ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 30

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ

Цель:

- сформировать навыки вычисления пределов в точке;

- развить умение раскрывать неопределённости вида

- закрепить знания о способах разложения многочлена на линейные множители;

Материально - техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1. Изучить краткие теоретические сведения;

2. Выполнить задания;

3. Сделать вывод по работе;

4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

Краткие теоретические сведения:

Предельное значение функции в заданной точке - такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Определение 1: Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а. Число В называют пределом функции f(x) в точке а, если для любой последовательности значений аргументов х₁, х₂, х₃, …, х_n, стремящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), сходится к числу В.

Обозначение: f(x) = В, если х_n → а при f(x_n) →В.

Для предела функции в точке справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если f(x) = А, g(x) = В, то предел суммы функций f(x) и g(x) при х→а равен сумме пределов этих функций, т.е.

(f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x).

Теорема 2. Если f(x) и g(x) имеют пределы при х→а, то предел произведения функций при х→а равен произведению пределов этих функций, т.е. (f(x) · g(x)) = f(x) · g(x).

Следствие 1. (С∙f(x)) = С ∙f(x).

Следствие 2. С = С.

Теорема 3. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы при х→а, причем предел функции g(x) ≠ 0, то имеет место равенство:

.

Рассмотрим вычисление пределов функций на конкретных примерах.

Пример 1. Найти значение предела в заданной точке.

Решение: Для вычисления значения предела в заданной точке подставим вместо х то значение, к которому он стремится:

Очевидно, предел данной функции в точке х=1 существует и равен 8.

Пример 2. Найти значение предела в заданной точке.

Решение: Для вычисления значения предела в заданной точке подставим вместо х то значение, к которому он стремится:

Очевидно, предел данной функции в точке х=4 не существует и равен ∞.

Пример 3. Найти значение предела в заданной точке.

Решение: При непосредственной подстановке х = 2 получим неопределенность вида [0/0]. Раскрыть эту неопределенность возможно, разложив числитель и знаменатель на линейные множители и сократив однородные члены:=

Подставим корни в формулу (1):

Преобразуем знаменатель по формуле (2): Подставим полученные множители в предел, сократим дробь на х - 2 и найдём значение предела при х = 2:

Итак, предел существует и равен

Пример 4. Найти значение предела в заданной точке.

Решение: В данном случае пределы числителя и знаменателя при равны нулю, имеем неопределенность вида [0/0].

Умножаем числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и, затем сократив дробь на х - 6 , получим:

Итак, предел существует и равен 6.

Задания для самостоятельного выполнения:

Найти пределы функций в заданных точках.

Вариант 1.

1. 2. 3.

Вариант 2.

1. 2. 3.

Вариант 3.

1. ; 2. 3.

Вариант 4.

1. ; 2. 3.

Вариант 5.

1. ; 2. 3.

Вариант 6.

1. 2. 3.

Вариант 7.

1. ; 2. 3.

Вариант 8.

1. 2. 3.

Вариант 9.

1. ; 2. 3.

Вариант 10.

1. 2. ; 3.

Вариант 11.

1. 2. 3.

Вариант 12.

</1. ; 2. 3.

Вариант 13.

1. ; 2. 3.

Вариант 14.

1. 2. ; 3.

Вариант 15.

1. ; 2. 3.

Вопросы для самоконтроля:

1. Назовите основные методы вычисления пределов в точке.

2. Сформулируйте теоремы о пределах.

3. Запишите формулу разложения квадратного трёхчлена.

4. Запишите формулы разности квадратов и разности кубов.

3