Урок по математике на тему: Квадратичная функция

Построение графика квадратичной функции.

Существует два подхода к изучению данной последовательности построения графика квадратичной функции.

В первом подходе постепенно рассматриваются графики данных частных видов квадратичной функции, а затем ставится вопрос о том, почему рассматривались именно эти виды.

Недостатком такого подхода в том, что учащиеся, выполняя достаточно кропотливую работу по построению графиков частных видов квадратичных функций, не увидят общей цели - получить метод (алгоритм) построения графика квадратичной функции .

Во втором подходе, учащиеся сами придут к учебной задаче: получить метод построения графика квадратичной функции.

У учащихся уже имеется опыт построения графика функции 𝑦=𝑘𝑥; 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 по точкам на основе определения понятия «график функции». Такая работа давала возможность узнать свойства графика функции и определить его вид, получить способ построения графика линейной функции и обосновать его.

Как построить график квадратичной функции? Поможет ли предыдущий опыт?

Отвечая на это вопрос, учащимся предлагается на конкретном примере квадратичной функции, самостоятельно составить таблицы значений функции и нанести соответствующие точки на координатную плоскость. Затем они попытаются соединить построенные точки плавной линией. окажется, что графики у учащихся получились различными, и появляется необходимость доказать, что полученная линия является графиком именно данной функции. В итоге обнаруживается, что таблица значений не дает возможность установить вид данной функции. И неясно, сколько и каких точек нужно взять, чтобы представить график данной функции. Вернее всего, нужно искать другой путь построения графика этой функции.

Предлагается обратиться к иным способам построениям графика квадратичной функции. Учащиеся уже знают, что любую квадратичную функцию можно представить в виде , где и 𝑛=𝑦(𝑚).данной функции. Рассмотрим доказательство этого факта.

Теорема. Любую квадратичную функцию можно представить в виде 𝑦=𝑎(𝑥−𝑚)2+𝑛, где и 𝑛=𝑦(𝑚).

Применив данную теорему на заданной квадратичной функции. Учащиеся смогут раскрыть некоторые свойства графика этой функции и построить его. Однако остается нерешенной

«Каким же способом построить график любой квадратичной функции?».

Изучение квадратичной функции ведется поэтапно: , , ,,,

При изучение квадратичной функции существенно расширяется по сравнению с линейной функцией круг функциональных свойств. Так как областью определения квадратичной функции является множество действительных чисел, то о ней пока в явном виде не говорится. Но уже множество значений различных квадратичных функций может быть разным, но всегда числовым лучом.

Рассматриваются свойства четности и нечетности, возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, наибольшее и наименьшее значения.

График функции

Учащиеся знакомятся с графиком функции . Сначала предлагается повторить определение функции как зависимой переменной, способы задания функции, нахождение значений функций при конкретных значении линейной функции.

Затем учащиеся вместе с учителем должны тщательно поработать над построением графика.

На этом уроке по данным таблицы выполнить построение параболы на принесенной миллиметровой бумаге. После построения графика функций .

Введем понятия «ось симметрии параболы»; «вершина параболы»; «ветви параболы».

Итогом работы является сравнение свойств графиков и

Построение графика функции .

Будем в данном разделе рассматривать, что представляет из себя график функции

при других значениях a?

Выполним задание № 1 предложенное в учебнике

Входе выполнения задания № 1 учащиеся строят графики функций, самостоятельно анализирую свойства этих графиков. Учащиеся знакомятся с понятием сжатия и растяжения графика.

Затем переходим к выполнению задания № 2, предлагается заполнить таблицу свойств функции. Это задание желательно проводить в паре.

Для за крепления данной темы предлагается решить задание № 3

Задание 3. Выберите из функций те, графики которых лежат в нижней полуплоскости. Постройте графики этих функций:

2) 3) 4) .

График квадратичной функции

Рассмотрим ещё один частный вид квадратичной функции: (m=0, n=0).

