План-конспект урока в 10 классе «Уравнение касательной к графику функции»

План-конспект урока в 10 классе

«Уравнение касательной к графику функции»

Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний и формирования первоначальных предметных навыков, овладения предметными умениями.

Дидактическая задача урока: Обеспечение осознания и усвоения понятий, правил, алгоритмов; формирование умений применения теоретических положений в условиях решения учебных задач.

Цели урока: вывести уравнение касательной к графику функции, научить составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке.

Планируемые результаты:

ЗУНы. Учащиеся должны

знать: уравнение касательной к графику функции в точке х₀;

уметь: составлять уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке.

формирование навыка составления уравнения касательной к графику заданной функции в заданной точке.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебники, тетради учащихся, письменные принадлежности.

Учитель: Нестерова Светлана Юрьевна

Здравствуйте, ребята! Все готовы к уроку? Можете садиться.

1 слайд. «Касательная к графику функции»

Устная работа, направленная на подготовку учащихся к восприятию новой темы (повторение ранее изученного материала)

10.01 - 10.03

Фронтальная

Устная работа

Для того чтобы качественно разобраться с темой сегодняшнего урока, нам необходимо вспомнить то, что мы с вами ранее изучали.

Ответьте на следующие вопросы.

2 слайд.

1. Графиком какой функции является прямая? (линейной)

2. Каким уравнением задается линейная функция? (у = kх + b)

3. Как называется число, стоящее перед «х»? (угловой коэффициент прямой)

По-другому уравнение у = kх + b называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

3 слайд.

4. Чему равен угловой коэффициент прямой? (тангенсу угла наклона прямой, который эта прямая образует с положительным направлением оси Ох).

5. Сформулируйте определение касательной: (прямая, проходящая через точку (х_о; f(х_о)), с отрезком которой практически сливается график дифференцируемой в точке х_о функции f при значениях х близких к х_о).

4 слайд.

Если в точке x_o существует производная, то существует касательная (невертикальная) к графику функции в точке x_o.

5 слайд.

Если же f' (x₀) не существует, то касательная либо

• не существует (как у функции у = |х|),

• либо вертикальная (как у графика у = ³√х).

6 слайд.

Вспоминаем, каким может быть взаимное расположение касательной с осью абсцисс?

Прямая возрастающая => угловой коэффициент k >0, tg > 0 => угол острый.

Прямая // оси ОХ => угловой коэффициент k=0, tg = 0 => угол = 0⁰

Прямая убывающая => угловой коэффициент k <0, tg < 0 => угол тупой.

7 слайд.

Геометрический смысл производной:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке проведения касательной k = f `(x_o).

Хорошо, молодцы, повторение окончено.

Тема урока. Постановка цели урока

10.03-10.05

Обсуждение, беседа

Выполните следующее задание:

Дана функция у = х³. Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке х₀ = 1.

ПРОБЛЕМА? Да. Каким образом её решать? Ваши варианты? Где вы сможете найти помощь в решении этой проблемы? В каких источниках? Но проблема решаема? Так как вы думаете, какова будет тема нашего урока?

Тема сегодняшнего урока «Уравнение касательной».

Ну а теперь сформулируйте цели нашего урока (ДЕТИ):

1. Вывести уравнения касательной к графику функции в точке х_о.

2. Научиться составлять уравнение касательной для заданной функции.

Открываем тетради, записываем на полях число, «классная работа», тема урока.

Первичное восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала

10.06- 10.12

Фронтальная

Поисково - исследовательская

8 слайд.

Решим эту практическую задачу. Я пишу на доске - вы смотрите, рассуждаете вместе со мной.

Дана функция у = х³. Необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х₀ = 1.

Рассуждаем: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = kх + b.

Для того чтобы его написать, нам необходимо знать значение k и b.

Найдем k (из геометрического смысла производной):

k = f `(x<sub>o</sub>) = f `(1) = 3_* 1² = 3, т.е. k = 3.

Наше уравнение приобретает вид: у = 3х + b.

Вспомните: если прямая проходит через заданную точку, то при подстановке координат этой точки в уравнение прямой должно получиться верное равенство. Значит, нам необходимо найти ординату точки - значение функции в точке х₀ = 1: f (1) =1³ =1. Точка касания имеет координаты (1; 1).

Подставляем найденные значения в уравнение прямой, получаем:

1 = 3^.1+ b; значит b = - 2.

Подставим найденные значения k = 3 и b = - 2 в уравнение прямой: у = 3х - 2.

Задача решена.

9 слайд.

А теперь решим эту же задачу в общем виде.

Дана функция у = f (x), необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х₀.

Рассуждаем по той же схеме: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = kх + b.

Из геометрического смысла производной: k= f `(x<sub>o</sub>)=> у = f `(x_o)_* х + b.

Значение функции в точке х₀ есть f (x_o), значит касательная проходит через точку с координатами (х₀; f (x_o))=> f (x_o)= f `(x_o)_* x_o+ b.

Выразим из данной записи b: b= f (x_o) - f `(x_o)_* x_o .

Подставим все выражения в уравнение прямой:

у = f `(x<sub>o</sub>)<sub>*</sub> х + b= f `(x_o)_* х + f (x_o) - f `(x<sub>o</sub>)<sub>*</sub> x<sub>o</sub> = f `(x_o)_*(х - x_o)+ f (x_o).

