Учебный проект по геометрии на тему 'Математика и архитектура' (10 класс)

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с.Большое Попово

Лебедянского муниципального района

Липецкой области

Математика в архитектуре

Выполнил:

ученик 10 класса

Гопеевцев Владислав

Руководитель:

учитель математики

Сёмина О.А.

с. Большое Попово .

Визитная карточка проекта

Учебный проект по математике «Математика в архитектуре»

1.Авторы проекта

Ученик 10 класса Гопеевцев Владислав

руководитель: учитель математики Сёмина О.А.

МБОУ СОШ с.Большое Попово Лебедянского муниципального района

Липецкой области

2. Предметные области

Математика, мировая художественная культура, изобразительное искусство, история, биология .

3. Цели проекта:

- Проиллюстрировать взаимосвязь математики и архитектуры на практике.

- Изучить конструктивные особенности памятников архитектуры различных эпох, элементы декора.

- Познакомится с историей развития архитектуры на примере развития храмов, проанализировать, как исторически изменялась форма куполов сооружений,

формировать представления о математике как теоретической базе создания произведений архитектурного искусства.

- Подчеркнуть эстетические аспекты изучаемых вопросов.

4.Задачи проекта:

- расширить сферу математических знаний (пространственные фигуры, виды симметрии, аналитическое и геометрическое представление о золотой пропорции);

-убедиться в практической необходимости владения способами выполнения математических действий

- развивать стремление к познанию истории математики; истории архитектуры;

- расширить общекультурный кругозор посредством знакомства с лучшими образцами произведений архитектуры;

- раскрыть возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии художника, архитектора, инженера, строителя.

5.Краткая аннотация проекта

Проект «Математика в архитектуре» направлен на интеграцию знаний, формирование общекультурной компетентности, создание представлений о математике как науке, возникшей из потребностей человеческой практики и развивающейся из них. Ведущий подход, который был использован при разработке проекта: показать на обширном материале от античных времен до наших дней пути взаимодействия и взаимообогащения двух великих сфер человеческой культуры - науки и искусства; расширить представления о сферах применения математики; показать, что фундаментальные закономерности математики являются формообразующими в архитектуре, что архитектура и математика, являясь соответствующими проявлениями человеческой культуры, на протяжении веков активно влияли друг на друга. Они давали друг другу новые идеи и стимулы, совместно ставили и решали задачи. По сути, каждую из этих дисциплин можно рассматривать существенным и необходимым дополнением другой.

Мир науки и мир искусств. Казалось бы, что у них общего? У каждого свои предначертания, свои вершины. И всё же они имеют много общих касаний, много такого, что делает их не только далёкими, но и близкими.

Цель данной работы: изучить и проиллюстрировать тесную связь математики и искусства с древнего мира до современной цивилизации на примере развития архитектуры.

6.Гипотеза

Сегодня много говорят о взаимопроникновении математики в искусство. Преподавателей и учеников эта проблема затрагивает с точки зрения преподавания : должна ли эта тема стать отдельным курсом, должен ли этот курс стать основным, или остаться факультативным? Насколько он вообще необходим? Вызывает ли этот предмет интерес ребят? Изучая историю, особенно в древности, нельзя было не обратить внимание и на храмы, и на те немногие памятники архитектуры, которые сохранились.

С древности, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное. Но человек не только создавал красивые предметы, не только любовался ими, он все чаще задавался вопросом: почему некоторые строения привлекают нас какой-то особой красотой, радуют, восхищают, завораживают, как говорят "невозможно глаз оторвать". В чем же дело? В точности или удивительной гармонии. Многим трудно поверить, что искусство может свободно уживаться с точной наукой. Однако мастера былых эпох постоянно стремились проверить математикой гармонию, ни один шаг в их работе не обходился без опоры на геометрию.

Итак, если будут найдены единые критерии прекрасного, объединяющие различные архитектурные объекты, значит существует связь между математическими законами и свойствами и общими формулами красоты

7. Вопрос, направляющие проект

Можно ли измерить математикой гармонию?

8.Проблемные вопросы:

- Действительно ли важно использование элементов математического знания при проектировании архитектурных памятников и современных сооружений?

- Как эстетические качества архитектурных памятников и сооружений

связаны с определенными математическими закономерностями?

9. Продукты проектной деятельности:

- Защита проекта на научно- практической конференции

- Создание ученического проекта по теме "Математика в архитектуре".

- Оформление буклетов для учащихся.

