Тесты по основам анализа (раздел функциональный анализ)для специальности магистратуры Методика обучения математике

2-семестр Функциональный анализ. Магистратура

Составитель доцент Р.М.Тургунбаев

1. Укажите не верное утверждение.

1. *Если отображение F имеет слабую производную, то оно имеет и сильную производную и эти производные совпадают.

2. Если слабая производная отображения F существует в некоторой U окрестности точки x₀ и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x₀, то в точке x₀ сильная производная F'(x₀) существует и совпадает со слабой.

3. Если отображение дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.

4. Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть сам этот оператор.

2. Укажите не верное утверждение.

1. *Если F(x) непрерывный оператор, то его производная есть сам этот оператор.

2. Если слабая производная отображения F существует в некоторой U окрестности точки x₀ и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x₀, то в точке x₀ сильная производная F'(x₀) существует и совпадает со слабой.

3. Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, и они совпадают.

4. Если отображение дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.

3. Пусть на Гильбертовом пространстве H задан ограниченный оператор . Укажите какие условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы оператор P был проектором 1) ; 2) ; 3) ; 4)

1. *1 и 2

2. 1 и 3

3. только 1

4. 1 и 4

4. Пусть на Гильбертовом пространстве H задан ограниченный оператор . Укажите какое условие является необходимым для того, чтобы оператор P был проектором:

1. *

2. P²=0

3. 

4. 

5. Укажите не верное утверждение. Если E банахово пространство и T:EE ограниченный линейный оператор, то

1. *

2. sp(T) замкнутое множество

3. sp(T) компактное множество

4. sp(T) не пустое множество

6. Найти спектр оператора A: C[0,1]C[0,1], где .

1. *{0}

2. {1}

3. [0,1]

4. 

7. Найти спектр оператора A: C[0,1]C[0,1], где.

1. *[0,1]

2. {0}

3. {1}

4. 

8. Найти спектр оператора A: C[0,1]C[0,1], где .

1. *{0;1}

2. {0}

3. {1}

4. [0,1]

9. Укажите не верное утверждения для сильной производной.

1. *Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть постоянное число.

2. Если F(x)=y₀=const, то F'(x)0 (нулевой оператор).

3. Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть сам этот оператор.

4. Сильная производная единственна.

10. Укажите не верное утверждение.

1. *Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть число.

2. Если слабая производная отображения F существует в некоторой U окрестности точки x₀ и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x₀, то в точке x₀ сильная производная F'(x₀) существует и совпадает со слабой.

3. Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, и они совпадают.

4. Если отображение дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.

11. Если E и F банаховы пространства, ограниченный линейный оператор, то

A)* .

B)

C)

D)

12. Если Т оператор в гильбертовым пространстве H, то сопряженный оператор определяется следующим равенством.

A)*

B)

C)

D)

13. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции ?

A)* и - эрмитовы операторы;

B) ;

C) ;

D) ;

14. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции ?

A)* ;

B) ;

C) ;

D) - положительный оператор

15. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство верно для инволюции ?

A)* - положительный оператор

B);

C) ;

D) и - Эрмитовы операторы;

16. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции ?

A)* ;

B) если существует , то .

C) единичный оператор;

D) - положительный оператор

17. Укажите верное утверждение. Линейный оператор T отображает в и выражается матрицей .

A) * тогда оператор T* выражается матрицей .

B) тогда оператор T* выражается матрицей .

C) тогда оператор T* выражается матрицей .

D) тогда оператор T* выражается матрицей .

18. Укажите верное утверждение. Линейный оператор T отображает в и выражается матрицей . для того чтобы оператор T был эрмитовым необходимо и достаточноб чтобы выполнялось равенство

A) *

B)

C)

D)

19. Пусть комплексное Гильбертово пространство и оператор Фредгольма. Найти сопряженный оператор.

A)*

B)

C)

D)

20. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите производную Фреше функционала F(x)=||x||².

A) *

B)

C)

D) не существует

21. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите дифференциал функционала F(x)=||x||.

A)* (y,h)/||y||, y0, при y=0 не существует

B) (y,h)|, y0, при y=0 не существует

C) (y,h)/||y||

D) (y,h)

22. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите дифференциал функционала F(x)=||x||².

