Научный проект «Исследование парадоксов теории вероятностей как основы устройства азартных игр»

ВВЕДЕНИЕ.

Большинство людей твердо верят, что настойчивость является залогом успеха. Возможно, иногда это действительно так, для некоторых жизненных ситуаций. Но это совершенно не так, для азартных игр и вообще игр с элементами случайности. И я могу строго доказать этот универсальный принцип. На самом деле в азартных играх настойчивость ведет к банкротству.

Теория вероятности и азартные игры тесно связаны между собой. Люди, разбирающиеся в теории вероятности, годами просчитывают возможные варианты, для увеличения шансов на выигрыш, и иногда им это действительно удается. Теория вероятности говорит о том, что при большом количестве проигрышей, в любом случае когда-нибудь обязательно будет выигрыш.

Теория вероятности считается наукой еще с 17 века, и такой предмет преподается в большинстве экономических вузов. Основоположником данной науки является известный Паскаль. Он был известным физиком, астрономом, математиком, но в то же время, рассчитывал применение данной науки в азартных играх. Теория вероятности и азартные игры шли в ногу друг с другом еще с древних веков.

Теория вероятностей представляет собой область математики, необычайно богатую парадоксами - истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как правильность их подтверждена доказательством. Парадоксы в теории вероятностей - различного рода парадоксы, возникающие в теории вероятностей из-за несовершенства аксиоматики, в частности из-за определения вероятности через вероятность, неопределённости понятия «равновероятные события» и иных пробелов в основаниях данного раздела математики. Рассмотрим основания возникновения данных парадоксов. В теории вероятности парадоксы бывают двух типов: первый - когда существует строгое решение в рамках аксиоматики, просто оно не очевидно, и условия задачи таковы, что ведут интуитивное понимание условий в ошибочном ключе, примерами таких парадоксов являются - Санкт-Петербургский парадокс, Парадокс закона больших чисел Бернулли, Парадокс дней рождения; второй тип - парадоксы, которые основываются на неоднозначной интерпретации аксиоматики теории вероятности, её недоопределённости, которую отмечал еще Пуанкаре, их и можно назвать истинными парадоксами. Примеры истинных парадоксов: Проблема Монти -Холла, Парадокс двух конвертов, Парадокс Хемпеля, Парадокс Бертрана.

Актуальность: Актуальность проблематики игровой зависимости как социокультурного явления следует из жестких реалий современного общества, создавшего целый «класс» игроманов. В новых демократических обществах необычайно выросли роль и место игровых явлений и технологий. В современном социуме проблемы игры и реального состояния игросферы общества и личности предельно заостряются.

Гипотеза: если ученики будут владеть научно обоснованной информацией о теории вероятностей это даст более обширное представление о азартных играх.

Цель данной работы заключается в обосновании вопроса об особенностях азартных игр и их влиянии на общество на примере парадоксов теории вероятностей.

Задачи:

1. Установить связь азартных игр с парадоксами теории вероятностей;

2. Провести анализ парадоксов;

3. Сделать вывод о проделанной работе.

Объект: раздел математики теория вероятностей.

Предмет исследования: парадоксы.

Место исследования: СШГ № 12.

I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1.1 Теория вероятностей

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например, ½, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Ниже (в разделе Предельные теоремы) показано, что имеющие научный и практический интерес выводы такого рода обычно основаны на допущении, что наступление или не наступление события А зависит от большого числа случайных, мало связанных друг с другом факторов. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Результат выигрыша любой азартной игры обычно случаен, потому здесь как раз работает теория вероятности.

Именно эта наука затягивает некоторых игроков в игру так, что они верят в свой выигрыш. Если взять пример игровых автоматов, то многие азартные игроки увидели действие теории вероятности в действии. Когда на игровом автомате долго никто не выигрывал, это значит, что скоро он должен выдать монеты. Игроки, в преддверии главного приза, бросают в него фишки или монеты, а выиграть может случайно зашедший в казино новичок. Теория вероятности - это такая наука, которую сложно просчитать, она построена на случайностях. Здесь прогнозы можно делать только приблизительные.

Для того, чтобы увлечься этой наукой не обязательно быть ученым, достаточно быть увлеченным азартными играми. Тут объединяется философия игрока и случайность, с точной математической наукой. Важно относиться к выигрышу именно как к результату правильных расчетов согласно теории вероятности, а не добиваться его своей настойчивостью. Математические подсчеты выигрыша могут быть как простыми, так и самыми сложными, но 100 процентную вероятность выигрыша не дает ни один из них.

1.2 История теории вероятностей

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А. Марков, А.Н. Колмогоров. По словам Б.В. Гнеденко: «Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики; в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера».

Теория вероятностей используется в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла ее роль в связи с развитием вычислительной техники.

