Методическая разработка темы 'Теорема Пифагора' (геометрия 8 класс)

Методическая разработка темы «Теорема Пифагора»

геометрия 8 класс (учебник Атанасяна Л.С.)

Разработано: Губановой Натальей Анатольевной,

учителем математики МКОУ «Адуевская основная общеобразовательная школа»

Пояснительная записка.

Данная методическая разработка представлена мною в виде серии уроков по геометрии в 8 классе по теме «Теорема Пифагора».

Теорема Пифагора является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Сама же теорема замечательна тем, что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное практическое значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу.

На первом уроке «Теорема Пифагора» я предлагаю путём создания проблемной ситуации подвести учащихся к доказательству теоремы, познакомить их с историческими сведениями о Пифагоре, о способах доказательства теоремы. Закрепляются полученные знания путём решения простейших задач.

На втором уроке «Теорема, обратная теореме Пифагора» предлагаю провести фронтальную работу с классом по готовым чертежам, проверяя знания учащихся, полученные на предыдущем уроке. Познакомить их с доказательством теоремы, обратной теореме Пифагора; с пифагоровыми треугольниками. В конце урока учащимся предлагается решить самостоятельно несколько задач с проверкой ответов.

На третьем уроке «Решение задач по теме «Теорема Пифагора» предлагаю «тихим» опросом проверить знания учащихся по теореме, обратной теореме Пифагора. Закрепление и совершенствование знаний, умений и навыков учащихся по данной теме осуществить на примере решения исторических задач. Затем провести контроль знаний в виде самостоятельной работы с выбором уровня сложности. Ответы самостоятельной работы в виде афоризмов Пифагора проверяются на уроке. В конце урока заслушать сообщения учащихся о Пифагоре или о других способах доказательства теоремы Пифагора.

Ко всем урокам составлены небольшие презентации в программе PowerPoint, так чтобы время работы учащихся с интерактивной доской не превышало допустимых норм.

Урок №1 по теме «Теорема Пифагора»

Цель: создать условия для выведения доказательства теоремы Пифагора и её применения при решении задач, организовать самостоятельно-познавательную деятельность учащихся при изучении темы.

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация к уроку.

Ход урока:

1. Организационный момент. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока. (слайд 2)

3 см

3 см2. Решение задач по готовым чертежам. Найти площадь фигур (слайды3,4):

8 7

8 см

3. Проблемная ситуация. При решении четвертой задачи вы столкнулись с проблемой нахождения стороны прямоугольного треугольника по двум другим сторонам. Эта задача была решена очень давно. Утверждение, которое выражает зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, носит название теоремы Пифагора (VI в. до н. э.). Она гласит: квадрат гипотенузы прямоугольника треугольника равен сумме квадратов его катетов.

4. Изучение нового материала: (слайд 5)

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".

На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке.

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. (слайд 6)

b

c

а

Дано:

Прямоугольный треугольник,

a, b - катеты, с - гипотенуза

Доказать:

c² = a² + b²

Доказательство.

1. Продолжим катеты прямоугольного треугольника: катет а - на длину b, катет b - на длину а.

До какой фигуры можно достроить треугольник? Почему до квадрата? Чему будет равна сторона квадрата?

2. Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b. (слайд 7)

а

b

b

b

b

а

а

а

Как можно найти площадь этого квадрата?

3. Площадь квадрата равна

Разобьем квадрат на части: 4 треугольника и квадрат со стороной с.

Каким образом ещё можно найти площадь исходного квадрата?

Почему равны получившиеся прямоугольные треугольники?

4. С другой стороны,

5. Приравняем получившиеся равенства:

Теорема доказана.

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с² - площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а² и b² - площади квадратов, построенных на катетах.(слайд 8)

Существует шуточная формулировка этой теоремы: «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Вероятно, такая формулировка связана с тем, что первоначально эта теорема была установлена для равнобедренного прямоугольного треугольника. (слайд 9-10)

6. Закрепление. Повторим ещё раз теорему Пифагора словами И. Дырченко

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдём:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путём

К результату мы придём. (слайд11)

Теорема Пифагора - одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Решение проблемы. Теперь вернемся к четвёртой задаче и решим ее.

Решим устно несколько задач: №483(а, б), 484(а, б)

Работа в рабочих тетрадях: решить задачи № 45, 46. Учащиеся работают самостоятельно, по завершении работы один из учащихся читает решение задачи №45, остальные проверяют своё решение, исправляют ошибки (если есть).

