Конспект урока по геометрии на тему «Подобие фигур. Первый признак подобия треугольников» (3 класс)

Урок 3
Подобие фигур.
Первый признак подобия треугольников

Цели: повторить алгоритм решения задач на построение, познакомить с понятием подобия фигур, доказать первый признак подобия треугольников.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

1. Индивидуальная работа.

Карточка 1.

Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Карточка 2.

Построить треугольник, гомотетичный данному, взяв за центр гомотетии точку, лежащую вне треугольника, и k = 2.(Передняя часть доски.)

Карточка 3.

Построить треугольник, гомотетичный данному, взяв за центр гомотетии точку, лежащую внутри треугольника, и k = . (передняя часть доски.)

2. Фронтальный опрос.

- Закончите предложения.

При преобразовании подобия переходят прямые в ... (прямые); полупрямые в ... (полупрямые); отрезки в ... (отрезки); угол в ... (равный угол).

- Сформулируйте общую схему решения задач на построение.

Решить задачу на построение при помощи циркуля и линейки - значит свести ее к конечному числу элементарных построений, которые считаются всегда выполнимыми.

Решение задач на построение проводится по классической схеме, которая состоит из следующих этапов:

1. Анализ. Это очень важный, первый, этап, на котором намечается план решения. Построение предполагается выполненным. На этом этапе делается гипотетический рисунок, исследуется условие задачи, ищутся связи между данными искомыми элементами.

2. Построение. Это основной этап решения задачи, на котором конечные результаты проделанного анализа используются для заданного изначально построения (т. е. действия выполняются в обратной последовательности). На основании этого второй этап можно назвать синтезом, так как в ходе его осуществляется фактическое построение требуемой фигуры, т. е. делается чертеж.

3. Доказательство. Целью этого этапа является выяснение того, отвечает ли построенная фигура требованиям задачи, справедливы ли рассуждения, проведенные на первом этапе решения.

4. Исследование. На этом завершающем этапе необходимо выяснить, всегда ли проводимые построения возможны и сколько решений существует.

III. Изучение нового материала.

План

1. Определение подобия, обозначение.

2. Свойство транзитивности: «Если фигура F₁ подобна фигуре F₂, а фигура F₂ подобна фигуре F₃, то F₁ подобна фигуре F₃».

3. Определение подобных треугольников.

Треугольники называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

4. Проверка задания, выполненного учащимися на доске.

- Можно ли сказать, что полученные фигуры подобны?

Акцентировать внимание учащихся на том, что если АВС ~ А₁В₁С₁, то А переходит в А₁, В - в В₁, С - в С₁, А = А₁, В = В₁, С = С₁;

- коэффициент подобия.

Самостоятельно сделать запись.

5. Устно решить задачи 5, 6, 7 (п. 102).

6. Доказать первый признак подобия треугольников по двум углам.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Что делаем

Что получаем

1) Подвергаем А₁В₁С₁ преобразованию подобия с коэффициентом
k = например гомотетии.

2) Сравниваем А₂В₂С₂ и АВС.

3) Сравниваем А₂В₂С₂ ~ А₁В₁С₁,

А₂В₂С₂ = АВС

Получаем А₂В₂С₂:

А₂В₂С₂ ~ А₁В₁С₁,

причем А₂ = А₁, В₂ = В₁
и А₂В₂ = kА₁В₁ (по построению).
По условию А = А₁, В = В₁.

Следовательно, А₂ = А, В₂ =
В, А₂В₂ = АВ, А₂В₂С₂ = АВС
(по второму признаку треугольника), АВС ~ А₁В₁С₁ (по свойству транзитивности)

IV. Закрепление изученного материала.

Решение задач по готовым чертежам:

- найдите подобные треугольники;

- докажите их подобие;

- запишите пропорциональность сторон.

V. Итог урока.

1. Что значит АВС ~ А₁В₁С₁?

2. АВС ~ А₁В₁С₁, А = 30°, В = 85°, С = 65°. Чему равны А₁, В₁, С₁?

3. АВС ~ С₁А₁В₁.

АВ = 3 см, ВС = 4 см, АС = 6 см, А₁В₁ = 12 см.

Вычислить В₁С₁ и А₁С.

Домашнее задание: п. 102, № 8; п. 103, № 14, 15; дополнительно решить задание № 9 (для учащихся с высоким уровнем подготовки).

Задача № 8 (для учащихся с высоким уровнем подготовки).

Даны угол и внутри него точка А. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А.

Анализ.

1) Если такая окружность найдена, то ее центр лежит на биссектрисе угла.

2) Окружности гомотетичны.

Центр гомотетии N, k = .

При заданной гомотетии А₁ переходит в A, О₁в O.

Таким способом найдется точка O.

Построение.

1. Строим биссектрису угла.

2. Строим любую окружность, центр которой лежит на биссектрисе, окружность касается сторон угла.

3. Соединяем точки A и N.

Прямая AN пересекает окружность в точке А₁.

4. Проводим прямую d, параллельную О₁А₁.

(теорема. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.)

5. Прямая d пересекает биссектрису в точке O - центр искомой окружности.

6. Строим искомую окружность. Радиус окружности равен ОD.

Задача № 9.

Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной стороне, а две другие вершины - на двух других сторонах.

Решение:

1) Построим квадрат D₁E₁F₁Q₁, такой, чтобы вершины F₁ и Q₁ лежали на стороне АС, а вершина D₁ на стороне АВ.

2) Гомотетия относительно вершины А, переводящая точку E₁ в точку Е, лежащую на стороне ВС, переводит точки D₁ в D, F₁ - в F, Q₁ - в Q.

3) ЕF  АС, длина отрезка ЕF - сторона искомого квадрата.

4) Четырехугольник DEFQ - квадрат, так как гомотетия переводит фигуру в подобную фигуру.