6 3) -1, -6; 4) -6, 1.

Тест №3 Теорема Виета.

1. Найдите сумму корней уравнения х² +18х -11 = 0

1)18; 2) 11; 3) -18; 4) 1

2. Найдите произведение корней уравнения х² +27х - 24 = 0

1) 27; 2) -24; 3)1; 4) 24.

3. Найдите сумму корней уравнения 5х² +10х - 3 = 0:

1) 10; 2) -10; 3) -2; 4) 2.

4. Найдите произведение корней уравнения 3х² - 16х +9 = 0:

1) 3; 2) 9; 3) -9; 4) 16

5. В уравнении х² + рх -16 = 0 один из корней равен 8. Найдите второй корень и коэффициент р:

1) х₂ = 2, р = -10; 3) х₂ = -2, р=-6;

2) х₂ = -2, р=6; 4) х₂ = 2, р= 10.

6. один из корней уравнения х² +7х +q = 0 равен -2. Найдите второй корень и коэффициент q:

1) х₂ = -5, q = 10; 3) х₂ =5, q = 10

2) х₂= 5, q = -10 4) х₂= -5, q = -10;

7. Найдите подбором корни уравнения х² -15х +56 = 0:

1) 4,14; 2) -7, 8; 3) 5, 10; 4) 7,8.

Тест № 4 Дробно - рациональные уравнения

1. Какое из уравнений является дробно - рациональным:

1) 3)

2) 4) 2х + 8 = 14(7 - х)?

2. Решите уравнение

1) 2 2) - 1 3) 1 4) 3

3. Решите уравнение

1) -2 2) 5 3) 2 4) - 1

4. Найдите корни уравнения

1) 1, 5 2) - 2, 3 3) - 3, 2 4) 2, 3

5. Определите, при каком значении х значение функции у = равно 2:

1) 4 2) 3 3) 8 4) 9

Тест №5 Итоговый

1. Какое из уравнений является квадратным:

1) 3) 5х² - 20 = 0

2) х³ - 2х + 1 = 0 4) 22х -

2. Укажите в квадратном уравнении 4х - 3х² + 7 = 0 его коэффициенты:

1) а = 3, в = 4, с = 7 3) а = - 3 в = 4, с = 7

2) а = 4, в = 3, с = 7 4) а = 7, в = 4, с = 3

3. Решите уравнение 3а² - 27 = 0:

1) 4, 3 2) 3 3) - 3 4) - 3, 3

4. Определите, сколько корней имеет квадратное уравнение 4х² - 4х + 1 = 0:

1) два корня 2) не имеет корней 3) один корень

5. Решите уравнение 2х² + 3х - 5 = 0

1) 1; 2,5 2) - 1; 2,5 3) - 2,5; 1 4) 1; 5

6. Найдите корни уравнения х(2х + 4) = 6:

1) - 1, 3 2) 1, 3 3) - 2, 3 4) - 3, 1

7. Чему равно произведение корней уравнения 2х² + 11х - 14 = 0:

1) 14 2) - 14 3) - 7 4) 7

8. Один из корней уравнения х² + рх + 8 = 0 равен 4. Найдите коэффициент р:

1) 6 2) 5 3) - 6 4) 2

9. Решите уравнение

1) - 1, 1 2) - 2, 3 3) 1, 4) - 1, 1

Ответы:

Тест № 1

Тест № 2

Тест №3

Тест №4

Тест №5

Номер вопроса

Номер ответа

Номер вопроса

Номер ответа

Номер вопроса

Номер ответа

Номер вопроса

Номер ответа

Номер вопроса

Номер ответа

1

4

1

3

1

3

1

3

1

3

2

3

2

3

2

2

2

3

2

3

3

2

3

1

3

3

3

3

3

4

4

2

4

4

4

1

4

4

4

3

5

1

5

2

5

3

5

4

5

4

6

2

6

4

6

1

6

3

7

4

7

2

8

3

9

1

Тест №6 «Решение задач на составление квадратного уравнения»

№ 1. Решите задачу:

Двум рабочим было поручено изготовить по 100 одинаковых деталей. Один из них изготовлял на 5 деталей в час больше, чем другой. Сколько часов работал рабочий с
наибольшей производительностью труда, если на всю работу ими было затрачено 9 часов?

Варианты ответов:

1)3 ч; 2) 6,5 ч ; 3) 2,5 ч ; 4) 4 ч

№ 2. Решите задачу:

В колхозе обработали для сева 300 га земли. Если бы колхоз имел на 3 трактора больше, то работу закончили бы на 6 дней раньше. Сколько тракторов было в колхозе, если один трактор обрабатывал за день 15 га земли?

Варианты ответов:

1) 5; 2) 2; 3) 6 4)3.

№ 3. Решите задачу:

Лодка прошла 3 км по течению реки и 2 км против течения за то же время, какое понадобилось бы ей, чтобы проплыть 6 км в стоячей воде. Зная, что скорость лодки
в стоячей воде равна 4 км/ч, найти скорость течения реки.
Варианты ответов:

1) 1,6 км/ч; 2) 0,8 км/ч; 3)2 км/ч; 4)2,4км/ч.

№ 4. Решите задачу:

Катер прошел 10 км по течению реки и 24 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Найти скорость течения реки, если собственная скорость катера 18 км/ч.

Варианты ответов:

1) 2 км/ч; 2) 7 км/ч; 3) 2,5 км/ч; 4) 6,5 км/ч.

№ 5. Решите задачу:

Две машинистки, работая вместе, могут выполнить задание за 3 ч. Сколько времени потребуется для выполнения этого задания первой машинистке, если она может выполнить все задание на 8 ч быстрее второй?

