Уроки по комбинаторике. Урок 4. Решение комбинаторных задач. Правило умножения.

Тема урока: «Решение комбинаторных задач. Правило умножения»

Место урока в учебном плане: «Комбинаторика. Случайные события» урок 4/8.

Тип урока: урок комплексного применения знаний,

Вид урока: виртуальное путешествие по школе.

Цели урока:

Образовательные:

• систематизирование и обобщение знаний при решении комбинаторных задач, которые сводятся к подсчету всевозможных вариантов перестановки, сочетаний и размещению элементов;

• отработать умения решать простейшие комбинаторные задачи

• показать учащимся на примерах практическое применение комбинаторики в повседневной жизни.

Развивающие:

• содействовать развитию логического мышления,

познавательного интереса учащихся,

памяти, внимания,

умения сравнивать и анализировать,

• развивать умения работать в группе

• расширять математический кругозор

• развивать навыки исследовательской деятельности

Воспитательные:

• воспитание интереса к изучению математики,

трудолюбия,

культуры учебного труда,

культуры речи, самостоятельности,

умения работать в коллективе.

Методы обучения: практические, дедуктивные, самостоятельная работа в группах

Формы занятий: групповая, практикум по решению задач

Дидактический материал:

• таблички на каждую группу с номерами №1-3,

• конверты на каждую группу с карточками для устной работы и номерами задач №1-№7,

• карточки для рефлексии для каждого учащегося,

• плакат на доску со стихотворением.

Литература:

1. Математика : учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.]; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». - 10-е изд. - М. : Просвещение, 2008.-302 с.: ил. - (Академический школь­ный учебник).

2. Математика, 5-б : кн. для учителя / [С. Б. Суворова, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова]. - М. : Просвещение, 2006. - 191 с. : ил.

3. Математика. 6 класс: поурочные планы по учебнику Г. В, Дорофеева, С. Б. Суворовой, И. Ф. Шарыгина и др. Часть II / авт.-сост. Т. Ю. Дюмина. - Волгоград: Учитель, 2006. - 247 с.

4. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 классы. / авт.- сост. В. Н. Студенецкая. Изд. 2-е, испр. - Волгоград: Учитель, 2006. -428 с.

5. Уроки математики с применением информационных технологий. 5-10 классы. Методическое- пособие с электронным приложением / Л.И. Горохова и др. 2-е изд., стереотип. -М.: Издательство «Глобус», 2010. - 266 с. (Coвременная школа).

6. Преподавание математики в современной школе. Методические рекомендации. Владивосток: Издательство ПИППКРО, 2003.

7. Автор-составитель - Р.И. Махиня, главный методист ПИППКРО, заслуженный учитель РФ, Рецензенты: Г.К. Пак, кандидат физико-математических наук ДВГУ; Е.А. Ланкина, кандидат физико-математических наук ДВГУ.

План урока.

1. Огрмомент

2. Актуализация знаний

3. Применение знаний, умений и навыков при решении задач практического значения (физкультминутка включается)

4. Подведение итогов

5. Рефлексия

6. Домашнее задание

Ход урока

1. Организационный момент.

Ребята, сегодня мы проведем необычный урок, виртуальное путешествие по школе. Прочитайте стихотворение на плакате, это будет нашим девизом на уроке.

Плакат:

Математика повсюду -

Глазом только поведешь

И примеров сразу много

Ты вокруг себя найдешь.

Разделитесь на 3 группы и выберете старшего группы, который будет выбирать учащихся для ответов на вопросы, заданные всей группе и в конце урока поможет мне оценить участие каждого учащегося за урок.

2. Актуализация знаний.

Немного истории.

С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. В дальнейшем появились игры, требовавшие умение планировать, рассчитывать свои действия, продумывать различные комбинации. Приспособления для таких игр археологи находили в древних захоронениях, например, в пирамиде египетского фараона Тутанхамона. А позже появились нарды, шашки, шахматы.

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает - «сочетать», «соединять». Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем.

Долгие времена комбинаторика развивалась в недрах арифметики, геометрии, алгебры. Однако как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII в. А толчком к этому послужили азартные игры, прежде всего игра в кости. ( Два или три кубика с нанесенными на них очками выбрасывали на стол, и выигрывал тот, у кого сумма очков оказывалась больше). Игроки пытались понять, почему одни суммы выпадают чаще, другие - реже. Задача оказалась совсем непростой, особенно в случае трех или даже четырех костей. Этой проблемой в XVI в. Занимались известные итальянские математики Джиролано Кардано, Никколо Тарталья, в XVII в. - Галилео Галилей, крупнейшие математики Франции Блез Паскаль и Пьер Ферма.

