Урок по геометрии на тему 'Признаки равенства прямоугольных треугольников' (7 класс)

Признаки равенства прямоугольных треугольников

(комбинированный урок геометрии в 7 классе

по учебнику Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. «Геометрия» 7 - 9)

Учитель математики МОУ СОШ № 11: Мелёшина В.В.

г. Орехово - Зуево, Московской области

Тип урока: комбинированный урок.

Цели урока:

• повторение основных понятий и свойств по теме «Прямоугольный треугольник»;

• формирование знаний по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников»;

• научить учащихся решать задачи на применение признаков равенства

прямоугольных треугольников;

• развитие математического мышления;

• развитие умения правильно и грамотно излагать свои мысли;

• повышение мотивации учения и интереса к математике за счет включения в урок элементов проблемного обучения и за счет привлечения ИКТ.

Необходимое оборудование и материалы:

• компьютер;

• мультимедиапроектор;

• интерактивная доска;

• набор карточек трех цветов для каждого ученика.

Ход урока

Орг. момент.

Здравствуйте, садитесь. Сегодня мы будем говорить о прямоугольном треугольнике, о его свойствах, познакомимся с признаками равенства прямоугольных треугольников, посмотрим применение этих признаков при решении задач и выполним самостоятельную работу по этой теме.

А начнем наш урок с проверки домашнего задания.

Проверка домашнего задания.

1. Двое учащихся готовят у доски чертежи и условие домашних задач.

Таблица с возможными решениями домашних задач.

№ 255

1 ученик

Дано: ∆CDE, CD = DE

CF ED

_D=54^o

_{Найдите: ECF}

Решение

1. ∆CDE - равнобедренный, т.к. CD = DE

_{С = Е = (180}^о _{- 54}^о_{) : 2 = 63}^о_{( свойство углов при основании равнобедренного треугольника).}

2. ∆CFЕ - прямоугольный, т.к. CF ED

_{ЕCF = 90}^o _{- Е (по свойству острого угла в прямоугольном треугольнике)}

_{ECF = 90}^о _{- 63}^о _{= 27}^о

_{Ответ: 27}^о

№ 257

2 ученик

Дано: ∆АВС, _{С = 90}^o

_{ВАК = 120}^o

_{АС + АВ = 18 см}

_{Найдите: АС, АВ}

Решение

1. _{ВАК - внешний угол ВАК = В +С =120}^о _{(свойство}

_{внешнего угла треугольника)}

Т.к. _{С = 90}^o _{В = 120}^о _{- 90}^о _{= 30}^о

2. _{Т.к. В = 30}^o_{, то АС = АВ (свойство катета, лежащего напротив угла равного 30}^о₎

3. Т.к. _{АС + АВ = 18 см (по условию)}

_{АВ + АВ =18 АВ = 12см, АС = 6 см}

Ответ: АС = 6 см, АВ = 12 см

Игра «Ты мне, я тебе»:

(Учащиеся задают друг другу вопросы, выслушивают и оценивают ответы)

Возможные вопросы.

1. Какой треугольник называется прямоугольным?

2. Как называются стороны прямоугольного треугольника?

3. Может ли иметь треугольник два прямых угла? Ответ объясните.

4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

5. Каким свойством обладают острые углы прямоугольного треугольника?

6. Каким свойством обладает катет, лежащий напротив угла 30^о?

7. Найдите острые углы в равнобедренном прямоугольном треугольнике.

8. Каким свойством обладает медиана, проведенная к гипотенузе?

Заслушать решение домашних задач.

Дополнительный вопрос.

Какие геометрические утверждения были применены при решении задач?

Решение задач по готовым чертежам. (Слайды 2 - 6)

(Работа с сигнальными карточками.)

Ребята, у каждой задачи есть три ответа, которые записаны в прямоугольники разного цвета. Перед вами лежат цветные карточки. Вы должны устно решить задачу и по моей команде поднять карточку того цвета, на которой записан правильный ответ.