Варианты ответов:

1) 4ч; 2) 6 ч; 3) 5ч; 4) 7 ч.

№ 6. Решите задачу:

Два грузовика, работая вместе, перевезли овощи в течение 4 ч. За какое время перевезет ту же массу овощей второй грузовик, если первому нужно для этого на 6 ч больше, чем второму?

Варианты ответов:

1) 4ч; 2) 6 ч; 3) 12 ч; 4) 10 ч.

№ 7. Решите задачу:

За 6 м сатина и 6 м ситца было заплачено 1530 р. Найти цену 1 м ситца, если 5 м сатина стоят столько же, сколько стоят 12 м ситца.

Варианты ответов:

1) 180 р.; 2) 75 р.; 3) 65 р.; 4) 135 р.

№ 8. Решите задачу:.

За 9 кг бананов и 9 кг винограда было заплачено 37 80 р. Найти цену 1 кг бананов, если известно, что 4 кг винограда стоят столько же, сколько стоят 3 кг бананов.

Варианты ответов:

1) 180 р.; 2) 195 р.; 3) 260 р.; 4) 240 р.

Тест №7. Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное утверждение или правильная формулировка определения, правила.

1 …………….. уравнением называется уравнение вида ах² + вх +с =0, где а, в, с-некоторые числа, а≠0, х - неизвестное.

2. Уравнение х² = с, где с >0, имеет корни х_{1 = ………..} х_{2 =…………}.

3. Уравнение ах² =0, где а ≠0, называют ……………………квадратным уравнением.

4. Уравнение вида ах² +вх =0, где а ≠0 и в ≠ 0 называют …………………..квадратным уравнением.

5. Если ах² +вх +с =0 - квадратное уравнение ( а ≠0 ), то в называют ………………..коэффициентом.

6. Корни квадратного уравнения ах² +вх +с =0 вычисляются по формуле х_{1,2 =}

7. Квадратное уравнение ах² +вх +с =0 (а ≠0) имеет два различных действительных корня, если

в² - 4 ас ……….( , ) 0.

8. Приведённое квадратное уравнение х² + рх + g = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а =….., в =….., с =……

9. Если х₁ и х₂ - корни уравнения х² + рх + g =0, то справедливы формулы х_{1 +} х₂ =......., х_{1 *} х₂ = …..,

10 ^* Если х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения ах² +вх +с =0, то при всех х справедливо равенство

ах² +вх +с = а (……..) (…….)

Оценочная таблица

№ задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10^*

Балл

1

2

1

1

1

2

1

2

2

2

Тест 8. Установите, истинны или ложны утверждения:

1. Для уравнения -9х² + 2х - 4 = 0 приведённым является уравнение

х² - х + = 0

2. Не решая уравнение х² - 5х + 3 = 0, можно сказать, что корни его имеют одинаковые знаки.

3. Числа -11 и 2 являются корнями уравнения х² + 9х - 22 = 0

4. Числа х₁= и х₂ = - не являются корнями уравнения х² = -

5. Если а = 3, в = 7, с = - 1 - коэффициенты квадратного уравнения, то оно запишется так: 3х² + 6х + 1 = 0.

6. Уравнение 2х² - 6х + 3 = 0 не имеет действительных корней.

7. Уравнение (5 - х)( 3х + 4) = 0 имеет корни х₁ = 5 и х₂ =

8. Уравнение х² + 6х + к = 0 имеет один корень, если к = 9

10.^* Если произведение двух последовательных натуральных чисел равно 992, то сами числа равны 31 и 32.

Оценочная таблица

Номер задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10^*

Балл

1

1

2

2

1

3

3

3

4

5

Зачёт по теме «Решение квадратных уравнений»

1. Покажите с помощью стрелки, сколько корней имеет уравнение: один корень, два корня или не имеют корней.

х² = 16

3х² + 8 = 0

Два корня

Один корень

Нет корней

х² = х

12х² + 1 = 0

6х - х² = 0

5х² = 0

2. Решите уравнение 7х² + 13х - 2 = 0.

D = 169 + 56 = 225, х = , х = ,

х₁ = -2, х₂ = .

3. При каких значениях трёхчлен 3х² - х - 3 и двучлен х² + 4х принимают равные значения?

3х² - х - 3 = х² + 4х

2х² - 5х - 3 = 0

D = 25 + 24 = 49, х = , х = ,

х₁ = -, х₂ = 3.

4. Из данных уравнений выберите те, которые равносильны уравнению х² + 7х - 8 = 0

А. х² + 7х = 8 В.

Б. 0,2х² + 1,4х - 1,6 = 0 Г.

5. При каком значении а один из корней уравнения ах² - х - 8 = 0 равен 2?

а· 4 - 2 - 8 = 0

4а = 10

а = 2,5

Дополнительно.

6. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = х² и прямой у = х + 12.

х² = х + 12

х² - х - 12 = 0

D = 1 + 48 = 49, х = ,

х₁ = -3, х₂ = 4

Если х = - 3, то у = (- 3)² = 9, если х = 4, то у = 4² = 16.

Графики пересекаются в точках (- 3; 9), (4; 16).

7. При каких значениях р уравнение

(р - 4)х² + (р² - 16)х - 9 = 0 является неполным квадратным уравнением?

Р² - 16 = 0, р = 4 или р = - 4.

При р = 4 уравнение не является квадратным. Искомое значение р = - 4.

8. Найдите значения т, при которых уравнение

х²-тх + т + 3 = 0

имеет единственный корень.

D = т²-4(т + 3),

т² - 4т - 12 = 0,

= 4 + 12 = 16, m = ,

m₁ = - 2, m₂ = 6.