В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Ее идеи, методы и результаты не только используются, но буквально пронизывают все естественные и технические науки, экономику, планирование, организацию производства, связи, а также такие далекие, казалось бы, от математики науки, как лингвистику и археологию. Сейчас без достаточно развитых представлений о случайных событиях и их вероятностях, без хорошего представления о том, что явления и процессы, с которыми мы имеем дело, подчиняются более сложным закономерностям, невозможно полноценно работать в физике, химии, биологии, управлять производственными процессами. А, следовательно, данная тема актуальна и нуждается в рассмотрении.

1.3 Парадоксы теории вероятностей

В теории вероятностей существует несколько задач, решение которых, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Такие задачи называют парадоксами. Слово «парадокс» известно каждому. Однако не каждому известно, что значения этого слова в логике и в обыденной жизни несколько разнятся.

В логике под парадоксом понимается логически верное утверждение, доказывающее как свою истинность, так и свою ложность. Простейший пример такого парадокса - т.н. парадокс лжеца. Звучит он до примитивности просто: «Я лгу» (имеется в виду, лгу в данный момент, произнося эти слова). Если принять это утверждение за истину, значит, я действительно лгу, а значит, это утверждение является ложью. Если принять это утверждение за ложь, значит, я не лгу, а значит, это утверждение является истиной.

В обыденной жизни понятие парадокса гораздо прозаичней и тривиальней. Под этим слово обычно понимают некое суждение резко расходящееся с общепринятым мнением, либо нашей собственной интуицией. Подобных парадоксов можно привести великое множество. Особенно много их как раз в тех областях, понимание которых само связано с интуицией.

Одной из таких областей является теория вероятностей. Само понятие вероятности обычно оставляют без чёткого математического определения. Чисто интуитивно под случайным событием мы обычно понимаем некое событие, которое, в силу тех или иных причин, не можем заранее предугадать, а под вероятностью - как бы меру ожидаемости этого события. Вероятность 1/2, например, означает, что мы с одинаковым успехом можем ожидать, что данное событие произойдёт, как и то, что оно не произойдёт. Например, если мы кидаем монетку, это значит мы с одинаковым успехом можем рассчитывать на то, что выпадет орёл или что выпадет решка. Если вероятность близка к единице, это означает, что мы в какой-то степени можем положиться на то, что это событие произойдёт. Напротив, если вероятность близка к нулю, мы можем быть почти уверены, что это событие не произойдёт. Знать какое событие более ожидаемо, какое - менее очень важно, в тех случаях, когда мы чем-то рискуем, особенно, если мы делаем это постоянно. Дело в том, вероятность обладает одним замечательным свойством: для одного конкретного события она практически неопределима в рамках теории вероятности. Мы можем её только оценить, исходя из каких-то отвлечённых рассуждений. Например, если мы кидаем монету, мы не знаем, что она много раз переворачивается в воздухе, причём, посчитать количество переворотов не представляется возможным и нет никаких причин считать (если, конечно, стороны монеты почти одинаковы, центр тяжести никуда не смещён и т.д.), что монета упадёт скорее орлом, а не решкой, а не наоборот. Однако, когда речь идёт о большом числе событий, то тут, как ни странно, получается так, что частота встречаемости определённого события становится близкой к его вероятности. Поэтому, если рисковать один раз, то удача или неудача обычно зависит только от везения, но если заниматься этим постоянно (например, постоянно играть на бирже или в карточные игры (не считая случаев мухлежа)), тогда средний выигрыш будет уже зависеть от знания теории вероятности и умения применить эти знания на практике. Если кинуть монету один раз, то нельзя сказать, что выпал, например, орёл, потому что вероятность его выпадения равна 1/2. Он точно так же мог бы выпасть, если бы вероятность его выпадения равнялась 1/3 или даже 1/10 или 4/5. Но если кидать одну и ту же монету долгое время то можно заметить, что количество выпадений решек и орлов действительно примерно одинаково. Это свойство называется законом больших чисел. А теперь вопрос, какова будет вероятность выпадение решки, если до этого выпало 10 орлов? Большинство скажет, что вероятность увеличится и, скорее всего, выпадет решка, однако на самом деле это не так. Вероятность останется прежней. Мы ведь кидаем монету точно так же непредсказуемо, не зная, сколько раз она перевернётся. Почему мы должны ждать, что она только ради того, чтобы удовлетворить нашу интуицию, упадёт именно решкой? В таких случаях человек интуитивно пытается согласовать результат с законом больших чисел, и поскольку эти две вещи не согласуются, он безосновательно пытается подправить вероятность события, которая, на самом деле, никак не зависит от его желания и предыдущих результатов. Это простейший пример того, как интуиция нас подводит, когда речь идёт о вероятности.

1.4 Четыре знаменитых парадокса.

«Существуют три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика». Эта фраза, приписанная Марком Твеном премьер-министру Великобритании Бенджамину Дизраэли, неплохо отражает отношение большинства к математическим закономерностям. Действительно, теория вероятностей порой подкидывает удивительные факты, в которые сложно поверить с первого взгляда - и которые, тем не менее, подтверждены наукой.

