Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №8

городского округа г. Выкса

Нижегородской области

Исследовательская работа:

Лист Мёбиуса.

Отделение: физико-математическое

Секция: математика

Работу выполнил:

учащийся 7 «В» класса

Рыдаев Егор Петрович

Научный руководитель:

Учитель математики МБОУ СОШ №8

Стрижова Елена Александровна

Нижегородская область

г. Выкса, 2015

Аннотация.

Цель исследования: рассказать и показать людям, что на вид простая лента, повёрнутая на полоборота со склеенными концами, может заключать в себе много неожиданностей.

Задачи:

• познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса;

• изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса;

• найти, где используются его свойства;

• провести опыты с листом Мёбиуса;

• выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их.

Предмет исследования: лист Мёбиуса.

Объект исследования: односторонние поверхности

Гипотеза: доказать, что лист Мебиуса обладает свойствами односторонности, непрерывности и связности.

Методы: анализ, опыт, эксперимент, моделирование.

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Лист Мебиуса

1.1. История создания Листа Мёбиуса. 5-6

1.2. Что такое лист Мёбиуса? 6

1.3. Топология. 7

1.4. Свойства листа Мёбиуса. 7-8 Глава 2. Применение листа Мебиуса

2.1. Применение листа Мёбиуса на производстве 9-10

2.2. Применение листа Мебиуса в архитектуре, скульптуре,

искусстве 10-12

2.3. Проведение опытов. 13-14

Выводы 15

Список литературы 16

Мышление начинается с удивления

Аристотель

Введение

Однажды на урок учитель математики принесла обычную прямоугольную полоску и сделала из неё колечко с необычными свойствами под названием лист Мёбиуса. Все были очень удивлены, как из обычного листа с лицевой и изнаночной сторонами получилась поверхность, имеющая только лицевую сторону. Поэтому я решил провести исследование и выявить интересные свойства листа Мёбиуса. Так возникла идея проведения исследовательской работы, в которую вошли бы теоретический материал и эксперименты. Также я счел важным показать, что эта наука полна неожиданностей на примере открытия А.Ф. Мёбиуса, его знаменитого бумажного кольца с сюрпризами. Я предполагаю, что лист Мёбиуса, как топологическая фигура, обладает действительно неожиданными свойствами.

Моё исследование связано с решением творческой, исследовательской задачи в области математики. Так как по ходу исследования у нас накопилось достаточно материала, то нам захотелось представить его в виде законченного исследования, по возможности иллюстрируя компьютерной презентацией. Исследовательский проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика).

Основными этапами исследования были:

• постановка проблемы,

• овладение методикой исследования,

• сбор собственного материала,

• проведение экспериментов,

• разработка нового электронного продукта.

«Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому».

Д. Пойа

Глава 1.

1.1. История создания Листа Мёбиуса.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса. В 1858 году Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе.

Существует интересная легенда об открытии листа Мёбиуса. Мёбиус был профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил ошарашивать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро…

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!" Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса - Иоганн Бенедикт Листинг (1808 - 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), - две стороны.

1.2. Что такое лист Мёбиуса?

Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, разделяет его на две части - ограниченную «внутренность» и неограниченную «внешность», подобно тому, как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части. Самое же удивительное, пожалуй, то, что мы смогли её сделать своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначим углы с одной стороны ленты А и В, а с другой - С и Д. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180^о. Точка С наложится на точку А, а точка Д- на точку В.

И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса.

1.3. Топология.

Изучая литературу, мы поняли, что открытие листа Мёбиуса дало толчок развитию нового раздела геометрии-топологии. Топология (по-другому - "геометрия положения")-это раздел геометрии, изучающий свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях, не допускающих разрывов и склеивания. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Сама топология, можно сказать началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг.

Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать - делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы - «взрыва» фигуры. Поэтому иногда топологию называют «геометрией непрерывности».

Она известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

1.4. Свойства листа Мёбиуса.

Из статьи «Элементы топологии на примере листа Мёбиуса» я узнал о свойствах этого топологического объекта.

1. Односторонность

В своей работе «Об объёме многогранников» Август Мёбиус описал геометрическую поверхность-лист Мёбиуса, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! И я наглядно могу убедиться, что у этой ленты Мёбиуса действительно всего одна сторона. Попробую закрасить перекрученную ленту в два цвета - одним с внутренней стороны, а другим с внешней. Чтобы я не придумывала, мне это не удастся. Но зато муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо переползать через край, чтобы попасть на противоположную сторону, как это видно на гравюре художника Маурица Эшера «Лента Мёбиуса II».

2. Непрерывность

На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край «ленты». Разрывов нет - непрерывность полная.

3. Связность

Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он останется, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры - многосвязные.

А лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

4. Ориентированность

Ориентированность - свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.

5. «Хроматический номер»

«Хроматический номер»- это максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Глава 2.

2.1. Применение листа Мёбиуса на производстве

У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. И это не случайно. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит Лента Мёбиуса. В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера - энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? Несколько лет назад изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: размеры ленты увеличились вдвое.

А 18 лет назад ленточке нашли совсем другое применение- она стала выполнять роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно, взведенная пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мебиуса же, поправ все законы, направления срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках - ее нельзя перекрутить, как обычную- своего рода вечный двигатель. Такой же механизм пригодится и в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, обеспечив возвращение рулевого колеса в начальное положение в случае отсутствия обратной связи между рулем и управляемыми элементами . Такой стабилизатор можно скомпоновать прямо на валу рулевого колеса , что уменьшит нагрузки и упростит конструкцию.

