Математика 6 класс

Сложение отрицательных чисел.

Форма работы: групповая

Методы работы: логическая атака, диалог

Ресурсы : учебник, доска, рабочие листы

Ход урока

Урок начать с деления на группы. Выбираются капитаны. Раздаются карточки с числами

1 группа (натуральные) 16, 84, 370, 462

2 группа (целые отрицательные) -462 -370 -84 -16

3 группа (обыкновенные дроби)

4 группа(десятичные дроби) 0,19 13,4 7,15 8,4

5 группа(целые числа) -6, 23, 0, 13, 179,-28

• Рассмотрите числа в своей группе и определите, как называются числа вашей группы.

• Среди чисел каких групп есть противоположные?

• Назовите наибольшее /наименьшее/ число данного ряда.

• Расположите числа в порядке возрастания

Маленько истории

Отрица́тельное число́ - элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Основной целью расширения было желание сделать вычитание такой же полноценной операцией, как сложение. В рамках натуральных чисел можно вычесть только меньшее число из большего, а переместительный закон не включает вычитание - например, выражение { 3+4-5} допустимо, а выражение с переставленными операндами {3-5+4} недопустимо...

Добавление к натуральным числам отрицательных чисел и нуля делает возможной операцию вычитания для любых пар натуральных чисел. В результате такого расширения получается множество (кольцо) «целых чисел». При дальнейших расширениях множества чисел рациональными, вещественными, комплексными и прочими числами, для них тем же путём получаются соответствующие отрицательные значения.

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Мотивация

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или, как у Диофанта, признавались как временные значения. Умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными.

В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Первое описание их в европейской литературе появилось в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202 год), который трактовал отрицательные числа как долг. Бомбелли и Жирар в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Даже в XVII веке Паскаль считал, что { 0-4=0}, так как «ничто не может быть меньше, чем ничто». Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция { 1:(-1)=(-1):1} - в ней первый член слева больше второго, а справа - наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Валлис считал, что отрицательные числа меньше нуля, но в то же время больше, чем бесконечность. Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Гаусс в 1831 году считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей).

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман)

Задача. Кузнечик прыгает по лестнице, начиная с этажа, где находится квартира Дениса. Сначала он прыгнул на 2 ступеньки вниз, потом на 5 ступенек вверх, и наконец на 7 ступенек вниз. На сколько ступенек и в каком направлении переместился кузнечик?

-2+5-7=-4

(другим способом нельзя выразить условия задачи) => делаем вывод о теме урока (запишите ее в тетрадь

/Сложение отрицательных чисел/

• Сформулируйте цель урока, используя слова научиться, знать, уметь (слова записаны на доске).

/ Научиться складывать два отрицательных числа. Знать

правило сложения отрицательных чисел. Уметь применять правило на практике./

• Где вы сможете применить знания полученные на уроке?

/Дети высказывают свои мнения./

Вопрос для исследования

• Как вы думаете, как складываются отрицательные числа?

/Дети интуитивно выдвигают свои предположения/

Исследование проблемы

• Чтобы сделать вывод о том, как складывать отрицательные числа, нужно вспомнить правило сложения чисел с помощью координатной прямой

1.Выполни сложение чисел с помощью координатной прямой:

1)( 1) + (-2); 2)( 1) + (4); 3) (5)+ (-2); 4) (4) + (-4) 5) (-5)+(-6)

Завершите утверждения, выбрав нужный вариант ( нужные подчеркните).

Если к числу прибавить отрицательное число, то ответ на координатном луче будет лежать ( правее левее).

Если к числу прибавить отрицательное число, то результат (уменьшится увеличится).

b

а+b

|a|

|b|

|a|+|b|

-1

-2

-3

1

2

2

-1

-4

-5

1

4

5

-5

-2

-7

5

2

7

-4

-4

-8

4

4

8

-5

-6

-11

5

6

112. Но выполнение сложения чисел на координатной прямой не всегда удобно, поэтому надо иметь алгоритм, который позволит складывать рациональные числа без координатной прямой. Заполните таблицу.

Обсуждение

-Посмотрите на третий и последний столбцы.

-Что вы можете сказать о числах , расположенных в этих столбцах ?

-Сравните результаты сложения с любым слагаемым.

3. Попробуйте сформулировать вывод, используя следующие утверждения (нужные подчеркните и пронумеруйте).

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо ……..

 из большего модуля слагаемых вычесть меньший;

 поставить перед полученным числом знак « - «;

 сложить модули отрицательных чисел;

 к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому

 поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Обобщение и выводы

• К какому выводу вы пришли?

Каждая группа зачитывает вывод

• Проверим.

• Может ли при сложении отрицательных чисел получиться 0? Положительное число? Отрицательное число?

/нет, нет, да/

• Вернемся к нашим предположениям. Были ли среди них верные?

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно: сложить их модули и поставить перед полученным числом знак минус «-». (правило записываем в тетрадь)

Творческое применение

4.Найти ошибку:

1) -21 + (-43) = -64

2) -26 + (-18) = -44

3) -31 + (-18) = -49

4)

5) -8,4 + (-8) = -8,2

5. а)Температура воздуха в 8 часов утра составила - 8°. К 9 часам она изменилась на -2°. К 10 часам на -9°, к 11 часам на -3°. Найдите температуру воздуха в 11 часов.

б). Водолаз начал работу на глубине - 11 метров. В ходе работ он изменял глубину погружения на - 4м, - 2м и на - 5м. На какой глубине водолаз закончил работу?

6. Найдите недостающие слагаемые

-15=-8+….

-6=-4+…

-20=-6,4+…

-71=-17+..

-3=-1,8+..

7. Найдите сумму удобным способом

(-33)+ (-17)+(-88)+(-57)+(-46)+(-75)+(-79)+(-19)+(-42)+(-43)=

Заключение

Выполняя данную работу, дети значительно расширили знания по математике. Древнегреческий философ Платон прав своим утверждением «Мы…никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы». Понять суть отрицательных чисел без истории их возникновения немыслимо. Работая со школьными учебниками, дети выяснили, что отрицательные числа больше всего встречаются в точных науках, в математике и физике. В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Встречаются они в истории, географии и биологии. В таких науках, как география и истории, отрицательное число можно заменить словами, например, ниже уровня моря, а в истории - 157 лет до н.э.