Темы проектов по математике для учащихся седьмых классов.

Темы проектов по математике для учащихся 7-х классов на 2015/2016 учебный год.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ПРОЕКТЫ

Первая группа тем - проекты- доклады.

1. Дети-математики. Известны случаи, когда математические способности проявлялись у людей в довольно раннем возрасте. Некоторые из них потом стали математиками, некоторые выбрали другой путь. В проекте предполагается рассказ о том, какие результаты были получены юными математиками, и как сложилась их дальнейшая судьба.

2. Треугольник Паскаля и его свойства. "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике". (М. Гарднер).

3. Грамматические нормы современного русского языка на уроках математики.

4. Геометрия помогает алгебре (решение текстовых задач с помощью графиков).

5. Российские математики-лауреаты престижных премий. Известно, что Нобелевская премия за результаты в математике не вручается. Но премиями математики (в том числе и наши соотечественники) не обижены. Какими именно? За что и кем они получены?

6. Математики-писатели (Александр Волков, Александр Солженицын, Льюис Кэрролл, Алан Милн и другие).

7. Формула Пика (с доказательством).

Формула Пика изящна своей простотой и примечательна тем, что её можно легко проверить с помощью карандаша и листа бумаги в клетку. Нарисуем на клетчатой бумаге многоугольник так, чтобы все его вершины приходились на узловые точки сетки. Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри многоугольника, Г - количество узлов на его границе. Теорема Пика утверждает, что площадь многоугольника можно найти по формуле

. В нашем случае В=27, Г=15, S=33,5 (проверьте!).

Вторая группа тем - проекты-исследования

(не очень сложные).

8. Головоломки своими руками. Должна получиться небольшая игротека головоломок собственного изготовления и приложение - правила и решения к ним.

9. Паркеты.

Лебеди, изображенные голландским художником М. Эшером, образуют, как говорят математики, паркет, то есть полностью заполняют плоскость без просветов и наложений. Паркеты могут состоять и не из одной фигуры (см. рисунок, где паркет образуют два неравных квадрата), но мы будем рассматривать только паркеты, образованные повторением одной фигуры. Примеры вы видите на рисунках. И не только варианты паркетов, но и способ их получения. Паркет из моряков придумал ученик 6 класса, а три последних паркета тоже принадлежат школьникам, но уже японским.Ваш проект состоит в том, чтобы самим придумать красивые паркеты.

10. Восстановление примеров.

Восстановите примеры:

В последнем примере выполнено возведение в квадрат, причем известно, что в записи произведения встречается цифра 5.

Придумайте свои аналогичные примеры, которые можно восстановить однозначно.

11. Задачи о разрезании.

Задача 1.Легко видеть, что правильный шестиугольник (то есть такой, у которого равны все стороны и все углы) можно разрезать на две равные трапеции. А можно ли его разрезать на большее число трапеций? Сколькими способами можно это сделать?

Задача 2. Бумажный треугольник разрезают по одной из его биссектрис.

а) докажите, что из треугольников с углами 20^о, 40^о, 120^о и 40^о, 60^о, 80^о можно с помощью такой процедуры получить треугольник с теми же углами, что и в первоначальном треугольнике (возможно, разрезания по биссектрисе придется проводить несколько раз), а из треугольника с углами 20^о, 20^о, 140^о - нельзя.

б) Найдите все треугольники, из которых с помощью разрезаний по биссектрисе можно получить треугольник с углами 20^о, 20^о, 140^о.

12. Игра «Ферзь». На поле f8 стоит ферзь. Играют двое и ходят по очереди. Каждый из игроков за один ход может передвинуть ферзя либо на несколько клеток вниз по вертикали (на сколько угодно), либо на несколько клеток влево по горизонтали, либо на несколько клеток влево - вниз по диагонали. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Значит, выигрывает тот, кому удастся загнать ферзя в левый нижний угол - на поле а1. Кто выигрывает при правильной игре - первый или второй игрок, и как он должен играть?

13. Задачи о замощении плоскости минус-кубиками.

