Методическая разработка урока на тему Теорема Виета и ее применение

Методическая разработка

Теорема Виета для квадратного уравнения

Теоретические сведения.

Теорема Виета (прямая):

Если квадратное уравнение (a≠0) имеет корни и, то

и .

Доказательство: По формуле корней квадратного уравнения

Таким образом, первая формула теоремы доказана.

Для доказательства второй формулы воспользуемся тем, что D = b² - 4ac, поэтому

что и требовалось доказать.

Замечание. Корни приведенного квадратного уравнения удовлетворяют соотношениям: и .

Действительно, не приведенное квадратное уравнение (a≠0) можно связать с приведенным уравнением следующим образом: или т.к. а≠0, то.Это и есть приведенное квадратное уравнение, которое можно записать в виде, где , , поэтому , если в теореме заменить на р,

а на q, то получим, что, .

Теорема Виета(обратная):

Если числа α и β таковы, что α+β=р, а αβ=q, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения .

Доказательство: Докажем, действительно ли числа удовлетворяют этому уравнению. Подставим в левую часть уравнения р = α + β и q = αβ :

.

Таким образом, квадратное уравнение принимает вид, а корнями этого уравнения, очевидно, являются числа α и β, что и требовалось доказать.

Замечание1. Обратная теорема Виета используется для составления квадратного уравнения по его известным корням.

Замечание 2. Если один из корней квадратного уравнения с рациональными коэффициентами - иррациональный и имеет вид , то второй корень этого уравнения ( это следует из формулы корней квадратного уравнения и ).

Решение типовых задач.

Пример 1. Не находя корней квадратного уравнения , найти, чему равны выражения :

а) ; б); в) ; г) ; д)

Решение: Из уравнения по теореме Виета находим

,

а) .

б) .

в) .

г)

д )

Пример 2. Составить приведенное квадратное уравнение, корни которых обратны корням уравнения .

Решение. Пусть корни искомого уравнения и. Тогда по условию задачи и. Чтобы составить приведенное квадратное уравнение, нужно знать и

.

Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид.

Пример 3. Составить приведенное квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен .

Решение. Учитывая замечание 2, получим второй корень данного уравнения . Тогда

Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид

Пример 4. Пусть и - корни квадратного уравнения . Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) и ; б) и; в) и .

Решение. а) По условию , а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х² + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.

Получим: р = -(Х₁ + Х₂) и q = Х₁ · Х₂, где , а

Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:

или

Ответ:

Б) а) По условию , а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х² + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.

Получим: р = -(Х₁ + Х₂) и q = Х₁ · Х₂, где , а

Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:

Ответ:

Пример 5. Уравнение 2х² - 7х - 3 = 0 имеет корни х₁ и х₂.Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х₁ = 1/х₁ и Х₂ = 1/х₂.

Решение. х_{1 +} х₂ = 7/2 и х_{1 ·} х₂ = -3/2. Составим

второе уравнение по его корням в виде х² + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теореме

Виета.

Получим: р = -(Х₁ + Х₂) и q = Х₁ · Х₂.

р = -(х_{1 +} х₂)/(х₁ · х₂) = 7/3 и q = 1/(х_{1 ·} х₂) = -2/3.

Искомое уравнение примет вид: х² + 7/3 · х - 2/3 = 0.

Теперь легко посчитаем утроенную сумму его

коэффициентов: 3(1 + 7/3 - 2/3) = 8.

Ответ: 8

Теорему Виета удобно применять при решении систем уравнений

Пример 5. Решить систему уравнений:

Решение: Преобразуем выражение

Получим систему:

Пусть х + у = u, a xy=v , получим:

Сложив уравнения получим уравнение

u² + u -20 = 0, корни которого u=-5 и u=4

тогда v₁ = 12 , v₂ = 3. Возвращаясь к исходной

переменной получим две системы уравнений:

и

По теореме, обратной теореме Виета , составим

квадратные уравнения

и

Пары чисел, составленные из корней второго квадратного уравнения, являются решениями данной системы.

Ответ: (1; 3), (3; 1)

Рассмотрим применение теоремы Виета для решения задач с параметром.

Пример1 .При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения

равна ?

Решение. По теореме Виета

По условию

При а=-11 получим 2х² - 11х + 22 + 1 = 0. Это уравнение не имеет корней, т.к. D<0/

При а=3 получим уравнение 2х² +3х - 6 + 1 = 0 или 2х² + 3х - 5 = 0, корни которого х₁=1, х₂=-2,5

удовлетворяют условию .

Действительно, 1+6,25=7,25=

Ответ: при а = 3

Пример 2. При каком значении параметра k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

Решение. Произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену, т.е. .Требуется выполнение условия. Решив данное уравнение, получим корни ,

Ответ: при k=3, k=4.

Пример 2. Найдите разность корней уравнения и значение параметра k, при котором корни уравненияотносятся как 2:3.

Решение. По условию х₁ : х₂ = 2:3, откуда х₂ = 1,5х₁. Тогда

х₁ + х₂ = 5/2 (1) , а

х₁х₂ = -а/2 (2)

Из соотношения (1) получим х₁ +1,5 х₁ = 5/2

х₁ = 1

х₂ = 1,5

Откуда х₂ - х₁ = 0,5

Подставив полученные значения в (2), получим k =-3

Пример 3. При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения 2х² - (а + 1)х + (а - 1) = 0 равна их произведению?

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами

(а + 1)² - 8(а - 1) > 0 или (а - 3)² > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х₁>х₂ и получим х₁ + х₂ = (а + 1)/2 и

х₁ · х₂ = (а - 1)/2. Исходя из условия задачи х₁ - х₂ = (а - 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно

Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х₁ = а/2, х₂ = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х₁ · х₂ = (а - 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а - 1)/2. Тогда, а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Ответ: при а = 2.

Пример 4. Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней

уравнения х² - 2а(х - 1) - 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение. Прежде всего, приведем уравнение

к каноническому виду: х² - 2ах + 2а - 1 = 0.Оно будет иметь корни, если

D/4 ≥ 0.

Следовательно: а² - (2а - 1) ≥ 0. Или (а - 1)² ≥ 0.

А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х₁ + х₂ = 2а,

х₁ · х₂ = 2а - 1

х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁ · х₂

х₁² + х₂² = (2а)² - 2 · (2а - 1) = 4а² - 4а + 2.

По условию задачи: х₁ + х₂ = х₁² + х₂².

Получим: 2а = 4а² - 4а + 2. Это квадратное

уравнение имеет 2 корня: а₁ = 1 и а₂ = 1/2.

Наименьший из них -1/2.

Ответ: 1/2.

Пример5.Найти все значения параметра а,при которых квадратное уравнение(а+2)х² -ах-а=0 имеет два корня, расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.

Решение.

При а+2=0, а=-2, тогда 2х+2=0, х=-1 -

единственное решение, следовательно данное значение а не удовлетворяет условию задачи.

Пусть а≠-2. Тогда , если х₁ и х₂ - корни уравнения, то х₁ =1-у, х₂= 1+у, где у -некоторое действительное число.

По теореме Виета имеем:

или

Решим первое уравнение системы:

2(а+2)=а, а=-4.

Найдем дискриминант данного квадратного уравнения:

Данное значение а = -4 удовлетворяет

полученным значениям.

Ответ: а = -4.