№

Задачи для тестовой работы

Ответы

Слайд 2

1. Найдите второй острый угол прямоугольного треугольника, если один из них равен 37^о.

53^о

Слайд 3

2. Найдите острый угол прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна

10 см, а катет, лежащий напротив этого угла, равен 5 см

30^о

Слайд 4

3. Чему равна гипотенуза, если катет, лежащий напротив угла 30^о, равен 4 см?

8 см

Слайд 5

4. Найдите величину медианы, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, если гипотенуза равна 10 см.

5 см

Слайд 6

5. Определите вид треугольника, если медиана, проведенная из вершины одного из углов треугольника, равна половине противоположной стороны

прямоугольный

Объяснение нового материала.

Запишите в рабочих тетрадях тему урока «Признаки равенства прямоугольных треугольников. (Слайд 7)

Сегодня мы самостоятельно попытаемся вывести признаки равенства прямоугольных треугольников, опираясь на ранее изученные теоремы. Нам потребуются признаки равенства треугольников.

Какие признаки равенства треугольников вы знаете?

А теперь решим задачу.

№

Задача 1

Слайд 8

Дано: ∆АВС,

ВН АС

_{АН = НС}

_{Доказать:} ∆АВН = ∆СВН

Доказательство

1. _{АН = НС (по условию)}

2. _{АНВ = ВНС = 90}^о_{, т.к.} ВН АС ∆АВН = ∆СВН

3. ВН - обшая

Слайд 9

Беседа

Примерные ответы

1.По какому признаку равны треугольники?

2. Какие это треугольники?

По I признаку

прямоугольные

3.Давайте сравним и проведем аналогию между первым признаком равенства треугольников и равенством данных прямоугольных треугольников.

4.Какой элемент всегда присутствует у любого прямоугольного треугольника?

Прямой угол

5.Равенство, каких элементов нам известно?

Два катета

6.Как можно сформулировать признак равенства для прямоугольного треугольника?

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

№

Задача 2

Слайд 10

Дано: _{АC = BD}

_{B = C = 90}^o

_{1 = 2}

_{Доказать:} ∆АВD = ∆ACD

Доказательство

Рассмотрим ∆АВD и ∆ACD

1. _{B = C = 90}^o

2. _{АC = BD (по условию)} ∆АВD = ∆ACD

3. _{1 = 2}

Слайд 11

Беседа

Примерные ответы

1.По какому признаку равны треугольники?

2. Какие это треугольники?

По II признаку

прямоугольные

3.Давайте сравним и проведем аналогию.

4.Какой элемент всегда присутствует у любого прямоугольного треугольника?

Прямой угол

5.Равенство, каких элементов нам известно?

Катет и прилежащий к нему острый угол

6.Как можно сформулировать признак равенства для прямоугольного треугольника?

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

№

Задача 3

Слайд 12

Дано: ∆АВС и ∆МКР

С =Р = 90^о

А = М

АВ = МК

Доказать:∆ АВС = ∆ МКР

Доказательство

1. ∆АВС - прямоугольный и ∆МКР - прямоугольный

В =90^о - А по свойству острых углов

К = 90^о - М прямоугольного треугольника

А =М - по условию

В = К

2. Итак, В =К

А =М - по условию ∆ АВС = ∆ МКР

АВ = МК - по условию

Слайд 12

Беседа по слайду

Примерные ответы

1.По какому признаку равны треугольники?

2. Какие это треугольники?

По II признаку

прямоугольные

3.Какой элемент всегда присутствует у любого прямоугольного треугольника?

Прямой угол

5. Какие элементы треугольника были известны?

гипотенуза и острый угол

Сформулируйте новый признак равенства прямоугольных треугольников

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Ребята, мы смогли доказать три признака равенства прямоугольных треугольников, но существует еще один признак. (Слайд 13)

Теорема. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника

соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие

треугольники равны.