Таким же образом проверяется задача №46

Решить на доске и в тетрадях задачи №487, №486 (б).

7. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии - теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач.

8. Задание на дом. П. 54(теорема); №483(в, г); №484(в, г)№486(в);

№47 из рабочей тетради.

Подготовить сообщения об истории теоремы Пифагора.

Урок №2 по теме: «Теорема, обратная теореме Пифагора».

Цель: создать условия для выведения теоремы, обратной теореме Пифагора, организовать самостоятельно-познавательную деятельность учащихся при изучении темы.

Тип урока: урок изучения нового материала

Оборудование: компьютер, проектор, презентация к уроку

Ход урока

1. Организационный момент:

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока. (Слайд 2)

2. Актуализация знаний учащихся.

1) Теоретический опрос:

Сформулировать и доказать теорему Пифагора (Подготовиться у доски одному из учащихся, затем, после решения задач по готовым чертежам заслушать его ответ всем классом)

2) Фронтальная работа с классом: решение задач по готовым чертежам (устно)

1. (Слайд 3)

В

6

С 8 А

Найти АВ. (Ответ:10)

2. (Слайд 4)

А 5 В

7

С Найти ВС.

3. (Слайд 5) А

13

В 12 Д

ВД=12, Найти АС.

4. (Слайд 6) А

В ОО Д

С

АС пересекает ВД в точке О. Найти ВС

5. В С

А Д

АВСD - прямоугольник, ВД=25см, АВ:AD=3:4,

Найти: АD. (Слайд 7)

6. (Слайд 8)

С 135˚

6 см

135˚

В А

Найти АВ.

Заслушать ответ ученика у доски (доказательство т.Пифагора).

Мотивация к деятельности (фронтальная работа с классом) с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала: (Слайд 9) сформулировать утверждения, обратные данным и выяснить, верны ли они:

- Сумма смежных углов равна 180˚.

- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

-Вертикальные углы равны.

- В параллелограмме противолежащие стороны равны.

- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3. Изучение нового материала (Слайд 10)

Теорема, обратная теореме Пифагора: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Дано: Треугольник АВС, .

Доказать: треугольник АВС прямоугольный

Доказательство: (Слайд 11)

1. Рассмотрим треугольник такой, что угол =90˚, =АС,

=ВС. Тогда по теореме Пифагора =.

2. Так как =АС,=ВС, то :

==, следовательно, = и АВ=.

3. ∆АВС - прямоугольный.

Итак, если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами, называются Пифагоровыми треугольниками.

Проверьте, являются ли Пифагоровыми треугольниками треугольники: (Слайд 12)

а) с гипотенузой 25 и катетом 15;

б) с катетами 5 и 4?

в) с гипотенузой 5 и катетом 4?

Примеры Пифагоровых треугольников (Слайд 13):

26, 24 и 10 (10, 8 и 6; 13,12 и 5; 15, 12 и 9)

Треугольник со сторонами 3,4 и 5 был известен еще древним египтянам. Египтяне использовали их для построения прямых углов. Делали они это так: на веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3,4 и 5. Угол, лежащий против стороны, равной 5, оказывался прямым. Этот треугольник получил название египетского треугольника и по сей день именно так его и называют. (Слайд 14)

4. Закрепление изученного:

Решить устно №498 а), б), в).

Решить задачу № 499 а) на доске и в тетрадях учащихся. Один из учащихся выходит к доске, остальные работают в тетрадях.

Наводящие вопросы:

- Как проверить, является ли треугольник прямоугольным?

- К какой из сторон будет проведена меньшая высота треугольника?

- Какой способ вычисления высоты треугольника часто используется в геометрии?

- Используя формулу для вычисления площади треугольника, найдите нужную высоту.

Деятельность учащихся: решить самостоятельно задачи: (Слайд 15)

1. Определите углы треугольника со сторонами 1, 1,

2. В треугольнике АВС АВ= , ВС=2. На стороне АС отмечена точка М так, что АМ=1, ВМ=1. Найдите АС.

3. В треугольнике МРК РК=2. На стороне МК отмечена точка А так, что МА=АР= , АК=1. Найдите угол МРК.

Проверим ответы: (Слайд 16)

1.45⁰; 45⁰; 90^0.

2. 1+

3. 75⁰.

4. Подведение итогов урока. Деятельность учителя: оценить работу учащихся на уроке.

Что нового вы узнали на сегодняшнем уроке?