Из куба размером 2х2 удаляют один или несколько кубиков 1х1 (см. таблицу). Получившиеся многогранники назовем минус-кубами. Их 7 видов. И многогранниками каждого вида можно замостить пространство без просветов и наложений. Этот факт и надо доказать.

Третья группа тем - проекты-исследования

(средней сложности).

14. Задачи, посвященные цифрам 6 и 9.

Задача 1. Объясните закономерность, которая имеется в следующей числовой пирамиде:

9х9=81

99х99=9801

999х999=998001

9999х9999=99980001

99999х99999=9999800001

999999х999999=999998000001

9999999х9999999=99999980000001.

Задача 2. Объясните закономерность, которая имеется в следующей числовой пирамиде:

6х6=36

66х66=4356

666х666=443556

6666х6666=44435556

66666х66666=4444355556

666666х666666=444443555556

6666666х6666666=44444435555556.

Задача 3. Объясните закономерность, которая имеется в следующей числовой пирамиде:

9х6=54

99х66=6534

999х666=665334

9999х6666=66653334

99999х66666=6666533334

999999х666666=666665333334

9999999х6666666=66666653333334.

Задача 4. Объясните закономерность, которая имеется в следующей числовой пирамиде:

9²+6²=117

99²+66²=14157

999²+666²=1441557

9999²+6666²=144415557

99999²+66666²=14444155557

999999²+666666²=1444441555557

9999999²+6666666²=144444415555557.

Задача 5. Пусть А - число, в записи которого нет других цифр, кроме девяток и шестерок (допускается и случай только девяток или только шестерок). Например, А=9996966. Рассмотрим А*- число, которое получается из А заменой всех шестерок на девятки, а всех девяток - на шестерки. В нашем случае А*=6669699. Оба числа возведем в квадрат и из большего вычтем меньшее:

(А)²-(А*)²=9996966²-6669699²= 55454444454555.

Докажите, что для любого числа А данная разность записывается только пятерками и четверками.

15. Задача о покупке дыни. Предложена американским автором книг по популярной математике Мартином Гарднером, решена нашим соотечественником С. Гуссейн-заде. Здесь предложена в упрощенном варианте. Представим себе, что вы едете в поезде, который делает 30 остановок. На каждой станции вам предлагают купить за 100 рублей всего одну дыню. Цена дынь на всех станциях одинаковая, а вот дыни разные. У вас с собой всего 100 рублей, других денег нет, зато есть весы. Вы можете купить только одну дыню, и, естественно, хотите купить самую большую. Но назад пути нет. На любой станции можете либо покупать, либо не покупать, но за всю поездку - только одну дыню. Как повысить ваши шансы купить самую большую дыню?

16. Задачи о кузнечиках (по мотивам задач ЕГЭ).

Задача 1. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой на целое число единиц, так, что первый прыжок он делает из начала координат вправо (в положительном направлении), второй - влево, затем снова вправо, и т.д., чередуя направления прыжков. Каждый последующий прыжок кузнечика длиннее предыдущих. Суммарная длина прыжков оказалась равной 1580 (единичных отрезков). Какое наименьшее значение может иметь координата кузнечика после n прыжков, если:

а) n=4; б) n=5; в) Может ли наименьшее значение координаты равняться -330? Если да, то для какого n это выполняется?

Задача 2. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой на целое число единиц, так, что первый прыжок он делает из начала координат вправо (в положительном направлении), второй - влево, затем снова вправо, и т.д., чередуя направления прыжков. Каждый последующий прыжок кузнечика длиннее предыдущих. Суммарная длина прыжков оказалась равной 1580 (единичных отрезков). Из всех наибольших значений его координаты найти наименьшее положительное значение. При каком количестве прыжков оно достигается?

16. Доказательства формул с помощью чертежей.

Задача 1.

Задача 2. Придумайте пространственный аналог для вывода суммы 1²+2²+3²+…n².

17. Задача о замощении прямоугольников фигурами пентамино.

