Конспект урока по теме 'Производная функции'

Конспект урока.

Тема: «Производная функции и её применение».

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Производная функции

и ее применение».

Задачи: образовательные:

совершенствовать технику дифференцирования; повторить геометрический смысл производной, применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания, экстремумов функции;

развивающие:

развивать умения наблюдать, классифицировать, анализировать математические ситуации, математическую речь, коммуникативную способность учащихся;

воспитательные:

воспитывать такие качества личности, как познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

Оборудование: мультимедийный проектор, слайды, созданные в программе Microsoft Power Point, компьютеры, программный продукт «Geogebra».

Структура урока:

1. Организационный момент (1 мин).

2. Объявление темы урока, постановка цели и задач (1 мин).

3. Повторение теоретического материала.

• Правил дифференцирования (2 мин).

• Таблицы производных (2 мин).

Разминка - устные упражнения (7 мин).

Видеоролик «Из истории возникновения производной функции» (1 мин).

Найди ошибку (5 мин).

4. Проверка знаний (построение касательной функции в точке, графика производной функции в программе «Geogebra».) (15 мин).

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, экстремумов функции (6 мин).

5. Итог урока (1 мин). Составление синквейна (4 мин).

Ход урока.

1. Организационный момент

Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку.

Здравствуйте, ребята! На предыдущих занятиях мы познакомились с понятием производной, с ее физическим и механическим смыслом, научились составлять уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х. Хотелось бы научить вас видеть в математической модели - функции - привычность, понятность, красоту.

2. Объявление темы урока, постановка цели и задач

На экране появляется слайд: «Производная функции».

Сегодня мы проводим повторительно - обобщающий урок по теме «Производная функции и её применение».

В ходе урока нам предстоит выяснить:

• насколько хорошо вы научились дифференцировать функции

• вычислять значение производной в точке

• составлять уравнение касательной функции в точке

Данную тему необходимо знать каждому учащемуся очень хорошо, чтобы в дальнейшем научиться проводить исследование функций с помощью производных и строить графики различных функций. Это основное применение производной.

3. Повторение теоретического материала.

Начинаем работу с повторения теории.

Дайте определение производной функции.

На доске слайд со стихотворением о производной функции.

В данной функции от икс, наречённой игреком,
Вы фиксируете икс, отмечая индексом,
Придаёте вы ему тотчас приращение,
Тем у функции самой вызвав изменение.
Приращений тех теперь взявши отношение,
Пробуждаете к нулю у дельта икс стремление.
Предел такого отношенья выясняется,

Он производною в науке называется!

Повторение правил дифференцирования.

На экране появляется слайд «Правила вычисления производных».

Учащиеся проговаривают каждое правило. Учитель акцентирует внимание учащихся на грамотности математической речи.

Повторение таблицы производных.

На экране появляется слайд «Таблица производных функций».

Учащиеся фронтально повторяют таблицу производных элементарных функций, выходят к интерактивной доске и дописывают продолжение формулы.

На данном этапе учащимся предлагается выполнить задание: для каждой функции из левого столбца найти ее производную из правого столбца.

В результате верного выполнения задания мы выясним, с именами каких ученых связан термин «производная». Ответ: Лейбниц, Ньютон.

Критерии оценивания данного задания:

• Оценка «5» - 13

• Оценка «4» - 10-12

• Оценка «3» - 7-10

• Оценка «?» - 0-6

В конце 17 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S'(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, химией, биологией, и техническими науками. В математике производная функции характеризует крутизну графика, в механике - скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии - скорость размножения микроорганизмов, в химии - скорость химической реакции.

Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.
Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу.
К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.
Термин производная и современные обозначения y' , f ' ввёл Жозеф Луи Лагранж в 1797г.

Далее учащимся предложено посмотреть видеоролик «Из истории возникновения производной функции».

Задание: найди ошибку

Очень важно уметь не только правильно выполнять задание, но и находить ошибки. Учащимся предлагается задание: посмотреть на решение и, если смогут найти ошибку, указать ее. На экране появляется слайд «Найдите ошибку». Учащиеся, если находят ошибку, то указывают её и говорят правильное решение.

Вопрос учителя учащимся: в чем заключается геометрический смысл производной?

4. Контроль за ЗУН учащихся.

Задание: Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = - 3 + 5 в точке с абсциссой х = 3. Ответ проверьте в программе Geogebra. Для этого постройте график функции, возьмите точку А на графике и постройте касательную функции в данной точке. Слева на панели вы увидите уравнение касательной, если уравнение правильно составлено, то поднимите руку. Затем постройте график производной функции для данной функции. Ответ: y=9x-22.

Задание. Построить в GeoGebra производную функции в точке с опорой на ее геометрический смысл, т.е. построить точку D.

Шаг.1. Открыть программу Geogebra 4.0, двойным щелчком мыши по значку программы на рабочем столе.

Шаг 2. С использованием строки ввода построим график функции . Для этого внизу экрана найти строку ввода, в ней набрать:

Нажать клавишу Enter.

Шаг 3. Отметить произвольную точку А на графике функции с помощью инструмента «Точка на объекте». Будем читать, что точка А, как свободный объект имеет координаты , где произвольное число.

