Статья по математике на тему 'Конические сечения'

Описание: Парабола - одно из конических сечений. Античные геометры изучали самые разные плоские кривые. Особого их внимания удостоились конические сечения: эллипс, парабола и гипербола. Всё это - линии пересечения прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину и наклонёнными под разными углами к образующей.

Конические сечения с древних времен привлекали к себе внимание ученых. Так древнегреческий ученый Менехм (IV в. до н. э.) пользовался параболой и гиперболой для решения знаменитой задачи удвоения куба. Исследовали свойства конических сечений Евклид (IV в. до н. э.) и Архимед (III в. до н. э.). Полное и систематическое учение об этих кривых было изложено Аполлонием Пергским (III - II вв. до н. э.) в восьмитомном труде "Конические сечения". Там он впервые показал, как можно получить эти кривые, рассекая один и тот же конус плоскостью под разными углами. Он же ввел термины "эллипс", "парабола" и "гипербола", означающие в переводе с греческого соответственно "недостаток", "приложение" и "избыток". Происхождение этих названий связано с задачей построения прямоугольника с заданным основанием, равновеликого данному квадрату. Переводя с геометрического языка, которым пользовался Аполлоний, на современный алгебраический язык, получаем уравнение

y² = 2px + lx²,

где эллипсу соответствует отрицательное, гиперболе - положительное, а параболе - равное нулю значение второго члена в правой части. Таким образом, для параболы площадь квадрата, построенного на ординате y, равна площади прямоугольника со сторонами 2p и x. Для эллипса площадь прямоугольника меньше, а для гиперболы - больше площади соответствующего квадрата.
Интерес к коническим сечениям особенно возрос после того как Г. Галилей (1564-1642) установил, что тело, брошенное под углом к горизонту, двигается по параболе, а И. Кеплер сформулировал законы движения планет, согласно которым они описывают эллипсы. Позднее было установлено, что кометы и другие небесные тела движутся по эллипсам, параболам или гиперболам в зависимости от их начальной скорости.

Фундаментальный трактат Аполлония Пергского «Конические сечения» состоял из восьми книг. Греческий текст четырех из них сохранился, еще три дошли до нас в арабском переводе, восьмую книгу реконструировал в XVIII в. Э. Галлей. Труд Аполлония чрезвычайно богат содержанием, многие подходы, примененные в нем, впоследствии переросли в отдельные развитые разделы геометрии.

По отношению к предшественникам новаторство Аполлония выразилось, в частности, в общности, с которой он подошел к своему предмету. Прежде всего, Аполлоний определил конические сечения как сечения плоскостью, которая не обязана быть перпендикулярной образующей конуса. Кроме того, Аполлоний, как уже было сказано, рассматривал и вторую ветвь гиперболы, а для этого учел, что конус состоит из двух полостей. Это было необходимо для того, чтобы теории имели нужную общность - иначе пришлось бы оговаривать слишком много исключений. Таким образом, парабола перестала быть сечением только тупоугольного конуса, эллипс - остроугольного, а гипербола - тупоугольного. Более того: Аполлоний рассматривал не только прямые круговые конусы (то есть такие, в которых перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания), но и произвольные круговые конусы.

поллоний показал, что сечения произвольного конуса любыми плоскостями приводят только к этим трем типам кривых (не считая некоторых вырожденных случаев, например, когда сечение состоит из пары пересекающихся прямых). Именно поэтому он и должен был изменить терминологию: вместо «сечения прямоугольного (остроугольного, тупоугольного) конуса» Аполлоний ввел термины «парабола», «эллипс», «гипербола». На прошлом уроке мы видели, что эти термины связаны с формой уравнений («симптомов»), определяющих данное сечение. Аполлоний показал, что соотношение между координатами, выражаемое симптомом данного сечения:

не меняется, если за ось абсцисс брать не только ось конического сечения.

Здесь необходимо ввести новый термин. Диаметрами эллипса или гиперболы называются любые отрезки, проходящие через центр эллипса или гиперболы. (Надеюсь, вы понимаете, что такое центр гиперболы? Это ее центр симметрии - точка пересечения асимптот.) А диаметром параболы называется любая прямая, параллельная оси параболы (то есть пересекающая параболу ровно в одной точке). Так вот, Аполлоний показал, что симптом конического сечения будет иметь тот же самый вид, если ось абсцисс является произвольным диаметром данного конического сечения, а ось ординат - касательной в одном из концов этого диаметра. Таким образом, это будут уже не прямоугольные координаты: абсциссы будут отрезками диаметра, а ординаты - полухордами, параллельными соответствующей касательной. (У конических сечений есть свойство, что хорды, параллельные этой касательной, делятся пополам данным диаметром).