Попытайтесь ответить на следующие вопросы:

1. Каковы свойства функции ? Как выглядит график этой функции?

2. Есть ли что-то общее между графиками функций и и чем эти графики друг от друга отличаются?

Постарайтесь разработать метод построения графика функции .

Выполняя здание № 3 ответим на все поставленные вопросы.

Задание 1. Постройте по точкам в одной и той же системе координат графики функций и . Сравните графики.

1. Что можно сказать о связи между графиками функций и ?

2. В чём заключается особенность расположения графика функции по сравнению с графиком функции ?

3. Продолжите ряд соответствий: O(0; 0)→O(0; 3); A(1; 2)→A(1; 5); B(2; 8)→B(2; 11); . . . . . . M(x; y)→M(x; ... ).

4. Можно ли график функции получить, преобразовав график функции?

5. Можно ли утверждать, что графиком функции является парабола? Если да, то каковы её вершина и ось симметрии?

Отсюда формулируется первый алгоритм построения графика функции, нужно совершить параллельный перенос параболы , указав координаты точки, в которую переходит вершина параболы при данном параллельном переносе, то есть указать координату вершины параболы .

Рассмотрим текст, который помогает учащимся прийти к новому алгоритму построения параболы .

Построение графика функции .

Построение графика функции

1. Строим систему координат xOy.

2. Строим новую систему координат а) строим начало новой системы координат точку - вершину параболы ;

б) проводим прямуюпараллельную оси ; выбираем на этой прямой направление и единичный отрезок, такие же, как на оси;

в) в качестве прямой берем прямую ; выбираем на ней направление и единичный отрезок, такие же, как на оси .

3. Строим параболу в новой системе координат. Это и есть парабола в системе координат .

Построение графика квадратичной функции

Для получения алгоритма построения графика функции учащимся предлагается провести работу, аналогичную той, которая привела к алгоритму построения графика функции . Поэтому его изучение можно также организовать в форме лабораторной работы. Отличие заключается в том, что у учащихся продолжается самостоятельная работа по получению алгоритма построения графика функции

переносом системы координат. Необходимо обсудить, как они понимают задание 2: «Проанализируйте …аналогично…» и попросить их составить соответствующий учебный текст (приложение 1, стр. 108-109).

Умение создавать учебный текст - одно из важнейших универсальных учебных действий. Учащиеся должны отметить общность в алгоритмах построения графиков функций. Данное задание направлено на формирование когнитивной схемы процедуры построения графика квадратичной функции.

Задание. Верны ли следующие утверждения:

а) вершиной параболы является точка M(1;0), а вершиной параболы - точка P(2;0);

б) ось симметрии графика квадратичной функции имеет уравнение

;

в) график квадратичной функции симметричен графику функции относительно оси Ox;

г) наименьшее значение квадратичной функции равно 0 и ветви параболы-её графика- направлены вверх;

д) графики функций и симметричны относительно оси ординат?

Решение:

а) Найдем вершины парабол , по формулам:

,отсюда следует точка М(1; 0 ) является вершиной параболы.

,

, значит точка Р(2; 0) является вершиной параболы.

Значит первое утверждение верно.

б) Найдем ось симметрии графика квадратичной функции ,

Ось симметрии параболы проходит через вершину, для этого будем находить вершину по формулам:

, , отсюда следует ось симметрии графика квадратичной функции имеет уравнение

г)

Ветви этой параболы направлены вверх, так как а > 0. Поэтому существует наименьшее значение квадратичной функции.

Что бы найти наименьшее значение квадратичной функции , нужно найти вершину параболы

Наименьше значение квадратичной функции .

Задание. Установите соответствие между графиками квадратичных функций и их аналитическими заданиями:

Решение:

Рассмотрим первую квадратичную функцию

1. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент а <0.

2. Найдем вершину параболы по формулам:

Вершина параболы находится в точке с координатами (0; -2,5), отсюда следует, что графиком квадратичной функции будет график под буквой б.