1. Проблема Монти Холла

Именно эту задачу в фильме «Двадцать одно» предложил студентам хитрый профессор MIT. Дав верный ответ, главный герой попадает в команду блестящих молодых математиков, обыгрывающих казино в Лас-Вегасе.

Классическая формулировка звучит так: «Допустим, некоему игроку предложили поучаствовать в известном американском телешоу Let's Make a Deal, которое ведет Монти Холл, и ему необходимо выбрать одну из трех дверей. За двумя дверьми находятся козы, за одной - главный приз, автомобиль, ведущий знает расположение призов. После того, как игрок делает свой выбор, ведущий открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свое решение. Стоит ли игроку согласиться или лучше сохранить свой первоначальный выбор?»

Вот типичный ход рассуждений: после того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, игроку остается выбрать между двумя дверями. Машина находится за одной из них, значит, вероятность ее угадать составляет ½. Так что нет разницы - менять свой выбор или нет. И тем не менее, теория вероятностей гласит, что можно увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. Разберемся, почему это так.

Для этого вернемся на шаг назад. В тот момент, когда мы сделали свой изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранная нами и две остальные. Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за «нашей» дверью, составляет ⅓ - соответственно, автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей с вероятностью ⅔. Когда ведущий показывает, что за одной из этих дверей - коза, получается, что эти ⅔ шанса приходятся на вторую дверь. А это сводит выбор игрока к двум дверям, за одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находится с вероятностью ⅓, а за другой - с вероятностью ⅔. Выбор становится очевидным. Что, разумеется, не отменяет того факта, что с самого начала игрок мог выбрать дверь с автомобилем.

2. Задача трех узников

Парадокс трех узников схож с проблемой Монти Холла, хотя действие разворачивается в более драматических условиях. Трое заключенных (А, Б и В) приговорены к смертной казни и помещены в одиночные камеры. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и дает ему помилование. Надзиратель знает, кто из троих помилован, но ему велено держать это в тайне. Узник A просит стражника сказать ему имя второго заключенного (кроме него самого), который точно будет казнен: «если Б помилован, скажи мне, что казнен будет В. Если помилован В, скажи мне, что казнен будет Б. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое из этих двух имен». Надзиратель говорит, что будет казнен узник Б. Стоит ли радоваться узнику А?

Казалось бы, да. Ведь до получения этой информации вероятность смерти узника А составляла ⅔, а теперь он знает, что один из двух других узников будет казнен - значит, вероятность его казни снизилась до ½. Но на самом деле узник А не узнал ничего нового: если помилован не он, ему назовут имя другого узника, а он и так знал, что кого-то из двоих оставшихся казнят. Если же ему повезло, и казнь отменили, он услышит случайное имя Б или В. Поэтому его шансы на спасение никак не изменились.

А теперь представим, что кто-то из оставшихся узников узнает о вопросе узника А и полученном ответе. Это изменит его представления о вероятности помилования.

Если разговор подслушал узник Б, он узнает, что его точно казнят. А если узник В, то вероятность его помилования будет составлять ⅔. Почему так произошло? Узник А не получил никакой информации, и его шансы на помилование по-прежнему ⅓. Узник Б точно не будет помилован, и его шансы равны нулю. Значит, вероятность того, что на свободу выйдет третий узник, равна ⅔.

3. Парадокс двух конвертов

Этот парадокс стал известен благодаря математику Мартину Гарднеру, и формулируется следующим образом: «Предположим, вам с другом предложили два конверта, в одном из которых лежит некая сумма денег X, а в другом - сумма вдвое больше. Вы независимо друг от друга вскрываете конверты, пересчитываете деньги, после чего можете обменяться ими. Конверты одинаковые, поэтому вероятность того, что вам достанется конверт с меньшей суммой, составляет ½. Допустим, вы открыли конверт и обнаружили в нем $10. Следовательно, в конверте вашего друга может быть равновероятно $5 или $20. Если вы решаетесь на обмен, то можно подсчитать математическое ожидание итоговой суммы - то есть, ее среднее значение. Она составляет 1/2х$5+1/2×20=$12,5. Таким образом, обмен вам выгоден. И, скорее всего, ваш друг будет рассуждать точно так же. Но очевидно, что обмен не может быть выгоден вам обоим. В чем же ошибка?»

Парадокс заключается в том, что пока вы не вскрыли свой конверт, вероятности ведут себя добропорядочно: у вас действительно 50-процентный шанс обнаружить в своем конверте сумму X и 50-процентный - сумму 2X. И здравый смысл подсказывает, что информация об имеющейся у вас сумме не может повлиять на содержимое второго конверта.

Тем не менее, как только вы вскрываете конверт, ситуация кардинально меняется (этот парадокс чем-то похож на историю с котом Шредингера, где само наличие наблюдателя влияет на положение дел). Дело в том, что для соблюдения условий парадокса вероятность нахождения во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, в сумме они дают бесконечность. А это невозможно.