Кто лучше всех работал?

5. Домашнее задание: (Слайд 13)

Пункт 55(теорема); №498 (г, д, е); №499 (б); №488;

№49 из рабочей тетради.

Урок №3 «Решение задач по теме «Теорема Пифагора».

Цель: создать условия для совершенствования навыков решения задач на применение теоремы Пифагора и теоремы, обратной т.Пифагора.

Тип урока: урок закрепления изученного материала

Оборудование: компьютер, проектор, презентация к уроку; карточки с заданием для самостоятельной работы

Ход урока

1. Организационный момент:

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока. (Слайд 2)

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос: (Слайд 3)

1. Фронтальная работа с классом:

-Сформулировать теорему Пифагора.

-Сформулировать теорему, обратную теореме Пифагора.

2) Индивидуальные письменные задания:

-доказать теорему Пифагора (учащиеся 1 варианта);

- доказать теорему, обратную теореме Пифагора (учащиеся 2 варианта).

3. Решение исторических задач

1.Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого: (Слайд 4) «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать». (Ответ: 44)

2. Задача индийского математика XII века Бхаскары: (Слайд 5)

«На берегу реки рос тополь одинокий

Вдруг ветра порыв его ствол надломал

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?» (Ответ: 8 )

3.Задача о лотосе из сочинения Бхаскары (XII век): (Слайд 6)

На стебле с полфута над озером

тихим,

Рос лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Больше цветка над водой.

Нашёл же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока? (Ответ: 3,75)

4. Самостоятельная работа (отгадывание афоризмов Пифагора).

Пифагор был разносторонней личностью. Он занимался и медициной, и математикой, был выдающимся спортсменом. А еще Пифагор был философом. Многие его афоризмы и сегодня актуальны для нас.

Учащимся предлагается выполнить несколько заданий, где к каждому заданию дано несколько вариантов ответов, рядом с которыми записаны фрагменты афоризмов Пифагора. Решив задания, учащиеся должны составить из полученных фрагментов высказывание и записать его. (Уровень сложности выбирают самостоятельно).

Карточка 1 (Слайд 7)

№1. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4 см. Вычислите его гипотенузу.

№2. Диагональ прямоугольника ABCD - 10 см. Сторона АВ = 8 см. Вычислите сторону ВС.

Ответы к задаче №1

Ответы к задаче №2

5 - не гоняйся за счастьем

4 - оно присутствует около тебя

6 - не бегай за счастьем

6 - оно всегда находится в тебе самом

Ответ: Не гоняйся за счастьем, оно всегда находится в тебе самом.

Карточка II. (Слайд 8)

№1. Вычислите катет прямоугольного треугольника, если другой катет равен 8, а гипотенуза 10 см.

№2. Стороны прямоугольника равны 12 см и 5 см. Вычислите длину диагонали.

Ответы к задаче №1

Ответы к задаче №2

4 - формулы

13 - управляют миром

6 - числа

14 - правят всем

Ответ: Числа управляют миром.

Карточка III (Слайд 9)

№1.Вычислите катет прямоугольного треугольника, если две другие его стороны равны 15 и 17 см.

№2. Найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если основание равно 8 см, а высота, опущенная на основание 3 см.

Ответы к задаче №1

Ответы к задаче №2

8 - либо молчи

5 - либо говори то, что ценнее молчания

64 - хочешь - молчи

6 - или говори о том, что интересно всем

Ответ: Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.

Проверка результатов (чтение афоризмов). (Слайд 10)

5. Заслушать сообщения учащихся. (Слайд 11,12)

Подвести итог выступлениям сонетом Шамиссо:

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далёкий век.

6. Подведение итогов урока. Оценить работу учащихся на уроке; особенно отметить тех, кто подготовил доклады.

7. Домашнее задание: (Слайд 12) №491 (а); №493; №50 из рабочей тетради.

Литература:

1. Геометрия 7-9 кл.\ Атанасян Л.С.- М. «Просвещение», 2012

2. Рабочие тетради по геометрии 8 класс.\Л.С.Атанасян.- М.:«Просвещение»,2013

3. Пифагор-Союз истины, добра и красоты.\ Ворошинов А.В.- М.: «Просвещение», 1993.

4. Пифагор и его школа.\ ЖмудьЛ.Я - Л.:Наука, Ленингр. Отделение, 1990.

5. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса.\Ершова А.П., В.В.Голобородько, Ершова А.С.- «Илекса. Гимназия»,2010