Напомним, что в набор входит 12 фигурок пентамино, которые мы будем обозначать буквами, на которые они похожи (см. рис) . Исследуем вопрос, возможно ли сложить прямоугольник (квадрат), пользуясь копиями одного и того же элемента пентамино. Проще всего вопрос обстоит с элементом I (полоской 5х1). Им можно выложить любой прямоугольник, у которого одна сторона кратна 5 (рисунок 1.64). Из элементов P и L

Можно выложить прямоугольник 2х5 (а так же кратные ему, рис. 1.65), а из элементов Y - прямоугольник 5х10 (рис. 1.66). Из других элементов пентамино выложить прямоугольник нельзя.

18. Признаки равенства треугольников. Нам известны три признака равенства треугольников. Попробуем доказать еще несколько.

4 признак. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

5 признак. Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

6 признак. Если сторона и 2 медианы, проведенные к двум другим сторонам одного треугольника, соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

7 признак. Если две стороны и биссектриса, проведенная к третьей стороне одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.

8 признак. Если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

9 признак. Если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

10 признак. Если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника, то такие треугольники равны.

11 признак. Докажите равенство треугольников по периметру и двум углам.

12 признак. Если сторона, прилежаший к ней угол и медиана, проведенная к этой стороне одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

Возможно, вы сформулируете и докажете еще признак?

19. Задачи на построение с недоступными точками. Такие задачи решают, используя только два чертежных инструмента - линейку без делений и циркуль.

Задача 1. Постройте биссектрису угла, вершина которого недоступна.

Задача 2. Дан угол С, вершина которого недоступна, и точка К внутри угла. Провести прямую КС.

Задача 3. Дан угол С с недоступной вершиной и точка К на стороне угла. Постройте отрезок, равный отрезку КС.

Задача 4. Дан треугольник АВС с недоступной вершиной С. Постройте отрезок, длина которого равна периметру треугольника АВС.

Задача 5. Дан треугольник АВС с недоступной вершиной С. Проведите медиану к стороне АВ.

20. Головоломки с костяшками домино. Имеется 28 костяшек от 0:0 до 6:6.

21. Построение отрезков с помощью шаблона.

Задача 1. Дан шаблон (картонный) треугольника с углами 30^о, 60^о,90^о. Используя его как линейку, постройте на листе бумаги равный ему треугольник, проведите в нём медианы, биссектрисы, высоты. Других инструментов у вас нет.

Задача 2. То же самое проделать с разносторонним треугольником.

22. Задачи о дерцах (термин принадлежит белорусскому математику И. Акуличу).

Дерца - десятизначное число, все цифры которого различны, например, 2896013547. Попробуйте решить ряд задач о таких числах.

а) может ли сумма двух дерц быть дерцей? Если да, найдите все такие дерцы. Если нет, объясните, почему их не существует.

б) Сколько существует дерц, кратных 11?

в) задача В. Произволова. Взяли некоторую дерцу, и, начав слева, вместо каждой цифры записали количество цифр, которые меньше неё и расположены справа от неё. Получили 3501210210. Какой была исходная дерца?

г) Назовем число, полученное из дерцы в предыдущем пункте, её изображением. Любую ли дерцу можно однозначно восстановить по её изображению?

д) Существует ли дерца, изображение которой - тоже дерца?.

Четвертая группа тем - проекты-исследования

(очень сложные).

23. Задачи о перекатывании куба. Серия задач о перекатывании куба по шахматной доске придумана американским математиком Джоном Харрисом.

Задача 1. Расположите куб в левом верхнем углу доски так, чтобы красная грань куба смотрела вверх. Обойдите доску, проходя каждую клетку лишь по разу, чтобы маршрут закончился в правом верхнем углу и красная грань смотрела вверх. При этом ни разу на протяжении всего маршрута (кроме крайних точек) куб не должен оказываться красной гранью вверх.

Задача 2. Расположите куб в любой клетке неокрашенной гранью вверх. Проложите маршрут, посетив каждую клетку по одному разу так, чтобы вернуться на начальную клетку. При этом куб ни разу не должен оказываться красной гранью вверх ни на одной клетке, включая конечную.