Оптическое свойство эллипса и гиперболы заключается в том, что отрезки, проведенные из фокусов к некоторой точке эллипса, образуют равные углы с касательной. В связи с этим если в один из фокусов эллиптического зеркала поместить источник света, то лучи, отразившись, соберутся в другом фокусе: если источником является, например, свеча, то предмет, помещенный в другой фокус, может загореться. Отсюда и происходит термин «фокус» (лат. focus - «очаг»), введенный И. Кеплером. На этом свойстве основаны и некоторые эффекты с распространением звуковых волн в зданиях с овальными стенами, сводами и др., когда шепотом произнесенное слово в одном из фокусов оказывается слышно в другом. В результате отражения в гиперболическом зеркале не лучи, исходящие из фокуса, а их продолжения соберутся в другом фокусе: они создадут иллюзию, что источник света находится в другом фокусе. Наконец, существует и оптическое свойство параболы, не рассмотренное Аполлонием: параболическое зеркало собирает в одной точке параллельные лучи; в частности, лучи, параллельные оптической оси, собираются в фокусе параболы. На этом свойстве основано действие зажигательных зеркал, собирающих параллельные солнечные лучи в одной точке.

Парабола - одно из конических сечений. Эту кривую можно определить как фигуру, состоящую из всех точек М плоскости, расстояние которых до заданной точки F, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до заданной прямой L , называемой директрисой параболы.

Античные геометры изучали самые разные плоские кривые. Особого их внимания удостоились конические сечения: эллипс, парабола и гипербола. Всё это - линии пересечения прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину и наклонёнными под разными углами к образующей.

Инструмент да Винчи

Ответы на вопросы, занимавшие Никколо Тарталью, почти на полвека раньше него дал Леонардо да Винчи. Он изучал различные траектории и виды сложного движения в природе и технике. В записных книжках художника и учёного есть немало набросков, сделанных на основе наблюдений. Полёт птиц, водоворот, распространение света и звука, круги на воде, движение мяча и снаряда… Во всех случаях его особо интересовала геометрия траекторий: углы падения и отражения, кривые и прочие линии, а также зависимость их формы от различных параметров. Неудивительно, что да Винчи предвосхитил результаты Тартальи.

Леонардо да Винчи часто доводилось делать построения и измерения, для которых требовались специальные инструменты. Вот как описывает мастера за работой Дмитрий Мережковский в романе «Воскресшие боги»: «…Стоя на коленях, рядом с Венерой, вынул он циркуль, угломер, полукруглую медную дугу, наподобие тех, какие употреблялись в математических приборах, и, с выражением того же упорного, спокойного и проникновенного любопытства в холодных, светло-голубых глазах и тонких, плотно сжатых губах, начал мерить различные части прекрасного тела…»

В рукописях Леонардо да Винчи содержатся упоминания о самых разных чертёжных инструментах. Считается, что некоторые из них сконструировал он сам. Одно из его изобретений - устройство для рисования параболы. (Подобный инструмент, известный ещё грекам, описал арабский математик X-XI веков ас-Сиджизи.) Это был совершенный циркуль - с его помощью чертили все виды конических сечений: окружность, эллипс, параболу и гиперболу.

Задача. Попробуйте объяснить принцип работы устройства для рисования параболы, придуманного Леонардо да Винчи, уяснив роль каждой детали и установив, какому элементу конуса она соответствует.

Построение конических сечений.

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить, как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу - как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу - как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F1 и F2 (рис. 2), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а отрезки V1V2 и v1v2 между точками пересечения эллипса с осями координат - большей и малой осями. Если точки F1 и F2 совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Рис. 2. Построение эллипса.

Гипербола.

При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F₁ и F₂, как показано на рис. 3,а. Расстояния подобраны так, что отрезок PF₂ превосходит по длине отрезок PF₁ на фиксированную величину, меньшую расстояния F₁F₂. При этом один конец нити проходит под шпеньком F₁ и оба конца нити проходят поверх шпенька F₂. (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV₁Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F₂, а когда точка P окажется ниже отрезка F₁F₂, придерживая нить за оба конца и осторожно потравливая (т.е. отпуская) ее. Вторую ветвь гиперболы (PўV₂Qў) мы вычерчиваем, предварительно поменяв ролями шпеньки F₁ и F₂.

Рис. 3. Построение гиперболы (а) и ее асимптот (б). При неограниченном продолжении ветви гиперболы стремятся к асимптотам.

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся как показано на рис. 3,б. Угловые коэффициенты этих прямых равны ± (v1v2)/(V1V2), где v1v2 - отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F1F2; отрезок v1v2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V1V2 - ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v1, v2, V1, V2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v1 и v2. Они находятся на одинаковом расстоянии.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола.

Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (2-я пол. 3 в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.). Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой LLў (рис. 4), и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой - в фокусе параболы F. Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой LLў, так как общая длина нити равна AB, отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB, т.е. PA. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, - осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

Рис. 4. Построение параболы.

Литература
1. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. - М.: Просвещение, 1985.
2. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. - М.: Просвещение, 1985.
3. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. - М.: Наука, 1981.
4. Дорфман А.Г. Оптика конических сечений. - М.: Гос. изд. физ.-мат. лит-ры, 1959./Популярные лекции по математике. Выпуск 31.
5. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - М.: Мир. 1979.
6. Факультативные курсы по математике для 10-11 классов / Атанасян Л.С. и др. М.: НИИ школ МНО РСФСР, 1989.
7. Школьная энциклопедия. Математика. - М.: Дрофа, 1997.
8. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1997.

9. (Наука и жизнь, Во власти сечений).
10. Энциклопедия элементарной математики, книги I-V. - М.: Физматгиз, Москва, 1961 - 1966.
11. Журнал Квант: 1975, № 1, № 3, № 4, № 5; 1987, № 6; 1990, № 9.

12. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959