(Доказательство этого признака проводит сам учитель)

Дано: ∆ АВС и ∆А₁В₁С_1, С = С₁ = 90^о

ВС =В₁С₁

АВ = А₁В₁

Доказать: ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁

Доказательство

Доказательство проведем методом наложения.

Т.к. С = С₁ =90^о, то ∆ АВС можно наложить на ∆ А₁В₁С₁:

1. Вершина С совместится с вершиной С₁

2. Сторона СА и СВ наложатся соответственно на лучи С₁А₁ и С₁В₁

3. Вершина В совместится с вершиной В₁, т.к. ВС =В₁С₁

4. Тогда и вершина А совместится с вершиной А₁.Это утверждение надо

доказать.

Предположим, что А совместится с точкой А₂,

тогда ∆ А₁В₁А₂ - равнобедренный (А₁В₁ = А₂В₁)

А₂ - острый, В₁А₁А₂ - тупой, т.к. смежный с острым углом ∆ А₁В₁С₁ .

А₂ ≠ В₁А₁А₂ - углы при основании, но это невозможно,

значит вершины А и А₁ совместятся, а, следовательно, ∆ АВС полностью совместится с ∆ А₁В₁С₁ ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁

Мы рассмотрели все признаки равенства прямоугольных треугольников. А теперь давайте еще раз вспомним эти признаки. (Слайд 14)

(Учащиеся дают формулировки признаков равества прямоугольных треугольников).

Запишите в тетрадь признаки равенства прямоугольных треугольников

и сделайте соответствующие чертежи.

Слайд 14

1

По двум катетам

2

По катету и прилежащему к нему острому углу

3

По гипотенузе и острому углу

4

По гипотенузе и катету

Закрепление изученного материала

1. Устно решить задачи по готовым чертежам.

Слайд 15

Задача 1

Дано: AB║CD

АB = CD

_{F = D = 90}^o

Доказать: BF = ED

Доказательство

∆ АВF и ∆ CDE: _{F = D = 90}^o_{(по условию)}

1. АB = CD (по условию)

2. _{АВF = ECD ( внутренние накрест лежащие углы при} AB║CD и АС - секущей)

∆ АВF = ∆ CDE( по гипотенузе и острому углу)

BF = ED

Слайд 15

Задача 2

Дано: О(r)- окружность

_{МОВ = 90}^o

_{МО = ОЕ}

Доказать: АЕ = МВ

Доказательство

∆ АОЕ и ∆ МОВ: _{МОВ = АОЕ = 90}^o_{(по условию)}

1. _{МО = ОЕ (по условию)} ∆ АОЕ = ∆ МОВ (по

2. _{АО = ОВ = r} двум катетам)

АЕ = МВ (соответствующие элементы)

2. Решить задачу № 263 письменно у доски и в тетрадях.

Дано: ∆ АВС, АВ = ВС

СС₁ВВ₁ = М

СС₁ АВ, ВВ₁ АС

_{МВС = 140}^о

_{Найти: А, В, С}

Решение

1. ∆ АВС - равнобедренный, т.к. АВ = ВС _{В = С}

2. ∆ ВВ₁С = ∆ С₁СВ по гипотенузе и острому углу (_{В1 = С1 =90}^о_,

_{ВС - общая гипотенуза} ,_{В = С - острые углы) ВВ1С = СС1В}

_значит ∆ ВМС - равнобедренный _{ВВ1С = (180}^о _{- 140}^о_{) : 2 = 20}^о

3. _Из ∆ ВВ₁С _{В = 90}^о _{- 20}^о _{= 70}^о _{(по свойству острых углов прямоугольных треугольников)}

4. _{А = 180}^о _{- (70}^о ₊₇₀^о_{) = 40}^о

_{Ответ: 40}^о_{, 70}^о_{, 70}^о

Самостоятельная работа. Решите самостоятельно задачу (Слайд 16)