Если исключить повороты доски и зеркальные отражения, обе задачи имеют однозначные решения.

Задача 3. Проложите такой замкнутый маршрут по всей доске, чтобы красная грань оказывалась наверху как можно чаще.

Задача 4. Существует ли замкнутый маршрут, который начинается и заканчивается красной гранью, однако во время всего остального пути красная грань ни разу не оказывается наверху?

24. Задача о монотонных числах. Определение. Натуральное число называется М монотонным, если найдется такое натуральное число N, что для записи их произведения М∙N достаточно одной цифры.

Примеры. Число 12345679 является монотонным, так как 12345679∙9=111111111. Число 12 тоже является монотонным, так как 12∙37=444. Ясно, что если число оканчивается на ноль, то оно монотонным не является.

Вопрос: все ли двузначные и трехзначные числа (кроме оканчивающихся на ноль) являются монотонными? Если да, докажите, если нет, приведите пример.

25. Задача о плитке шоколада.

Дана квадратная плитка шоколада размером NхN, составленная из обычных единичных долек. На некоторые из них мы можем положить по ореху. После этого шоколадную плитку разламываем один раз по любой бороздке между дольками, не роняя орехи.

Вопрос для исследования: какое наименьшее количество орехов мы можем положить на плитку NхN, чтобы при любом разломе на два прямоугольника хотя бы на одном из них осталось не менее N орехов? Например, при N=2 достаточно 3 орехов, для N=3 достаточно 4 орехов (см. рис.).

О

О

О

26. Задача о прыжках. Вдоль прямой расположена бесконечная последовательность камней: первый, второй, третий, и т.д. Перепрыгивать с камня на камня можно двумя видами прыжков:

1. С камня номер х на камень с номером 2х и наоборот.

2. С камня с номером х на камень номер 3х+1 и наоборот.

Докажите, что две лягушки с помощью прыжков обоих видов смогут встретиться на одном камне независимо от своего первоначального положения.

27. Судоку с наименьшим количеством вписанных чисел. Перед вами судоку с 17 известными числами, которое восстанавливается однозначно. Ваше задание - составить судоку с еще меньшим количеством вписанных чисел, так, чтобы оно имело однозначное решение.

8

2

6

1

6

6

1

4

9

3

7

5

1

7

8

7

3

28. Задача о цветной триангуляции. Требуется равносторонний треугольник разрезать на равносторонние треугольники и раскрасить их в синий, красный и зеленый цвет так, чтобы треугольников всех трех цветов было поровну, причем треугольники одного размера были одного цвета, а разных размеров - разных цветов.

29. Тестер и радиоактивные шары. На столе лежит несколько красных шаров, один из которых радиоактивен, и несколько синих шаров, один из которых тоже радиоактивен. Тестер позволяет за одну пробу выяснить наличие или отсутствие (но не определить количество) радиоактивных шаров в пробе, состоящей из нескольких шаров.

а) Можно ли среди 5 красных и 3 синих шаров гарантированно найти оба радиоактивных шара за 4 пробы?

б) Можно ли среди 9 красных и 7 синих шаров гарантированно найти оба радиоактивных шара за 6 проб?

в) Можно ли среди (2k+1) красных и (2k-1) синих шаров гарантированно найти оба радиоактивных шара за 2k проб?

г) Можно ли среди 50 красных и 5 синих шаров гарантированно найти оба радиоактивных шара за 8 проб?

ГРУППОВЫЕ ПРОЕКТЫ

30. История России в текстовых задачах. Прочтите какую-нибудь задачу из старого или современного задачника - и на вас сразу повеет духом времени. 2Путник вышел из пункта А …», «Поезд выехал со станции Б…», «Самолет вылетел из точки В…». Ваша задача - проследить отражение истории нашей страны в задачах, найти наиболее интересные по формулировке задачи из разных задачников, начиная с самых ранних. Можно найти задачи, в которых отражаются какие-либо исторические события, например, Великая Отечественная Война (в задачниках того времени).

31. Математический календарь. Надо будет собрать и систематизировать информацию о датах, связанных с математикой и математикой.