Для наглядности можно представить, что вы обнаруживаете в своем конверте один цент. Очевидно, что во втором конверте не может быть суммы вдвое меньше.

Любопытно, что дискуссии относительно разрешения парадокса продолжаются и в настоящее время. При этом предпринимаются попытки как объяснить парадокс изнутри, так и выработать наилучшую стратегию поведения в подобной ситуации. В частности, профессор Томас Кавер предложил оригинальный подход к формированию стратегии - менять или не менять конверт, руководствуясь неким интуитивным ожиданием. Скажем, если вы открыли конверт и обнаружили в нем $10 - небольшую сумму по вашим прикидкам - стоит его обменять. А если в конверте, скажем, $1 000, что превосходит ваши самые смелые ожидания, то меняться не надо. Эта интуитивная стратегия в случае, если вам регулярно предлагают выбирать два конверта, дает возможность увеличить суммарный выигрыш больше, чем стратегия постоянной смены конвертов.

4. Парадокс мальчика и девочки

Этот парадокс был также предложен Мартином Гарднером и формулируется так: «У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребенок - мальчик. Какова вероятность того, что и второй - тоже мальчик?»

Казалось бы, задача проста. Однако если начать разбираться, обнаруживается любопытное обстоятельство: правильный ответ будет отличаться в зависимости от того, каким образом мы будем подсчитывать вероятность пола другого ребенка.

Вариант 1

Рассмотрим все возможные комбинации в семьях с двумя детьми: 1. Девочка/Девочка 2. Девочка/Мальчик 3. Мальчик/Девочка 4. Мальчик/Мальчик

Вариант девочка/девочка нам не подходит по условиям задачи. Поэтому для семьи мистера Смита возможны три равновероятных варианта - а значит, вероятность того, что другой ребенок тоже окажется мальчиком, составляет ⅓. Именно такой ответ и давал сам Гарднер первоначально.

Вариант 2

Представим, что мы встречаем мистера Смита на улице, когда он гуляет с сыном. Какова вероятность того, что второй ребенок - тоже мальчик? Поскольку пол второго ребенка никак не зависит от пола первого, очевидным (и правильным) ответом является ½.

Почему так происходит, ведь, казалось бы, ничего не изменилось?

Все зависит от того, как мы подходим к вопросу подсчета вероятности. В первом случае мы рассматривали все возможные варианты семьи Смита. Во втором - мы рассматривали все семьи, подпадающие под обязательное условие «должен быть один мальчик». Расчет вероятности пола второго ребенка велся с этим условием (в теории вероятностей это называется «условная вероятность»), что и привело к результату, отличному от первого.

1.5 Распространенность азартных игр

Азартные игры - это пятьдесят процентов знаний и пятьдесят процентов удачи. Даже хорошо разбираясь в правилах игры, не всегда удается положительно закончить партию.

Вероятность того, что игра принесет победу, и выигрыш всегда зависит от многих факторов. Для игрока вычислить вероятность выигрыша дает возможность оценить ситуацию и наметить для себя дальнейший план действий.

Теория вероятности как наука возникла очень давно. Многие считают, что основой данной теории является удача, случай. Но на самом деле это чисто математический расчет, который дает конкретные цифры. Тем не менее, эта теория никогда не может сказать что-то наверняка, она лишь говорит о возможном исходе событий в процентном соотношении.

В азартных играх расчет таких показателей определяет возможности для игрока. То есть, какова больше вероятность выпадения того или иного числа в рулетке, например. В соответствии с этим он уже имеет более полную картину о том, какое число выпадет, скорее всего.

Теория вероятности в азартных играх это расчет по определенным формулам, который несколько отличается для разных игр.

Считать вручную вероятности выпадения каждой комбинации на игровом автомате или цифры на рулетке это, как минимум, занимает много времени. Поэтому были созданы специальные программы, которые быстро высчитывают такие вероятности на основе необходимых данных. Чаще всего ими являются предыдущие результаты и сами значения.

Для того дабы просчитать вероятность в начале придется уделить время записыванию данных. То есть, следует отметить, сколько раз выпадало то или иное число и так далее. Такая статистика нужна для вычисления вероятности выпадения его в будущем.

Математический расчет выигрышных комбинаций хорош в том случае, если Вы уверены, что казино ведет честную игру. В ином случае цифры будут выпадать в беспорядочном порядке, и предугадать их будет просто нереально.

Есть несколько ошибок, которые допускают игроки, используя теорию вероятности в качестве помощника в азартных играх.

1. Многие считают, что будущие результаты напрямую связаны с предыдущими комбинациями или числами. Это только отчасти правильно, но теория вероятности не имеет прямой связи с тем, какое число или символ выпали перед этим. Например, после трех красных чисел в рулетке не всегда выпадет черный цвет и так далее.