Комбинаторика является древнейшей и, возможно, ключевой ветвью математики. В математике есть задачи, в которых требуется из элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, составленных по определённому правилу. На практике часто приходится делать перебор определённого количества данных. Например, учителю приходится распределять различные виды работ между группами учащихся, офицеру выбирать из солдат наряд, агроному размещать культуры на полях, завучу составлять расписание и т.д. В данном случае речь идёт о всевозможных комбинациях объектов. Задачи такого типа называются комбинаторными задачами.

К чему я веду свой рассказ - вы, наверное, догадались. Из урока в урок я не перестаю повторять, что наш мир полон математики. И сегодня вы еще раз убедитесь в этом, применив свои знания и умения при решении комбинаторных задач.

Ученику 6 класса приходится встречаться с математикой, практически, постоянно. В частности, вы просчитываете различные комбинации,

• когда выбираете меню в столовой,

• формулируете свой ответ на уроках,

• составляете график дежурства по классу,

• планируете, как провести свои выходные или каникулы и так далее.

Мы исследуем школьный учебный день ученика 6 класса с точки зрения математики.

Я думаю, вы согласитесь со мной, что во всем прежде всего важен порядок, в котором есть свои законы, ничего лишнего.

И поэтому, я предлагаю вам для концентрации своего внимания устный счет, который приведет ваш ум в порядок.

Возьмите карточки с примерами на действия с целыми числами.

Вычислить устно: отвечают по порядку каждый учащийся из группы

1 группа 2 группа 3 группа

21+(-1)=

-13+18=

42+(-3)=

-18+5=

-21+39=

17+(-28)=

10-(-10)=

17+(-8)=

-40+80=

18-10=

-110+109=

-7+(-5)=

-12+(-7)=

-10-190=

-2 • (-8)=

-105 : 15=

-1 • (-14)=

-216 : 36=

-8 • (-3)=

-51 : (-17)=

45 : (-3)=

170 : (-10)=

-11 • 2=

1• (-4)=

-125 : (-5)=

-68 : (-34)=

69 : (-3)=

Молодцы! Легко справились с заданием и не забыли правила действия с целыми числами.

3. Применение знаний, умений и навыков при решении задач практического значения

А теперь в путь! Предлагаю вам виртуальное путешествие по школе.

Повесив одежду, вы очень часто отправляетесь к расписанию, посмотреть порядок уроков в день. А представьте на миг, чтобы стало в школе, если бы не было расписания. Трудно пришлось бы всем: и детям, и учителям. Даже в одном классе и то вряд ли легко решили бы проблему.

Однако, как разнообразно расписание, которое составляет завуч в школе. Разберем с какими задачами сталкивается завуч при составлении расписания.

В помощь тому, кто составляет расписание, решим задачу. (карточка 1)

Задача №1. В 6 классе в среду 5 уроков: география, русский язык, ИЗО, литература, математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что математика - последний урок?

Задача №1. В среду в шестом классе пять уроков по разным предметам: русскому языку, Истории, математике, географии и физкультуре. Сколько вариантов расписания на среду можно составить для этого класса?

Задача №1. В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели, должно быть, пять различных уроков?

Решение: Закодируем уроки Г - география, Р - русский язык, Л - литература, И - ИЗО, М - математика.

ГЛРИ

РЛГИ

ИЛГР

ЛГИР

ГЛИР

РЛИГ

ИЛРГ

ЛРГИ

ГРЛИ

РГЛИ

ИГЛР

ЛРИГ

ГРИЛ

РГИЛ

ИГРЛ

ЛИГР

ГИЛР

РИЛГ

ИРЛГ

ЛИРГ

ГИРЛ

РИГЛ

ИРГЛ

Р=6*4=24

Ответ: 24 варианта.

Почему математика в переборе не участвовала?

Решение: Р=5∙4∙3∙2∙1=120 способов

Решение: По формуле умножения, полагая в ней n = 14, k = 5, находим

Р = 14 ∙13 ∙12 ∙11 ∙10 = 240240. Ответ: 240240 вариантов расписания.