- Презентация Microsoft PowerPoint

10.Применение:

Материал проекта может использоваться на уроках математики, геометрии, истории и изобразительного искусства, во внеклассной деятельности при проведении предметных вечеров и интеллектуальных конкурсов, а также в профориентационной работе со старшеклассниками.

11.Описание работы:

В работе представлены доказательства истории развития и использования математики в строительстве в разные эпохи от древних цивилизаций до настоящего времени. Через исторические факты и яркие иллюстрации я попытался раскрыть, многогранность применения этой геометрии и необходимость ее изучения.

Изучая использованную литературу для подготовки данной работы, было приобретено много интересных знаний из истории архитектуры , что не вызывает сомнения в важности применения закономерностей и законов геометрии:

Материал лаконично изложенный, иллюстрированный, интересный для чтения и изучения.

План:

1.Введение.

2. Роль математики в архитектуре.

3. Развитие математики и архитектуры древних времен.

4. Геометрические фигуры в архитектурных сооружениях: разнообразие, назначение.

5.Симметрия - царица архитектурного совершенства.

6. Красота - внешнее выражение математических закономерностей в архитектуре.

7. Произведения архитектуры как соединение математических знаний и художественного творчества.

8. Заключение.

9. Литература.

10. Приложения.

Введение

Что создадим мы впредь, на это власть Господня,

Но что мы создали, то с нами посегодня.

Н.Гумилев

Проект, который мы предлагаем вашему вниманию , является одним из составляющих элементов учебно-исследовательского проекта "Математика и искусство".

Сегодня много говорят о взаимопроникновении математики в искусство. Преподавателей и учеников эта проблема затрагивает с точки зрения преподавания : должна ли эта тема стать отдельным курсом, должен ли этот курс стать основным, или остаться факультативным? Насколько он вообще необходим? Вызывает ли этот предмет интерес ребят? Изучая историю, особенно в древности, нельзя не обратить внимание на те немногие памятники архитектуры, которые сохранились.

Некоторые строения привлекают нас какой-то особой красотой, радуют, восхищают, завораживают, как говорят "невозможно глаз оторвать". В чем же дело? В точности или удивительной гармонии? Многим трудно поверить, что искусство может свободно уживаться с точной наукой. Однако мастера былых эпох постоянно стремились проверить математикой гармонию, ни один шаг в их работе не обходил- ся без опоры на геометрию.

Я задался вопросом: как же связана геометрия с искусством, архитектурой?

Изучив научно-популярную литературу по данной теме, я выяснил взаимосвязь математики и искусства, математики и архитектуры, провел поиск информации, связанной с сугубо архитектурными характеристиками сооружения, особенностями архитектурного стиля, к которому оно относится, рассмотрел художественные альбомы, видеоматериалы, информацию Интернета . Результатом моей работы стал данный проект "Математика в архитектуре".

При изучении школьных предметов имеется возможность рассмотреть взаимосвязи между понятиями, принятыми в различных областях знаний, и процессами, протекающими в природной среде; выяснить связь между математическими законами и свойствами и закономерностями развития природы.

«Формул красоты» уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы - квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т. д. Симметричные фигуры обычно предпочтительнее, чем несимметричные. В пропорциях различных сооружений предпочтительны целочисленные соотношения. Человек вообще предпочитает порядок - беспорядку, простоту - сложности, определенность - неопределенности. Очевидно, в этом проявляется сущность самой жизни, как феномена природы - упорядочение беспорядка.

*Тесная связь архитектуры и математики известна давно.

В одной из колыбелей современной цивилизации - Древней Греции - геометрия считалась одним из разделов архитектуры. Не исчезла связь архитектуры с математикой и в дальнейшем, чему можно привести множество примеров.

1.Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали, в первую очередь, об их прочности. Прочность связана и с долговечностью. На возведение зданий люди тратили огромные усилия, а значит, были заинтересованы в том, чтобы они простояли как можно дольше. Кстати, благодаря этому, до наших дней дошли и древнегреческий Парфенон, и древнеримский Колизей. Прочность сооружения обеспечивается не только материалом, из которого оно создано, но и конструкцией, которая используется в качестве основы при его проектировании и строительстве. Прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой.

Обратимся к очень далекому прошлому, к истокам архитектуры.

Среди легендарных семи чудес света постоянно первое место занимали египетские пирамиды. Существует даже арабская пословица: «Всё на свете боится времени, а время боится пирамид».

Пирамиды называют «окаменевшей геометрией».

Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.