2. Зная то, что ставка на менее вероятное число казино будет оценивать дороже в плане очков или денег, многие игроки рискуют и делают именно такие ставки. Но не стоит забывать и то, что вероятность победы при такой ставке гораздо ниже. Поэтому рисковать нужно с «умом».

3. Другая же половина игроков, наоборот, никогда не делает ставки на наименее вероятные позиции. Не желая рисковать, вы не только теряете смысл всех азартных игр, но и возможность получить более высокий выигрыш. Теория вероятности - это только вероятность того, как может «лечь карта», но не стопроцентный приговор. Поэтому иногда рискуя таким образом можно значительно увеличить свой игровой депозит.

4. Есть и еще одна неприятная привычка у заядлых игроков: не учитывать теорию вероятности как фактор для предугадывания возможных результатов вообще. Это, во-первых, лишает их дополнительной помощи, а, во-вторых, может сыграть и против них самих.

Так или иначе, играя в азартные игры, следует помнить о том, что теория вероятности существует вне зависимости от того знает игрок о ней или нет, учитывает ее или нет, высчитывает или нет. В любом случае очень важно выбрать для себя стратегию игры придерживаться ее, но нарушать иногда собственные правила и рисковать. Так игра будет не только увлекательной, но и прибыльной.

В последнее время проблема азартных игр приобрела исключительно большее значение в связи с включением в ее сферу все более распространяющихся денежных игровых автоматов и повсеместного открытия казино. Разнообразное, привлекающее внимание своим красивым видом, мелькающими огоньками, приятными акустическими эффектами оборудование оказывает сильное влияние на многих людей. Имеет немаловажное значение также кажущаяся легкой возможность выиграть значительную сумму денег в течение очень короткого времени. Игровые автоматы чрезвычайно широко распространились во многих странах, успешно вытесняя другие виды развлечений. Так, например, уже в конце 70-х годов в Великобритании, особенно в небольших городах, возникла проблема низкой посещаемости кинотеатров, вплоть до необходимости их закрытия, за счет возрастающей популярности залов игровых автоматов. В США, по данным Conrad (1978), количество "проблемных гэмблеров" - зависимых игроков, зависимых от игровых автоматов, что их жизнь оказывалась полностью подчиненной этой страсти, колебалось от 4 до 10 млн.

Азартные игры как форма досуга или развлечения существуют повсеместно, и подавляющее большинство людей иногда играет в казино, на игровых автоматах, ходят на бега, бьются об заклад, покупают лотерейные билеты. Однако число тех, кого считают патологическими игроками, в большинстве стран, где проводились соответствующие исследования, постоянно. Оно составляет 3,7% населения, причем независимо от того, Монте-Карло или какой-то заштатный городишко без казино и ипподрома. Кстати канадские власти специально провели исследование в провинции Онтарио, где в 1993 году было открыто казино. В ходе 7-летнего мониторинга исследователи из университета Виндзора выяснили, что число людей не увеличилось за это время, хотя 82% местных жителей за это время хотя бы раз посетили казино.

В связи с этим многие американские исследователи считают азартные игры серьезной социальной проблемой, представляющей угрозу для части населения. Проблема усугубляется тем, что в процессе игры в ряде случаев возникают расслабление, снятие эмоционального напряжения, отвлечение от неприятных проблем и игра рассматривается как приятное проведение времени. По этому механизму постепенно наступает втягивание и развивается зависимость.

Существует большое разнообразие игр, ставших демократичными и доступными практически для каждого человека. Зависимость к игре начинается тогда, когда после участия в ней человек продолжает с большим постоянством думать об игре и стремится снова участвовать в ней. В связи с восторженностью он поначалу рассказывает об этом, приглашает посетить это действо. Постепенно этот способ проведения времени все более часто повторяется, становясь не самым лучшим способом проведения времени, предпочитаемым всем другим, тем самым, оказывая на человека деструктивное влияние.

Анализируем выигрыши и проигрыши в казино

Что мы знаем о доходах и расходах игроков казино? Оптимисты нам поведают о своих крупных выигрышах, пессимисты посетуют на немалые проигрыши, но никто толком баланс не подведет. А и правда, стоит ли считать деньги, особенно если они игровые?

В статье журнала Еconomist были приведены данные H2 Gambling Capital, из которых видно, что Cоединенные Штаты являются крупнейшим в мире игорным рынком (рисунок 1). За весь 2014 год люди оставили там $142.6 млрд. Китайские азартные игроки на втором месте - их потери оцениваются в $95.4 млрд. На третьем месте с большим отставанием идет Япония - почти $30 млрд. Помимо казино, в расчетах учитывались проигрыши в игровых автоматах (вне казино), тотализаторе, лотерее, а также проигрыши в интерактивных азартных играх (мобильные, ТВ, Интернет).

Рисунок 1

II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.1 Парадокс игры в кости.

История парадокса.