Есть фильтры, в которых жидкость пропускают сквозь ленту из фильтрующего материала. Постепенно эта лента засоряется, приходится её менять. На фильтр с лентой Мёбиуса тоже выдано авторское свидетельство.

Есть авторское свидетельство и на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная пленка, соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную. Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с "двух сторон" не меняя их местами.

Скольких людей приводили в восторг аттракционы "Американские горки". Лента Мебиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.

А всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

2.2. Применение листа Мёбиуса в архитектуре, скульптуре и искусстве

Проект библиотеки в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены! Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.

Вскоре в китайском городе Тайчанге появится необычный буддийский храм. Его неординарность заключается в том, что он примет форму знаменитой ленты Мебиуса. В этом случае она будет отражать основные принципы философии буддизма и идею реинкарнации. Авторами проекта выступили архитекторы из студии Miliy Design. В своей работе специалисты использовали современные методы цифрового проектирования. Стоит отметить, что с помощью таких методов развивается пространственная логика здания, уходящая корнями в бесформенность. Форма структуры позволяет внутренней и внешней поверхностям беспрепятственно встретиться в одной точке и развивается далее по спирали. Применяя такие технологии, здание буддийского храма может получить различные возможности. Изучая листы Мебиуса в различных конфигурациях, специалисты из Miliy Design стремились создать знаковое динамичное пространство, которое бы соответствовало современным тенденциям развития Китая и одновременно несло бы в сооружение дух новаторства. Кроме того, в проекте четко прослеживается концепция реинкарнации: обращение здания храма вращается снаружи внутрь через пространство так же, как реинкарнация через различные формы жизни.

Лист Мёбиуса в искусстве служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Мауриц Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил ему работы. Одна из известных, показывает муравьёв, ползающих по поверхности листа Мёбиуса - «Лента Мёбиуса-II». Замкнутая кольцеобразная полоса на первый взгляд имеет две поверхности-внешнюю и внутреннюю. Вы видите, как 9 красных муравьёв один за другим ползут по той и по другой. Тем не менее, это полоса с односторонней поверхностью.

В литературе лист Мёбиуса имеет не маловажное значение. Для многих писателей фантастов эта лента послужила главным источником вдохновения.

Лист Мёбиуса-символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нём бесконечность свёрнута кольцом.

В нём простота, и вместе с нею- сложность,

Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo». Из аннотации к книге: «"Echo" - литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии - "мальчиков" и "девочек" - переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.

Даже мастерицы-рукодельницы изготавливают шарфики, закрученные в эту чудо ленту. Писатели-фантасты сочиняют о ней произведения, поэты посвящают ей стихи.

Глава 3. Проведение опытов

Опыт №1

Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку.

Обычное кольцо

Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала.

Вторая остаётся чистой.

Лист Мёбиуса

Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

Опыт 2

Закрасим полностью только одну сторону колец.

Обычное кольцо

Одна сторона закрашена, другая нет.

Лист Мёбиуса

Закрашенной оказалась весь лист целиком.

Опыт 3

Закрасим непрерывной линией только один край колец

Обычное кольцо

Один край кольца закрашен, второй край нет.

Лист Мёбиуса

Линия края получилась, непрерывно закрашена на всём кольце.

Опыт 4

На внутренней поверхности стоит некто Х, а по внешней идёт в любую сторону некто У

Обычное кольцо

Х и У никогда не встретятся, не пересекая края

Лист Мёбиуса

Х и У встретятся, не пересекая края в любом случае.

Вывод.

В своей работе я описал лист Мёбиуса и процесс его изготовления, раскрыл опытным путём свойства этого поразительного открытия. Моё предположение подтвердилось: лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности, но и такими, действительно, неожиданными свойствами, как непрерывность и связность. Мы показали значение этого открытия в современном мире.

Существует гипотеза о том, что спираль ДНК также имеет фрагмент ленты Мебиуса, в связи с чем генетический код сложен для восприятия и расшифровки. Кроме того, подобная структура логично объясняет причину биологической смерти - замыкающаяся сама на себя спираль приводит к самоуничтожению.

Ученые-физики утверждают, что в основе всех оптических законов лежит принцип ленты Мебиуса. К примеру, отражение в зеркале является своеобразным переносом во времени, так как человек видит своего зеркального двойника перед собой. Математики сравнивают ленту Мебиуса со знаком бесконечности.

Философы и астрономы, историки и психологи - все они применяют в своих гипотезах небезызвестную ленту Мебиуса. Например, Альберт Эйнштейн считал, что вселенная замкнута в виде кольца, подобно ленте Мебиуса, а философами строятся целые теории, основанные на удивительных свойствах этого математического объекта.

При изучении литературы мы также узнали о том, что в трёхмерном пространстве существует аналог листа Мёбиуса - бутылка Клейна.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса, представленного в работе, состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям. Благодаря "ленте" был открыт новый раздел геометрии - топология.

Математические исследования продолжаются и в наши дни.

Список литературы

1. М. В. Величко «Математика 9-10 классы. Проектная деятельность учащихся»: Волгоград: «Учитель», 2006. - С. 122.

2. Б. А. Кордемский «Математическая смекалка»: М.: «В - 71», 1957. -

С. 576.

3. «Математика «Большой справочник для школьников поступающих в вузы»»: М.: «Дрофа», 2002. - С. 864 «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002. С. 687.

4. В. В. Трошин «МАГИЯ ЧИСЕЛ И ФИГУР «Занимательные материалы по математике»»: М.: «Глобус», 2007. - С

5. «Я познаю мир «Математика»»: Минск: «АСТ - ЛТД», 1998. - С.475.

6. Материалы сайтов: