Рабочий материал по стереометрии 'Параллельность в пространстве' (10 класс)

Параллельность в пространстве

В пространстве параллельными могут быть две прямые - не имеющие общих точек и лежащих в одной плоскости, прямая и плоскость - не имеющие общих точек и две плоскости - не имеющие общих точек.

На рисунке изображен куб. Укажите:

прямые, параллельные прямой ВС:

_____________________________________________________

прямые, параллельные плоскости АВС:

_____________________________________________________

плоскости, параллельные плоскости АА₁С:

_____________________________________________________

плоскости, параллельные прямой АВ

А

В

С

D

D₁

А₁

В₁

С₁_____________________________________________________

Дана плоскость  и точка М, не лежащая в ней.

Сколько прямых, параллельных плоскости , Сколько плоскостей, параллельных плоскости ,

можно провести через заданную точку М? можно провести через точку М

Где располагаются эти прямые? Почему?

М



М



Рассмотрим признаки, по которым устанавливается параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

• Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если в этой плоскости найдется хоть одна прямая, которая параллельна данной прямой.

Таким образом, чтобы утверждать, что прямая параллельна некоторой плоскости, необходимо найти в этой плоскости ___________________________________________________________________

• Признак параллельности двух плоскостей: две плоскости параллельны, если в одной из них найдутся две пересекающиеся прямые, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Таким образом, чтобы утверждать, что две плоскости параллельны, необходимо в одной из них выделить _______________________________ и найти в другой плоскости ___________________, которые________________________________________________

• Какая прямая называется параллельной по отношению к плоскости?

• Как доказать, что прямая и плоскость параллельны?

• Какие плоскости называются параллельными?

• Как доказать, что плоскости параллельны?

Параллельность прямых и плоскостей

Задание 2. Дана пирамида МАВС (точка М не лежит в плоскости АВС)

Объясните, почему (АВС)  (А₁В₁С₁)

Задание 1. Дан куб. Объясните, почему:

А

В

С

D

D₁

А₁

В₁

С₁А₁С₁ (АВС)

В₁С₁ (ВСD₁)

З

М

Кадание 3. Ромб АВСD и трапеция ВСМК ( ВС - основание) не лежат в одной плоскости..

Как расположены М

В

А

DК и (АВС), АК и (ВМС)?

М

СК и (АВС )________________ потому, что ____________________

___________________________________________________________

АК и (ВМС) _________________ потому, что ____________________

____________________________________________________________

Задание 4. Основания трапеции параллельны плоскости . Каково взаимное расположение плоскости  и плоскости трапеции?

Задание 5. Дан куб. (см. задание 1). Докажите, что плоскости АВ₁D₁ и BDC₁ параллельны.

Задание 6. Выпишите верные утверждения, для неверных утверждений приведите контрпример (пример-рисунок, опровергающий данное утверждение)

1. Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости

2. Через одну из двух параллельных прямых можно провести бесконечное множество плоскостей, параллельных другой прямой.

3. Существует бесконечное множество плоскостей, параллельных данной прямой и проходящих через точку, не принадлежащую этой прямой.

4. Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны..

5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

6. Если через две параллельные прямые провести две различные плоскости, то эти плоскости будут параллельны.

Задание 7. Постройте сечение плоскостью, проходящей через:

точку К и параллельно (АВМ) точку Р и параллельно (А₁ВС)

D₁

С₁

В₁

К

С

D

Р

А

В

С

М

А

В

А₁

Свойства параллельных прямых и плоскостей

• Теорема1: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

Дано:

= а, =b,   

аДоказать: a  b



Доказательство.

Предположим, что прямые a и b не параллельны



bТогда a и b либо ______________, либо _______________

1) Пусть a  b, т.е прямые a и b имеют _____________. Эта общая точка принадлежит плоскости , т.к. ___________ и плоскости , т.к. ___________________

Значит плоскости  и  имеют __________________, а значит эти плоскости ________________, что противоречит условию. Значит прямые a и b не могут пересекаться.

2) Пусть a b. Но через скрещивающиеся прямые нельзя провести ____________________, а по условию прямые a и b лежат ___________________. Полученное противоречие позволяет сделать вывод, что прямые a и b не могут быть скрещивающимися.

Значит __________________

Теорема, отражающая свойства параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью, доказана.

• Всегда ли линии пересечения двух плоскостей с третьей плоскостью параллельны?

Задание 1. Прямые a и b пересекают параллельные плоскости  и  в точках М, Е, Р и К..

На рисунке изображены три точки. Где расположена четвертая точка?

а

b

а

bЕсли a b Если ab



Е



Р

Е

Р



М

К



К

М

Почему не рассматривается случай, когда прямые a и b скрещивающиеся?

Задание 2. Две параллельные плоскости пересечены двумя параллельными прямыми a и b.

