Разработка Методы решения логарифмических уравнений (10 класс)

Тема: «Логарифмические уравнения»

Методы решения логарифмических уравнений:

При решении логарифмических уравнений применяются все свойства логарифмов.

Образцы решения логарифмических уравнений:

• Решение уравнения по определению логарифма

1. Решите уравнение = 2

7 - 2х = 6²

7 - 2х = 36

- 2х = 36 - 7

- 2х = 29

х = 29 : (-2)

х = - 14,5

Проверка: =

Ответ: - 14,5

2. Решите уравнение: + = 1

По свойству логарифмов: = 1

По определению логарифма: (х + 1)(х + 3) = 3¹

х² + 3х + 1х + 3 = 3

х² + 4х = 3 - 3

х² + 4х = 0

х(х + 4) = 0

х₁ = 0 и х + 4 = 0

х₂ = - 4

Проверка: при х₁ = 0 + = + = 0 + 1 = 1, верное равенство;

при х₂ = - 4 + = + , выражение не имеет смысла, т.к. под знаком логарифма не может быть отрицательного числа.

Ответ: 0

• Решение уравнения методом потенцирования

Метод потенцирования применим тогда, когда логарифмы имеют равные основания.

5х + 4 = 7 -х

5х + х = 7 - 4

6х = 3

х = 3 : 6

х = 0,5

Проверка:

, данное выражение имеет смысл.

Ответ: 0,5

2. Решите уравнение:

Решение: по свойствам логарифма получим: =

по свойству запишем: =

Потенцируем уравнение: = 1

= 1²

= 1

= 0, а = 1, b = 1, с = -6

По т. Виета запишем: х₁ + х₂ = - b ; х₁ = - 3 и х₂ = 2

х₁ ∙ х₂ = с

Проверка: при х = -3 в правой части уравнения одно из выражений не имеет смысла. Значит, -3 не является корнем уравнения

При х = 2 → → = , данное равенство верно. Значит, 2 является корнем уравнения.

Ответ: 2

• Метод логарифмирования. Решите уравнение

Решение: прологарифмируем обе части уравнения =

по свойству логарифма № 3а получим: = 1

получили квадратное логарифмическое уравнение: = 1

его решение: и

по определению: х = 10¹ и х = 10^-1

х = 10 и х =

Вместо проверки можно находить область определения данного уравнения. По определению под знаком логарифма может быть только положительное значение, значит х > 0.

Область определения: х > 0, 10 >0 и >0, верные неравенства.

Ответ: , 10

• Метод замены. Решите уравнение - 3 + 2 = 0

Решение: введём переменную у, у = у² - 3у + 2 = 0, а = 1, b = - 3, с = 2

По т. Виета запишем: Получим: у₁ = 2, у₂ = 1

Произведём замену = 2 и

По определению логарифма: х = 10² и х = 10¹

х₁ = 100 и х₂ = 10

область определения: х > 0, 100 > 0, 10 > 0, верные неравенства.

Ответ: 10,100