Вторая квадратичная функция

1. Ветви этой квадратично функции направлены вверх, так как коэффициент а >0.

2. Найдем вершину

Вершина параболы находится в точке с координатами (0; ), отсюда следует, что графиком квадратичной функции будет график под буквой a.

Третья квадратичная функция

1. Ветви параболы направлены вниз, так как а <0.

2. Вершина функции находится в точке (0; 5), отсюда следует графиком функции является график под буквой в.

Последняя квадратичная функция

1. Ветви этой параболы направлены вниз, так как а равен -2.

2. Вершиной является точка с координатами (0; 3), следует данной квадратичной функции соответствует график под буквой г.

Построение графика квадратичной функции

Рассмотрим пример, направленный на умение строить график функции

Задание. На рис. изображены графики квадратичных функций. Задайте эти функции аналитически.

1) Например, рассмотрим график l1. Зададим соответствующую квадратичную функцию в виде . Вершина параболы находится в точке , значит, m = 3, n = 0; функция принимает вид . Подставив в уравнение

координаты какой-либо точки графика, определим коэффициент a. Например, возьмём точку P(1;2) графика. Подстановка её координат в уравнение приводит к равенству . Отсюда следует, что 2 = 4a, то есть a = 1 2 .

Следовательно, соответствующая квадратичная функция задаётся формулой

2) Рассмотрим график l2. Зададим соответствующую квадратичную функцию в виде . Вершина параболы находится в точке , значит, m = 0, n = 6; функция принимает вид . Подставив в уравнение

координаты какой-либо точки графика, определим коэффициент a. Например, возьмём точку P(1;2) графика. Подстановка её координат в уравнение приводит к равенству . Отсюда следует, что 2 = a + 6, то есть a = -4.

Следовательно, соответствующая квадратичная функция задаётся формулой

3) Рассмотрим график l3. Зададим соответствующую квадратичную функцию в виде . Вершина параболы находится в точке , значит, m = 3, n = 8; функция принимает вид . Подставив в уравнение

координаты какой-либо точки графика, определим коэффициент a. Например, возьмём точку P(1;5) графика. Подстановка её координат в уравнение приводит к равенству . Отсюда следует, что -3 =4 a , то есть a = -.

Следовательно, соответствующая квадратичная функция задаётся формулой

4) Рассмотрим график l4. Зададим соответствующую квадратичную функцию в виде . Вершина параболы находится в точке , значит, m = 6, n = 2; функция принимает вид . Подставив в уравнение

координаты какой-либо точки графика, определим коэффициент a. Например, возьмём точку P(8;1) графика. Подстановка её координат в уравнение приводит к равенству . Отсюда следует, что 9 =2 a , то есть a = .

Следовательно, соответствующая квадратичная функция задаётся формулой

Построение графика квадратичной функции .

Для разработки алгоритма построения графика функции , нужно выполнить задание

Алгоритм построения графика квадратичной функции общего вида реализуется на примере функции , то есть той функции, с которой при проблемном изложении учебного материала началось обсуждение способов построения. Одним из важнейших шагов алгоритма построения графика квадратичной функции является нахождение координат вершины параболы. Этому посвящено задание

Учащимся предлагается обобщить опыт нахождения вершины параболы и составить рассказ о способах её нахождения. Данная учебная деятельность является важной с точки зрения требований ФГОС. Учащиеся должны уметь отвечать на вопросы: «Как выглядит график квадратичной функции? Как его построить?». Полезно провести эту работу в письменном виде с последующим обсуждением. К заданиям, формирующим понятие «Функция» относятся следующие: строить графики функций; описывать свойства квадратичной функции; осуществлять перевод информации с одного языка её представления на другой; устанавливать связи между понятиями «квадратное уравнение» и «квадратичная функция», «квадратичная функция» и «неравенство второй степени» (см. приложение 2). Одним из важный умений является умение осуществлять обратимый перевод информации со словесно-символического языка на язык графиков.