А, В, С, D - точки пересечения прямых с плоскостями.

Д

а

bокажите, что АВС D является параллелограммом.

А

DДоказательство. Т.к. a b, то через них можно провести

плоскость, в которой лежит четырехугольник АВС D.

Чтобы этот четырехугольник был параллелограммом, необходимо

доказать, что _________________ и ________________



В

С1) т.к. a b по условию, то ___________________________

2) Плоскость (АВС) пересекает плоскости  и , которые по

условию _________________. Значит по свойству, рассмотрен-

ному выше, ________________. Ч.т.д.

Задание 3. Дано:   Доказать: 1) АВ   А₁В₁, 2) ∆АОВ подобен ∆А₁ОВ₁

Доказательство.

1)_____________________________________________________

2) т.к. АВ   А₁В₁, то прямая АВ₁ - секущая при параллель-

ных прямых. ____________________________________________ _______________________________________________________

Задание 4. Дано:  , прямые a и b пересекаются в точке О,

АО=5, ОВ=4, ОА₁=3, А₁В.=6.

Найти: АВ и В₁

Р

Аешение.

1) АВ  А₁В₁, т.к. ______________________________________

_______________________________________________________

2) ∆АОВ подобен ∆А₁ОВ₁, т.к. ___________________________

Значит ________________________________________________

_______________________________________________________

З

А

А₁адание 5. Дано: АВ   А₁В₁, АС   А₁С₁. Докажите, что ВС   В₁С

Доказательство.

Плоскости АВС и А₁В₁С₁ _________________, потому что

_______________________________________________________.

З

С

С₁начит ________________________________________________

В

В₁

_______________________________________________________ __ ____________________________________________________

Задание 6. Исправьте ошибку на рисунке и решите задачу.

М

Дано:   , АА₁= 3, МВ₁=12, МА=6, АВ=4

Найти: А₁В₁, МВ, ВВ₁





А

В

В₁

А₁Решение._____________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________

З



А₁

В₁адание 7. Прямые a и b скрещивающиеся,   . Докажите, что АВ и А₁В₁ - скрещивающиеся



В

А

Теорема 2: отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Д



В

Аано:   ., a   b

Доказать: АА₁=ВВ₁

Д



А₁

В₁

а

bоказательство. Рассмотрим плоскость АВВ₁, проведенную через параллельные прямые a и b.Эта плоскость пересекает плоскости  и ., которые по условию ________________________. (АВВ₁)= _________, (АВВ₁)= ___________.

Значит отрезки АВ и А₁В₁ __________________, а т.к. АА₁ ВВ₁по условию, то четырехугольник АВВ₁А₁является_________________ По свойству параллелограмма имеем:_______________________

Теорема, отражающая свойство параллельных прямых, пересекающих параллельные плоскости, доказана.

• Какие отрезки равны, если две параллельные прямые пересекают две параллельные плоскости?

З

а

b

садание 1. Плоскости  и  параллельны, прямые а, b и с параллельны друг другу.

1)Укажите равные отрезки.

А₁

С₁



В₁

2)Докажите, что АА₁ (ВВ₁С)

А

С



В

Задание 2. Теорема 2 гласит: если   ., a   b, то отрезки, заключенные между плоскостями, равны. (см рис выше)

Верны ли обратные утверждения:

а) если    и отрезки, заключенные между плоскостями, равны, то a   b;

б) если a   b и отрезки, заключенные между плоскостями, равны, то    ?

З

А₁

В₁адание 3. Параллелограммы АВСD и А₁В₁СD не лежат в одной плоскости.

1)Укажите равные отрезки:

А

В

С

D___________

2)Докажите параллельность плоскостей ВСВ₁ и АDА₁

Задание 4.    . Докажите подобие треугольников АВС и А₁В₁С₁

.

В

А

С

Задание 5. Даны две параллельные плоскости  и  и точка А не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая, которая пересекает плоскости в точках Х и У. Докажите, что отношение длин отрезков АХ:АУ не зависит от выбора прямой



В₁

А₁

С₁

Дополнительные задания

В₁

С₁Параллелограммы АВСD и А₁В₁С₁D₁ лежат в параллель

ных плоскостях. Прямые, проходящие через их вершины

А₁

D₁параллельны.

1) Докажите, что ВDD₁В₁ - параллелограмм

2) Докажите, что DСВ₁А₁ - параллелограмм

А

В

С

D

М

МАВС - пирамида (точка М не лежит в (АВС))

(АВС)  (А₁В₁С₁), МА₁=АА₁. Найдите площадь

∆А₁В₁С₁, если площадь ∆АВС=15 см²

В₁_________________________________________________

_________________________________________________

А₁

С₁_________________________________________________

_________________________________________________

В_________________________________________________

_________________________________________________

А

С_________________________________________________

_________________________________________________