Игра в кости была самой популярной азартной игрой до конца средних веков. Само слово «азарт» также относится к игре в кости, так как оно происходит от арабского слова «alzar», переводимого как «игральная кость». Карточные игры стали популярны в Европе лишь в XIV веке, в то время как игра в кости пользовалась успехом еще в Древнем Египте во времена 1-й династии и позднее в Греции, а также в Римской империи.

Самой ранней книгой по теории вероятностей является «Книга об игре в кости» («De Ludo Aleae») Джероламо Кардано (1501-1576 гг.), которая в основном посвящена игре в кости. Эта небольшая книжка была опубликована лишь в 1663 г., спустя почти 100 лет как была написана. Видимо, поэтому Галилей стал заниматься той же самой задачей о костях, хотя она была уже решена в работе Кардано. Галилей также написал трактат на эту тему где-то между 1613 и 1624 гг. Первоначально он назывался «Об открытиях, совершенных при игре в кости» («Sopra le Scoperte dei Dadi»), но в собрании сочинений Галилея, изданном в 1718 г., название изменили на следующее: «О выходе очков при игре в кости» («Consideratione sopra il Giuoco dei Dadi»).

Парадокс.

Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5 или 6. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, ..., 6 можно получить двумя разными способами: 9 = 3 + 6 = 4 + 5 и 10 = 4 + 6 = 5 + 5. В задаче с тремя костями и 9, и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три?

Объяснение парадокса.

Задача настолько проста, что кажется странным, что в свое время ее считали страшно трудной. И Кардано, и Галилей отмечали необходимость учета порядка выпадания чисел. (В противном случае не все исходы были бы равновозможными.) В случае двух костей 9 и 10 могут получаться следующим образом: 9 = 3 + 6 = 6 + 3 = 4 + 5 = 5 + 4 и 10 = 4 + 6 = 6 + 4 = 5 + 5. Это означает, что в задаче с двумя костями 9 можно «выбросить» четырьмя способами, а 10 - лишь тремя. Следовательно, шансы получить 9 предпочтительней. Поскольку две кости дают 6 x 6 = 36 различных равновозможных пар чисел, шансы получить 9 равны 4/36, а для 10 - лишь 3/36. В случае трех костей ситуация меняется на противоположную: 9 можно «выбросить» 25 способами, а 10 - уже 26 способами. Так что 10 более вероятно, чем 9.

2.2 Парадокс лотереи.

История парадокса.

Первая публикация о парадоксе лотереи была в 1961 году в статье Г. Кайберга Probability and the Logic of Rational Belief, хотя первая формулировка парадокса появляется в работе «Вероятность и случайность», представленной в 1959 году на заседании Ассоциации символической логики, и в 1960 году на международном конгрессе по истории и философии науки, но опубликованной в журнале Theoria в 1963 году.

Парадокс.

Парадокс лотереи, сформулированный профессором Рочестерского университета Генри Кайбергом, возникает из рассмотрения шансов выигрыша в лотерею, в которой разыгрывается, например, 1000 лотерейных билетов, из которых один является выигрышным. Предположим, что событие весьма вероятно тогда, когда его вероятность больше 0,99. На этом основании рациональным представляется предположение, что первый билет этой лотереи не выиграет. Точно также рационально признать, что и второй билет также не выиграет, третий билет также не выиграет и т. д. вплоть до 1000-го билета, что равносильно признанию, что ни один билет не выиграет. Таким образом, мы приходим к противоречию: один билет лотереи обязательно должен выиграть, и в то же время никакой билет лотереи не может выиграть.

Объяснение парадокса.

Парадокс лотереи является софизмом, поскольку содержит ошибку в рассуждениях. В ходе рассуждений, что первый билет лотереи не выиграет, второй билет лотереи тоже не выиграет, … , n-й билет лотереи тоже не выиграет, употребление слова тоже неправомерно, поскольку каждый из этих выводов делается независимо для каждого билета. Таким образом, вероятность того, что именно этот билет не выиграет, больше 0,99 только для этого одного билета, но не для нескольких билетов сразу. А в случае, когда мы рассматриваем сразу несколько билетов (и тем более - сразу все билеты, один из которых выигрышный), то вероятность того, что они все окажутся невыигрышными, снижается, а вероятность выигрыша одного из них повышается в тем большей степени, чем больше билетов мы рассматриваем.

Как только мы исправляем эту ошибку, то заключительный вывод: «1000-й билет лотереи не выиграет» уже не будет равносилен тому, что ни один билет лотереи не выиграет.

Парадокс лотереи демонстрирует противоречивость трех распространённых принципов рационального принятия решений:

• рационально принимать предположение, которое, по вашему мнению, весьма вероятно является истиной;

• не рационально принимать предположение, которое, по вашему мнению, является противоречивым;

• если рационально принимать предположение A, и рационально принимать предположение В, то тогда рационально принимать оба этих предположения вместе, даже в случае их противоречия друг другу.