СРАВНИТЬ С УЧЕБНИКОМ (стр. 131)

Найдите, пожалуйста, в тексте учебника запись уравнения касательной и сравните с тем, что у нас получилось.

Запись немного отличается (чем?), но она верна.

Принято записывать уравнение касательной в следующем виде:

у = f (x_o) + f `(x_o)(х - x_o)

Запишите эту формулу себе в тетрадь и выделите - вы должны её знать!

9 слайд.

А теперь давайте составим алгоритм нахождения уравнения касательной. Все «подсказки» у нас в формуле.

• Найти значение функции в точке х_о

• Вычислить производную функции

• Найти значение производной функции в точке х_о

• Подставить полученные числа в формулу

y = f(x_o) + f `(x_o)( x - x_o)

• Привести уравнение к стандартному виду

Отработка первичных навыков

10.12-10.14

Фронтальная

Письменная + совместное обсуждение

Каким образом эта формула работает? Рассмотрим на примере. Записываем пример в тетрадь.

Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = х³ - 2х² + 1 в точке с абсциссой 2.

Выполняем вывод уравнения с записью на доске и в тетрадях.

Ответ: у = 4х - 7.

Работа с источником информации

10.14-10.15

Индивидуальная

Чтение текста, обсуждение

Посмотрите в учебник на с. 131, пример 2. Прочитайте до п.3. О чем идет речь в данном примере? (можно составить уравнение для заданной функции в общем виде и потом найти уравнение касательной при любом значении х₀, а ещё можно найти точку пересечения касательной к стандартной параболе с осью Ох

Динамическая пауза

10.15-10.16

Отдых

Минутка отдыха.

Слайд - зарядка для тела, зарядка для глаз.

Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений и решения задач

10.16- 10.30

Фронтальная, индивидуальная

Письменная (доска + тетрадь)

Ну а теперь приступим к практической работе, цель которой - сформировать навык составления уравнения касательной.

На доске записать №№ 255(а, б), 256(а, б), резерв 257 (а, б), *.

* - задание следующего уровня сложности для наиболее подготовленных учеников: На параболе у = 3х² - 4х + 6 найти точку, в которой касательная к ней // прямой у =2х+4 и написать уравнение касательной к параболе в этой точке.

Для работы к доске приглашаются учащиеся (поочерёдно).

Ответы:

№255

а) у = - 3х - 6, у = - 3х + 6 б) у = 2х, у = - 2х +4

№256

а) у = 3, у = - 3х + 3π б) у = 2х + 1 - π/₂ , у = 4х + √3 - 4 π/₃

№257 (резерв)

а) х = 1, у = 1, в т. (1; 1) касательная // Ох

б) х = - 2, у = - 24, в т. (-2; -24) касательная // Ох

Задание *ответы:

А (1; 5), уравнение касательной у = 2х + 3.

Самостоятельное использование навыков

10.30-10.35

Групповая, индивидуальная, самостоятельная

Письменная (тетрадь), обсуждение работы в парах

Итак, чем мы занимались? Кому был понятен материал? У кого остались вопросы? Проведем самоконтроль понимания темы урока.

Работать вы будете в парах - на столах у вас лежат карточки с заданиями. Внимательно прочитайте задание, на выполнение работы даётся 4-5 минут.

Задание: Написать уравнение касательной к заданной функции f(x) в точке с заданной абсциссой.

I: f(x) = х² - 2х - 8, в точке с абсциссой -1. Ответ: у = -4х - 9.

II: f(x) = 2х² - 4х + 12, в точке с абсциссой 2. Ответ: у = 4х + 4.

III: f(x) = 3х² - х - 9, в точке с абсциссой 1. Ответ: у = 5х -12.

IV: f(x) = 4х² + 2х + 3, в точке с абсциссой -0,5. Ответ: у = -2х + 2.

Проверка выполнения самостоятельной работы

10.35-10.37

Фронтальная, групповая

Осуществление самоконтроля по образцу, обсуждение

На доске (поворотной) ответы. Учащиеся проводят самоконтроль.

У кого получились такие же ответы?

У кого ответы не сошлись?

Где вы допустили ошибку?

Вопросы учащимся на закрепление геометрического смысла производной:

• Назовите прямые, которые пересекают ось Ох под острым углом.

• Назовите прямые, которые // оси Ох.

• Назовите прямые, которые образуют с осью Ох угол, тангенс которого является отрицательным числом.

Рефлексия деятельности

10.37-10.39

Фронтальная

Беседа

Подведение итогов урока.

• Какая ПРОБЛЕМА возникла перед нами в ходе урока? (нужно было написать уравнение касательной, а мы не знали, как это сделать)

• Какие цели мы с вами ставили на этот урок? (вывести уравнение касательной, научиться составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке)

• Достигли ли вы цели урока?

• Кто из вас может сказать с уверенностью, что научился составлять уравнение касательной?

• У кого ещё остались вопросы? Мы обязательно ещё будем работать над этой темой и, я надеюсь, проблемы Ваши будут решены на 100%!

Домашнее задание

10.39-10.40

Запишите домашнее задание - №№ 255(вг), 256(вг), 257(вг), *, формула!!!

Посмотрите в учебник на задания вашей домашней работы.

№№ 255(вг), 256(вг) - продолжение классной работы по отработке навыка написания уравнения касательной.

* - задание следующего уровня сложности для тех, кто хочет себя проверить:

На параболе у = х² + 5х - 16 найти точку, в которой касательная к ней // прямой 5х+у+4 =0.

Спасибо за работу. Урок окончен.