Учитель. - Да, трудно придется тому, кто забудет порядок уроков и, не посмотрев в расписание, захочет правильно заполнить дневник.

А сейчас по расписанию заглянем на урок географии. (карточка 2)Задача 2 Путешественник из пункта А в пункт С может попасть, доехав до промежуточного пункта В по одной из трёх существующих автомагистралей, а из В в С доехать либо поездом, либо на такси. Сколько существует различных маршрутов между пунктами А и С?

Задача 2 Задание 5. Из села Терновка в село Родничок ведут три дороги, а из села Родничок в город Большой - четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из села Терновка в город Большой через село Родничок?

Задача 2 Из города A в город B ведут две дороги, из города B в город C - три дороги, из города C до пристани - две дороги. Туристы хотят проехать из города A через города B и C к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

Решение: 3 ∙2 = 6 маршрутов.

Ответ: 6 маршрутов.

Решение. 3∙4 = 12 способами.

Решение. Путь из A в B туристы могут выбрать двумя способами. Далее, в каждом случае они могут проехать из B в C тремя способами. Значит, имеются 2∙3 вариантов маршрута из A в C. Так как из города C на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2∙3∙2, то есть 12 способов выбора туристами маршрута из города A к пристани.

Без переменки заглянем на урок русского языка.Задача 3 Используя весь русский алфавит, составьте как можно больше двухбуквенных слов, используемых в русском языке. При условии, что при перестановке букв тоже получится слово русского языка. (В одном слове буквы не повторяются).

I - выписывает слова с гласными: а,е,ё

Задача 3 Используя весь русский алфавит, составьте как можно больше двухбуквенных слов, используемых в русском языке. При условии, что при перестановке букв тоже получится слово русского языка. (В одном слове буквы не повторяются).

II - выписывает слова с гласными: и,э,у

Задача 3 Используя весь русский алфавит, составьте как можно больше двухбуквенных слов, используемых в русском языке. При условии, что при перестановке букв тоже получится слово русского языка. (В одном слове буквы не повторяются).

III - выписывает слова с гласными: о,ю,я

Решение: АД, ДА, АЗ, ЗА, АН, НА АХ, ХА

Решение: ИЛ, ЛИ, ИМ, МИ, НИ, УС, СУ

Решение: ОН, НО, ОТ, ТО, ЯЛ, ЛЯ, УФ, ФУ

ЯЛ - рабочая и учебная корабельная шлюпка; СУ - старинная французская монета.

Задача 4 Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка "Хочу пойти гулять куда-нибудь", а остальные строки все разные и получены из 1^ой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении?

Задача 4 Сколько перестановок можно сделать в предложении: Я мою руки.

Задача 4 Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: замок.

Решение По правилу умножения: 4*3*2= 24 строки Куда-нибудь хочу пойти гулять. Гулять куда-нибудь хочу пойти. и т. д.

Решение По правилу умножения 3*2*1=6 предложений

Решение По правилу умножения

Замок - 5*4*3*2=120 перестановок

Как богат, не правда ли, русский язык? А сейчас виртуальная перемена и у нас физкультминутка.

Физкультминутка.

На перемене мы заглянули в столовую.

Задача 5. В столовой имеются четыре первых блюда, пять вторых и два третьих. Сколькими способами посетители кафе могут выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Задача 5. В школьной столовой предлагают 2 первых блюда: борщ, харчо, и 4 вторых блюда: пельмени, котлеты, гуляш, рыба. Сколько обедов из двух блюд могут заказать посетители? Перечислите их.

Ответ. Из двух супов, трех вторых и двух третьих блюд можно составить 12 разных обедов из трех блюд.

Решение. 4∙5∙2 = 40 способами.

Ответ: 40.

Решение. 1-е блюдо: Б, Х - 2 возможности. 2-е блюдо: П, К, Г, Р - 4 возможности. Т.о., 2*4 = 8 различных блюд.

Ответ: 12.

Пошли на урок физкультуры.Задача 6 На уроке физкультуры Андрей, Марат, Костя, Саша, Петя и Сережа готовятся к прыжкам в высоту. а) Сколькими способами можно установить для них очередность прыжков? б) Сколькими способами можно установить

очередность прыжков, если обязательно начинают Костя или Саша?

Задача 6 Сколькими различными способами могут разместиться в шеренге 5 человек?

Задача 6 Сколькими способами восемь ребят могут установить очередь по прыжкам в длину.