3. Парадокс раздела ставки

История парадокса

Этот парадокс был впервые опубликован в Венеции в 1494 г. в обзоре средневековой математики. Автор Фра Лука Пачоли (1445-1509 гг.) назвал свою книгу «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» ("Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita"). В этой книге впервые использовалось слово «миллион» и объяснялась двойная бухгалтерия. Интересно отметить, что в Милане Фра Лука близко подружился с Леонардо да Винчи, и благодаря этой дружбе Леонардо иллюстрировал работу Фра Лука «О божественных пропорциях» ("De Divina Proportione"), опубликованную в Венеции в 1509 г. Недавно Эйштейн Оре обнаружил итальянскую рукопись, датированную 1380 г., в которой также упоминается парадокс раздела ставки. Многое указывает на арабское происхождение задачи или по крайней мере на то, что в Италию задача попала вместе с арабским учением. Как бы ни стара была проблема, фактом остается, что для ее правильного решения потребовалось очень много времени. Сам Пачоли даже не видел связи этой задачи с теорией вероятностей; он рассматривал ее как задачу о пропорциях. Неверное решение дал Никколо Тарталья (1499-1557 гг.), хотя он был достаточно гениален, чтобы в математической дуэли за одну ночь открыть формулу корней кубического уравнения. После нескольких неудачных попыток Паскаль и Ферма в конце концов в 1654 г. независимо друг от друга нашли правильный ответ задачи. Это открытие было настолько важным, что многие считают этот год временем рождения теории вероятностей, а все предшествующие результаты относят к ее предыстории.

Парадокс

Два игрока играют в безобидную игру (т. е. у обоих шансы победить одинаковы), и они договорились, что тот, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Предположим, что на самом деле игра остановилась до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл 5 партий, а второй - 3). Как справедливо следует разделить приз? Хотя в действительности эта проблема не является парадоксом, безуспешные попытки некоторых величайших ученых решить ее, а также неверные противоречивые ответы создали легенду о парадоксе. Согласно одному ответу, приз следовало разделить пропорционально выигранным партиям, т. е. 5:3К Тарталья предложил делить в отношении 2:1. (Паиболее вероятно, что он рассуждал следующим образом: так как первый игрок выиграл на две партии больше, что составляет третью часть от необходимых для победы 6 партий, то первый игрок должен получить одну треть от приза, а оставшуюся часть следует разделить пополам.) На самом деле справедливым является раздел в отношении 7: 1, что сильно отличается от предыдущих результатов.

Объяснение парадокса

И Паскаль, и Ферма рассматривали эту проблему как задачу о вероятностях. Так что справедливым будет раздел, пропорциональный шансам первого игрока выиграть приз. Покажем, что в случае, когда первому игроку осталось выиграть только одну партию, а второму игроку для победы требуется выиграть три, справедливое отношение равно 7:1. Следуя идее Ферма, продолжим игру тремя фиктивными партиями, даже если некоторые из них окажутся лишними (т. е. когда один из игроков уже выиграл приз). Такое продолжение делает все 2-2-2 = 8 возможных исходов равновероятными. Поскольку только при одном исходе второй игрок получает приз (т. с. когда он выигрывает все три партии), а в остальных случаях побеждает первый игрок, справедливым является отношение 7: 1.

2.4 Парадо́кс Парро́ндо

Парадо́кс Парро́ндо - парадокс в теории игр, который обычно характеризуют как проигрышную стратегию, которая выигрывает. Парадокс назван в честь его создателя, Хуана Паррондо, испанского физика. Утверждение парадокса выглядит следующим образом: Возможно выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры.

Более точная с точки зрения математики версия парадокса звучит следующим образом: В двух играх с зависимыми исходами, в каждой из которых вероятность проигрыша больше вероятности выигрыша, можно построить выигрышную стратегию, манипулируя очерёдностью между ними.

Парадокс заключается в следующем: играя в две специально подобранные игры А и Б, каждая из которых имеет более высокую вероятность проигрыша, чем победы, можно построить выигрышную стратегию, играя в эти игры поочерёдно. То есть, играя в одну игру, в которой на 5 проигрышей выпадает 4 выигрыша, игрок</ неизбежно проиграет по итогам большого количества розыгрышей. Затем, играя в другую, в которой на 10 проигрышей выпадает 9 выигрышей, игрок также проиграет. Но если чередовать эти игры, например АББАББ и т. п., то общая вероятность выигрыша может оказаться больше вероятности проигрыша. Условием возникновения парадокса Паррондо является связь между результатами игр А и Б (игры с «капиталом» игрока), либо общий предмет в правилах игры.

Объяснение парадокса

Вариант с капиталом игрока

Связь двух игр может осуществляться через текущий капитал игрока. Под капиталом игрока подразумевается накопительная количественно измеряемая компонента исходов игры.