2.На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система. С точки зрения геометрии она представляет собой многогранник, который получится, если мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед. Это одна из первых конструкций, которая стала использоваться при возведении зданий и представляет собой сооружения, которые состоят из вертикальных стоек и покрывающих их горизонтальных балок. Первым таким сооружением было культовое сооружение - дольмен.

Оно состояло из двух вертикально поставленных камней, на которые был поставлен третий вертикальный камень.

Кроме дольмена, до нас дошло еще одно сооружение, представляющее простейшую стоечно-балочную конструкцию - кромлех.

Это также культовое сооружение, предположительно предназначенное для жертвоприношений и ритуальных торжеств. Кромлех состоял из отдельно стоящих камней, которые накрывались горизонтальными камнями. При этом они образовывали две или несколько концентрических окружностей.

Люди, создавая святилище, на вертикально поставленные каменные столбы положили сверху продолговатый камень. Получилась колонна. Каменные колонны обрабатывали то наподобие стилизованной пальмы, то в виде лотоса или пучка папируса. Таким образом, ствол колонны соответствовал стволу или стеблям растений, а верхняя часть, капитель, - кроне дерева или цветку.

Нужно заметить, что до сих пор стоечно-балочная конструкция является наиболее распространенной в строительстве. Большинство современных жилых домов в своей основе имеют именно стоечно-балочную конструкцию.

Камень, из которого возводились сооружения на основе стоечно-балочной конструкции, плохо гнется, но хорошо работает на сжатие.

Это привело к использованию в архитектуре арок и сводов. Так возникла новая арочно-сводчатая конструкция. С появлением арочно-сводчатой конструкции в архитектуру прямых линий и плоскостей, вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры.

Этот вид конструкции был наиболее популярен в древнеримской архитектуре. Арочно-сводчатая конструкция позволяла древнеримским архитекторам возводить гигантские сооружения из камня. К ним относится знаменитый Колизей или амфитеатр Флавиев. Свое название он получил от латинского слова colosseus, которое переводится как колоссальный, или огромный. *(фото Колизей)

Эта же конструкция использовалась при создании гигантских терм (бань) Каракаллы и Диоклетиана, вмещавших одновременно до 3 тысяч посетителей. Сюда же следует отнести и систему арочных водоводов-акведуков, общая протяженность которых составляла 60 км.

Следующим этапом развития архитектурных конструкций явилась каркасная система, которая в основном используется в современной архитектуре. Прообразом ее стала разновидность арочно-сводчатой конструкции, содержащей стрельчатые арки. Арочная конструкция послужила прототипом каркасной конструкции, которая сегодня используется в качестве основной при возведении современных сооружений из металла, стекла и бетона. Достаточно вспомнить конструкции известных башен: Эйфелевой башни в Париже и телебашни на Шаболовке.

Шу́ховская ба́шня (Ша́боловская ба́шня, Ра́дио-ба́шня) - уникальная , выполненная в виде несущей стальной . Расположена в на улице . Построена в -. Памятник . Автор проекта и руководитель строительства радиобашни - великий русский , , и , академик (-).

Э́йфелева ба́шня ( la tour Eiffel) - дата окончания постройки: 24 октября 1889. Это самая узнаваемая архитектурная достопримечательность , всемирно известная как символ , названная в честь своего конструктора и являющаяся местом паломничества туристов. Сам конструктор называл её просто - 300-метровой башней (tour de 300 mètres).

Есть такое учебное пособие, которое носит название «Как мера и красота скажет».

В названии использованы слова никому не известного русского зодчего, возводившего в конце XVII в. кладбищенскую деревянную церковь в затерянном среди русских просторов селе Усть-Кулуйске. Но в них соединено то, казалось бы, на первый взгляд несоединимое, а именно мера, то, что исходит от разума, от характерного для математики знания, и красота, то, что доступно чувствам и заключено в искусстве. Соединение этих двух составляющих и приводит к появлению прекрасных образцов архитектуры.

Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел.

Здание клуба имени И.В.Русакова в Москве построено в 1929 г. по проекту архитектора К.Мельникова. Базовая часть здания представляет собой прямую невыпуклую призму. Призма является невыпуклой, благодаря выступам, которые заполнены вертикальными рядами окон. При этом гигантские нависающие объемы также являются призмами, только выпуклыми.

В Спасской башне Московского кремля в основании можно увидеть прямой параллелепипед, переходящий в средней части в фигуру, приближающуюся к цилиндру, завершается же она пирамидой. При более детальном рассмотрении и изучении деталей можно увидеть: круги - циферблаты курантов; шар - основание для крепления рубиновой звезды; полукруги - арки одного из рядов бойниц на фасаде башни и т.д.