A) *

B)

C)

D) не существует

23. Напишите уравнение Эйлера функционала

A)* y+y''=0

B)y-y''=0

C)y''-y=0

D)2y-y''=0

24. Напишите уравнение Эйлера функционала

A)*

B)

C)

D)

25. Найдите экстремаль функционала

A)* y=x

B) y=-x

C) y=2x

D) не существует

26. Найдите экстремаль функционала

A)*

B)

C)

D)

27. Укажите верное утверждение. Пусть H комплексное гильбертово пространство, T самосопряженный оператор. Тогда собственные числа оператора Т

A)* вещественные числа.

B) положительные числа.

C) отрицательные числа.

D) комплексные числа.

28. Укажите верное утверждение. В пространстве C[0,1] рассмотрим оператор . Тогда

A)* точечный спектр пустое множество, непрерывный спектр [0,1]

B) точечный спектр [0,1], непрерывный спектр пустое множество

C) точечный спектр пустое множество, непрерывный спектр {0,1}

D) точечный спектр {0,1}, непрерывный спектр пустое множество

29. Укажите не верное утверждение

A)* Всякий проектор в гильбертовом пространстве компактен

B) Непрерывный линейный оператор переводящий банахово пространство Е в некоторое его конечномерное подпространство компактен

C) В конечномерном нормированном пространстве всякий линейный оператор компактен

D) Оператор, сопряженный компактному компактен.

30. Какое утверждение не верно?

A)* В бесконечномерном пространстве Е компактный оператор имеет ограниченый обратный.

B) Если T компактный оператор, В -ограниченный, то операторы TB и BT компактны

C) Если {T_n}-последовательность компактных операторов в банаховом пространстве Е, сходящаяся по норме к некоторому оператору T, то опреатор T компактен.

D) Оператор, сопряженный компактному компактен

31. Укажите не верное утверждение.

A)* Производная непрерывного линейного оператора есть постоянное число.

B) Если F и G диференцируемы в некоторой точке , то

C) Agar F дифференцируема в некоторой точке , то .

D) Производная непрерывного линейного оператора есть сам этот оператор.

32. Укажите не верное утверждение.

A)* Если отображение F имеет слабую производную, то оно имеет и сильную, причем сильная и слабая производные совпадают.

B) Если отображение дифференцируема в некоторой точке x, оно имеет единственную сильную производную

C) Если F(x)=y₀=const, то F'(x)0

D) Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают

33. Укажите не верное утверждение

A) * В конечномерном пространстве точечный спектр линейного оператора пуст

B) В конечномерном пространстве число собственных чисел линейного оператора не боле

C) В конечномерном пространстве непрерывный спектр линейного оператора пуст

D) В конечномерном пространстве спектр линейного оператора состоит только из собственных чисел

34. Пусть E, F банаховы пространства и линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия

A)* Множество всюду плотно в F.

B) множество замкнуто

C) множество открыто

D) множество компактно

35. Пусть E, F банаховы пространства и линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия: для некоторого C>0 и произвольного выполняется

A)* .

B)

C)

D)

36. Пусть E, F банаховы пространства и линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия

A)*для некоторого C>0 и произвольного выполняется .

B) для некоторого C>0 и некоторого выполняется

C) для произвольного C>0 и произвольного выполняется

D) для произвольного C>0 и некоторого выполняется

37. Пусть Е банахово пространство, I-тождественный оператор в Е, ограниченный оператор. Тогда для того чтобы выполнялось соотношение

A) *достаточно, что

B) достаточно, что

C) достаточно, что

D) достаточно, что

38. Пусть Е банахово пространство, I-тождественный оператор в Е, ограниченный оператор. Тогда для того чтобы существовал

A) *достаточно, что

B) достаточно, что

C) достаточно, что

D) достаточно, что

39. Найти экстремали функционала.

А) * вариационная задача не имеет смысла

B)

C)

D)

40. Исследовать на экстремум функционал 470с.11 а

А) * минимум при у=0

B) Минимум при у=1

C) Максимум при у=0

D) Максимум при у=1