Решение: 6!=1∙2∙3∙4∙5∙6=720, это очередность для всех, а

если обязательно начинает Костя, то 5!=1∙2∙3∙4∙5=120, а если Костя или Саша, то 2∙5!=240

Решение. Р =5∙4∙3∙2∙1=120 способов.

Решение. На первое место может встать любой из 8 человек, на второе - любой из 7 оставшихся, и т.д. Значит нужно вычислить

Р₈ = 1·2·3·4·5·6·7·8 = 40320. Ответ: 40320 способами.

Настало время заглянуть на следующий урок.

Наконец-то урок математики.Задача 7 Сколько трехзначных чисел можно составить из четных цифр?

Решение: четных цифр - 0, 2, 4, 6, 8. На первое место можно поставить любые цифры, кроме нуля, т.е. 4∙5∙4=80

Задача 7 Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 8? Есть ли среди них числа, кратные трем? Кратные девяти?

Задача 7 Сколько нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Решение: четных цифр - 0, 2, 4, 6, 8. На первое место можно поставить любые цифры, кроме нуля, т.е. 4∙5∙4=80

Решение: на первое место поставим 4 цифры, на второе - 5, на третье - 5, на четвертое - 5, на пятое - 3. Всего чисел - 4∙5∙5∙5∙3=1500. Найдем сумму цифр.

0+3+5+6+8=22, кратных трем и девяти нет

Решение: числа могут быть такими ***1 или ***3,на первое место можно поставить 3 цифры, на второе, 5, на третье - 5, на четвертое - 2, получим 35∙5∙2= 150

Мы буквально на несколько минут заглянули на уроки из расписания и действительно встретились с математикой.

Вы согласны со строчками стихотворения?

Математика повсюду -

Глазом только поведешь

И примеров сразу много

Ты вокруг себя найдешь.

Устали. Предлагаю в конце урока отложить ручки в сторону и немного включить воображение и память.

(Если останется время).

Я прочитаю вам маленькую математическую пьесу. (Приложение 1)

Подведение итогов урока. Учащиеся сдают тетради для проверки и все члены группы оценивают участие каждого учащегося на уроке.

Рефлексия

Домашнее задание. Самостоятельно прочитать дома и рассмотреть примеры к п.9.3 учебника

Вы все знаете басню И. Крылова «Квартет», вот отрывок из басни:

Проказница Мартышка,

Осел,

Козел

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть в квартет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

«Стой, братцы, стой!» - кричит

Мартышка.-

Погодите.

Как музыке идти? Ведь Вы не так сидите!

Действительно, здесь просматривается симпатичная комбинаторная задача.

Сколькими различными способами могут сесть крыловские музыканты.

Я предлагаю вам рассмотреть все возможные комбинации для пересадки зверей в басне.

(Приложение 1)

Математическая пьеса «Бесплатный обед»

Ведущий. Десять друзей, решив отпраздновать окончание средней школы в кафе, заспорили у стола о том, как усесться вокруг него.

Первый друг. Давайте сядем в алфавитном порядке, тогда никому не будет обидно.

Второй. Нет, сядем по возрасту.

Третий. Нет, нет. Сядем по успеваемости.

Четвертый. Да ну, опять успеваемость, это вам не школа, да и надоело.

Пятый. Тогда я предлагаю сесть по росту, и никаких проблем.

Шестой. Устроим здесь физкультуру, не так ли?

Седьмой. Придется тащить жребий.

Восьмой. Ну уж нет.

Девятый. По-моему, уже обед остыл.

Десятый. Я сажусь, где придется, и вы давайте за мной.

Появляется официант.

Официант. Вы еще не расселись? Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому придется, и выслушайте меня.

Все сели как попало.

Официант. Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-иному, и т.д., пока не перепробуете все возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы сегодня, тогда обещаю торжественно - я начну ежедневно угощать вас всех бесплатно самыми изысканными обедами.

Друзья (почти хором). Вот здорово, будем каждый день обедать у вас.

Учитель. Друзьям не пришлось дождаться того дня, когда они стали питаться бесплатно. И не потому, что официант не исполнил обещание.

А почему?

(РЕШЕНИЕ: Р_n = 10! =3 628 800 . Число n! с ростом n растет очень быстро. Это означает, что на самом деле официант ничем не рисковал, так как обещанное событие произойдет почти через 10 000 лет.)

9