Рассмотрим один из ярких архитектурных стилей- средневековая готика. Готические сооружения были устремлены ввысь, поражали величественностью, главным образом за счет высоты. И в их формах также широко использовались пирамиды и конусы, которые соответствовали общей идее - стремлению вверх. Характерными деталями для готических сооружений являются стрельчатые арки порталов, высокие стрельчатые окна, закрытые цветными витражами.

*Симметрия - царица архитектурного совершенства.

Рассматривая симметрию в архитектуре, нас будет интересовать

геометрическая симметрия - симметрия формы как соразмерность частей целого. Замечено, что при выполнении определенных преобразований над геометрическими фигурами, их части, переместившись в новое положение, вновь будут образовывать первоначальную фигуру.

1

. Храм Василия Блаженного (Москва)

2. Собор Парижской Богоматери (Notre Dame de Paris) - жемчужина средневековой архитектуры.

3. Исаакиевский собор Санкт-Петербурга как образец культового сооружения XIX в.

4. Церковь Вознесения в Коломенском - шедевр древнерусского зодчества.

5. Колизей (Амфитеатр Флавия) - символ могущества Древнего Рима.

6. Архитектурный комплекс Дворцовой площади (Санкт-Петербург).

7. Эйфелева башня (TOUR EIFFEL) - символ современного Парижа.

Всё это - архитектурные шедевры, подтверждающие применение пропорции и симметрии в архитектуре.

*В книгах о "золотом сечении" ( Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всемуa : b= b : c или с : b= b : а.) можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими "золотое сечение", то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. "Золотое сечение" дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по "золотому сечению", то получим те или иные выступы фасада.

Другим примером из архитектуры древности является Пантеон.

**

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал "золотое сечение".

Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, "золотое сечение" можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле.

По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова (Ленинский проспект, д. 5).

Еще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова - является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г.

**

Русская красота. Русская духовность. Когда мы слышим эти слова, перед глазами возникают образы золотых куполов православного храма. Форма купола - символ гармонии и вечности, которую неизвестные силы тянут вверх, в едином порыве к красоте и душевному свету.

Меня заинтересовало, какие пространственные геометрические фигуры служат основой сооружения храма в целом или отдельных его частей? Как изменялась форма куполов? Ведь для их строительства были необходимы знания, в том числе и геометрии, и они могут служить объектом исследования с точки зрения геометрии.

Купола русских церквей необычны по своей форме.

Интересно, как построить эскиз такого купола?

Одинаковые ли все купола различных храмов?

Почему купола имеют такую форму?

Купола.

Архитектурная конструкция, венчающая здание дворца или храма. Купол состоит из нескольких сводов - (парусов), поставленных на цилиндрическое основание - барабан.

На Руси купола называли главами.

«Москва златоглавая»

Форма куполов изменялась от полусферической до "луковичной" и восьмигранной формы. Не случайно первые купола были полусферические, в древности идея вечности передавалась формой круга, сферы. Строительство куполов требует сложных технических расчетов и потому стало возможно на высокой ступени развития инженерной мысли.

Византийская империя подарила Руси умение строить храмы. В свою очередь русское зодчество, созданное русскими мастерами, привносило в строительную практику собственные находки и стало новым воплощением христианского искусства. И уже можно заметить как меняется форма купола.

Купола русских храмов имеют луковичную форму. "Луковичная" форма выбрана не случайно. Она напоминает заостряющееся кверху пламя, горящую свечу, которую зажигают во время обращенной к Богу молитвы. К небу, к Богу верующие устремляют свои мысли.

Купола шлемообразной формы

И вот в ХII в. Купола напоминают воинский шлем.

Собор Софии премудрости

Божией в Великом Новгороде Успенский собор Московского кремля.

Спасо-Преображенский собор в Собор Троицы Живоначальной в Орехово-Борисово

Переяславле - Залесском

Купола луковичной формы:

Строгоновская церковь в

Нижнем Новгороде. Петропавловская церковь в

г. Брянске.

Яркий пример церкви с куполами луковичной формы - церковь Покрова в Филях

В Константинополе удалось построить круглый купол на квадратном основании, конструктивно используя угловые пазухи свода (паруса) и шатровый купол.

Арки, своды и купола не относятся к римским изобретениям. Однако римляне усовершенствовали их до такой степени, что конструкции эти не были превзойдены до середины XIX века.

На крутом живописном берегу Москва-реки вознесся огромный, устремленный ввысь белокаменный столп. Его мощное основание вырастает из хитросплетения галерей.

- Храм Вознесения в селе Коломенское - новая страница в истории средневековой русской архитектуры. Стрельчатое основание храма завершается тройными заостренными кокошниками, напоминающими языки замершего пламени. А над ними на стройном восьмигранном основании возвышается шатер, венчающий все здание . Этот храм называют архитектурным гимном геометрии. Основной объем храма составляет 20 -гранная призма.

-Церковь Ильи Пророка в Ярославле была построена в середине XVII века. При ее создании зодчие использовали как шатровые покрытия, так и купола в виде луковок.

-Храм Василия Блаженного в Москве - это еще один пример, показывающий, насколько органично золотое сечение входит в архитектурные пропорции

Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого затейливого архитектурного сооружения, но всегда благодаря свойству золотого сечения, части сойдутся в целое. Таким образом, свойство золотого сечения делает эту геометрическую пропорцию единственной и неповторимой.

Серьезное изучение методов формообразования в древнерусском зодчестве было начато К. Н. Афанасьевым. В результате обобщения аналитических данных он пришел к выводу, что в русских церковных постройках XI-XIII вв. «размер центрального купола или подкупольного квадрата неизменно является начальным звеном цепи построения соразмерностей.

Подкупольный квадрат, определявший самый ответственный конструктивный и композиционный элемент церкви - центральную главу, мог являться и часто являлся основой для геометрических построений.

Известно, что Успенский храм Киево-Печерского монастыря, служил образцом для многих культовых построек. Не случайно во многих храмах, возведённых в различных княжествах, отношения ширины к длине по наружному или внутреннему контуру стен которых равно 2/3. Вероятно, мастера прежде всего выдерживали именно это определяющее для сооружения соотношение.

*Яркие примеры красоты русской архитектуры:

1г.Мглин Брянской области Успенский Собор2Церковь святой Екатерины в Ляличах3Спасо -Преображенский собор в Чернигове

4Успенский собор Московского Кремля

5Собор Софии Премудрости Божией в Великом

Новгороде

6 Спасско Преображенский собор в Переславле - Залесском

7Строгоновская церковь в Нижнем Новгороде

8.18.28.3 Церковь Покрова в Филях

** В заключении мне хочется сказать, что изучая материалы для подготовки данной работы, было приобретено много интересных знаний из истории архитектуры и геометрии, что еще раз убеждает меня в многогранности применения этой науки (геометрии) и необходимости ее изучения.

Я провел маленькую часть исследования влияния математики на развитие архитектуры, но узнал творческие секреты древних мастеров, их архитектурные идеи.

Сегодня мы с вами немного задумались о тайне красоты храмов и куполов, почувствовали в себе стремление к творчеству. Изучая геометрию в школе, каждый из нас должен знать, что это наука прикладная, математика - это уникальное средство познания красоты, это лучшее средство установления отношения порядка в искусстве архитектуры.

Все сказанное убеждает меня в том, что архитектура и математика, являясь соответствующими проявлениями человеческой культуры, на протяжении веков активно влияли друг на друга. Они давали друг другу новые идеи и стимулы, совместно ставили и решали задачи. По сути, каждую из этих дисциплин можно рассматривать существенным и необходимым дополнением другой.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ.

1) Аксенова М. «Энциклопедия для детей Аванта+. Том 11» 1998 г.

2) БЭКМ - электронная энциклопедия. «Кирилл и Мефодий»

3) Волошинов А. В. «Математика и искусство» 2000 г. «Просвещение»

4) Коробко В.И., Коробко Г.Н.; М., АСВ Издательство, 2002 г. «Золотая пропорция и человек»

5) Коробко В.И.; Москва, Издательство Ассоциации строительных вузов,1998г. «Золотая пропорция и проблемы гармонии систем»

6) Степанов; М., «Архитектура-С» 2003 г. «Обьемно пространственная композиция»

7) Тиц А.А.; М., Стройиздат, 1978 г. «Загадки древнерусского чертежа»

8) Хинн О.Г. под общ. Ред. ООО «Издательство АСТ-ЛТД» 1998 г. «Я познаю мир: математика»

9) Якушева Г. «Справочник школьника: математика» Филологическое общество: «Слово» 1995 г.

10) Квант: научно-популярная физико-математическая энциклопедия. -

М.: Бюро «Квантум»

11) Интернет - ресурсы.