Пусть игра А такова, что игрок выигрывает 1 € с вероятностью (с положительным, достаточно малым ) и проигрывает 1 € с вероятностью . Математическое ожидание результата такой игры, очевидно, равняется , то есть отрицательно.

Игра Б является комбинацией двух игр - Б1 и Б2. Если капитал игрока в начале игры Б кратен 3, то он играет в Б1, иначе - в Б2.

Игра Б1: игрок выигрывает 1 € с вероятностью , проигрывает с вероятностью .

Игра Б2: игрок выигрывает 1 € с вероятностью , проигрывает с вероятностью .

При любом ненулевом положительном значении игра Б также обладает отрицательным ожиданием результата (например, при ).

Можно увидеть, что некоторые комбинации игр А и Б обладают положительным ожиданием результата. Например (с указанным значением ):

• Случайно выбирая каждый раз игру между А и Б, мы получим ожидание результата 0,0147.

• Играя поочерёдно 2 раза А, затем 2 раза Б, получаем ожидание результата 0,0148.

Чтобы лучше понять суть парадокса с капиталом игрока, можно представить, что игрок стоит на лестнице с пронумерованными ступенями, и должен подняться по ней вверх. Поскольку наиболее неприятным для игрока исходом является игра Б1, когда он стоит на ступеньке с номером, кратным 3, то в этот момент ему следует переключиться на игру А, а на ступенях с номерами, не кратными 3, переключиться обратно на игру Б и сыграть по правилам Б2. Так, при в интервале [0;0.084] игроку в долгосрочной перспективе обеспечен выигрыш.

Вариант с блокировкой игры

Связь может также осуществляться ссылкой правил на общий предмет.

Пусть перед игроком имеется жетон с двумя сторонами - белой и чёрной.

Игра А - игрок бросает монетку:

• если жетон обращён белой стороной к игроку,

  • если выпал «орёл», то игрок получает 3 €;

  • если выпала «решка», то игрок теряет 1 € и переворачивает жетон другой стороной.

• если жетон обращён чёрной стороной к игроку,

  • если выпал «орёл», то игрок получает 1 €;

  • если выпала «решка», то игрок теряет 2 €.

Игра Б - игрок бросает монетку:

• если жетон обращён чёрной стороной к игроку,

  • если выпал «орёл», то игрок получает 3 €;

  • если выпала «решка», то игрок теряет 1 € и переворачивает жетон другой стороной.

• если жетон обращён белой стороной к игроку,

  • если выпал «орёл», то игрок получает 1 €;

  • если выпала «решка», то игрок теряет 2 €.

Очевидно, что играя в одну из этих игр в долгосрочной перспективе, игрок в среднем будет проигрывать, играя же в эти игры поочерёдно (или каждый раз выбирая случайным образом одну из двух игр), игрок получает возможность выбраться из неблагополучной для него конфигурации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании вышеизложенного мы пришли к выводу, что исследование игрозависимости, как нового социокультурного явления, подтверждает актуальность данной проблемы, необходимость и реальную значимость для социума практических методов возвращения игрозависимых индивидов к нормальной социальной и духовной жизни. Несмотря на естественность и неотъемлемость состояния игры для человека, в определенных социальных условиях игра имеет свойство перерастать в зависимое поведение, приобретая в результате деструктивные социокультурные качества. Начинает пагубно влиять не только на культурно-духовную сферу самого патологического игрока, его окружение, но и создает негативный поведенческий образ. Как и любая другая область науки, математика отражает множество противоречий окружающего нас мира. В связи с этим в истории математики встречается множество различных парадоксов - истинных высказываний, для которых характерны неожиданность, непривычность, оригинальность, противоречивость себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и/или по форме. Математика - история парадоксов. Особенно богата парадоксами теория вероятностей. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела, где было бы столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей. Разрешение же различных парадоксов, связанных со случайностью, способствовало возникновению и развитию теории вероятностей и её приложений. Величайшие открытия порой были результатом разрешения величайших парадоксов. В свою очередь эти открытия становились источниками новых парадоксов. Из всех методов обучения метод, основанный на познании нового через парадоксы (метод Сократа), является самым фундаментальным, т.к. процесс научного познания сам опирается на парадоксы. Следовательно, анализ и пошаговый разбор парадоксов теории вероятностей ведет к более глубокому пониманию предмета и лучшему осознанию сути дела.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Г. Секкей, «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике» М., Мир. 1990

2. Сергей Вальковский, Задача Монти Холла на elementy.ru.

3. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика» М.: Высшее образование. 2005

4. М. Гарднер «Гексафлексагоны и Другие Математические Развлечения»

5. Перевод статьи «Two Lessons from the St. Petersburg Paradox» Инвесто.ру

6. John G. Kemeny, J. Laurie Snell, and Gerald Thompson Introduction to Finite Mathematics . The first edition, 1957.(русский перевод: Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику. Издательство иностранной литературы, 1963 г.

20