Шаг 4. Построим касательную к графику функции в точке А. Для этого найти на панели инструментов инструмент «Касательная». Нажать на него левой кнопкой мыши. Указать левой кнопкой мыши точку касания, затем график функции. Появится прямая а.

Шаг 5. Отметить начало координат с помощью инструмента - «Пересечение двух объектов». Укажите на него левой кнопкой мыши, затем укажите на начало координат. Появится точка В(0;0).

Шаг 6. Переименовать точку В в точку О. Для этого подвести указатель мыши к точке В, нажать правую кнопку. В открывшемся диалоговом окне выбрать «Переименовать». Войти во вкладку и заменить В на О. Нажать Оk.

Шаг 7. Перенесем касательную к графику функции в начало координат. Для этого надо воспользоваться инструментом - «Параллельная прямая». Указать левой кнопкой мыши на инструмент, затем - на точку О и построенную ранее касательную к графику функции. Появится прямая b, параллельная касательной.

Шаг. 8. Отметим на прямой b точку С с координатами .

Для этого с помощью инструмента - «Точка» отметить на оси абсцисс точку В (1;0),

затем с помощью инструмента - «Перпендикулярная прямая» провести через точку В прямую с, перпендикулярную к оси абсцисс, показав инструментом сначала на точку В, затем на Ох.

Построить точку С как точку пересечения прямых b и c с помощью инструмента - «Пересечение двух объектов» (для этого сначала указать на инструмент, затем на прямые b и с).

Шаг 9. Используя точку С построим искомую точку D с координатами . Для этого, пользуясь инструментом - «Параллельная прямая» провести через точку С прямую, параллельную оси Ох. С помощью того же инструмента через точку А провести прямую, параллельную оси Оу. Найти точку D как точку их пересечения с помощью инструмента - «Пересечение двух объектов».

Шаг 10. Для повышения наглядности чертежа изменим цвет точка D на красный, стиль отображения вспомогательных прямых на пунктирный, увеличим толщину графика функции. Для этого укажем левой кнопкой мыши на точку D, в открывшемся диалоговом окне выберем вкладку «Свойства». Откроется окно с одноименным названием. Проходя по вкладкам «Цвет», «Стиль» и указывая объекты, расположенные в левой части окна можно изменить настройки изображения.

Задание 2. С помощью точки D построить изображение графика производной функции двумя способами: 1) Точечный график, состоящий из следов точки D при перемещении А по графику функции; 2) Как ГМТ точек D, зависящих от А с помощью инструмента - «Локус (геометрическое место точек)»

Способ 1. (точечный график).

Шаг. 1. Укажите правой кнопкой мыши на точку D, в открывшемся диалоговом окне поставьте флажок перед надписью «Оставлять след».

Шаг. 2. Укажите правой кнопкой мыши на точку А, в открывшемся диалоговом окне поставьте флажок перед надписью «Анимировать».

Шаг 3. После получения точечного графика отмените анимацию точки А, указав на нее на панели объектов правой кнопкой мыши и сняв флажок с надписи «Анимировать». Для возврата к начальному изображению нажмите желтую стрелку в правом верхнем углу экрана.

Способ 2 (локус).

Выбрать на панели инструментов инструмент - «Локус», указать левой кнопкой мыши сначала на точку D, затем на точку А. Появится изображение производной функции.

Учитель просматривает у учащихся ход выполнения задания, консультирует по возникающим вопросам, оценивает.

Вопрос учителя учащимся: назовите достаточные признаки возрастания и убывания функции, необходимые условия максимума и минимума функции.

Задание: Используя данные о функции y=f(x), определить промежутки в которых производная f' имеет отрицательные (положительные) значения. Назовите промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), используя данные о её производной f'. Укажите точки минимума и минимума функции.

x

0

(0;2)

2

f `(x)

f (x)

5. Итог урока.

Учитель задает учащимся вопросы: что удалось сегодня на уроке? Не удалось?

В заключении составим синквейн по теме «Производная функции».

Синквейн (от фр. cinquains, англ. cinquain) - это творческая работа, которая имеет короткую форму стихотворения, состоящего из пяти нерифмованных строк.

Синквейн - это не простое стихотворение, а стихотворение, написанное по следующим правилам:

1 строка - одно существительное, выражающее главную тему cинквейна.

2 строка - два прилагательных, выражающих главную мысль.

3 строка - три глагола, описывающие действия в рамках темы.

4 строка - фраза, несущая определенный смысл.

5 строка - заключение в форме существительного (ассоциация с первым словом).

Я думаю, что вы поняли необходимость изучения темы «Производная функции», увидели, как это может пригодиться на практике, и надеюсь, что знания, полученные в школе, пригодятся вам в жизни.

Спасибо за урок.

Для каждой функции из левого столбца найти ее

производную из правого столбца

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

• Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-6; 6].

• Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции по графику производной y = f'(x)

• Ваша задача не просто давать правильный ответ, а умело его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.

• Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-6; 6].

• Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции по графику производной y = f'(x)

• Ваша задача не просто давать правильный ответ, а умело его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.

• Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-6; 6].

• Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции по графику производной y = f'(x)

• Ваша задача не просто давать правильный ответ, а умело его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил