Открытый урок по геометрии по теме 'Золотое сечение'.

Золотое сечение - закон гармонии и красоты мира.

Учитель МБОУ гимназия № 9

города Воронежа

Хатунцева И.В.

Цели урока:

1. Познакомить учащихся с понятием золотого сечения и связанных с ним свойств геометрических фигур

2. Развить эстетическое восприятие математических фактов, расширить представления учащихся о сферах применения математики

3. Продемонстрировать разнообразие применения математики в реальной жизни

Эпиграфы урока:

1. «Геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе - с драгоценным камнем». Иоганн Кеплер

2. «Geometria est archetypus pulchritudinis mundi» - Геометрия есть прообраз красоты мира. В.Гейзенберг

План урока:

1. Вступительное слово учителя

2. Золотое сечение в геометрии

а) Понятие золотого сечения, его коэффициента

б) Построение золотого сечения

в) Золотой прямоугольник

г) Золотой треугольник

д) Декагон

е) Пентагон

3. Музей золотого сечения (применение ЗС в различных областях науки и жизни)

а) Закон звезды и формула цветка

б) Гармония химических взаимодействий

в) Золотые памятники архитектуры

г) Красота человеческого тела

д) Ритмы сердца и мозга

е) Тайны музыкальной гармонии

ж) Золотые ритмы стихосложения

з) Код да Винчи

е) Симфония Земли

4. Заключительное слово учителя

1. ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО УЧИТЕЛЯ

Окружающий нас мир многообразен… Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственны мера, целесообразность и гармония выглядят красиво и вызывают чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

Людей с давних времен волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония каким-либо математическим расчетам, можно ли «проверить алгебру гармонией», как сказал А.С. Пушкин. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.

Сегодня мы познакомимся с одним из таких математических соотношений. Запишите тему урока… Первым эпиграфом будут служить слова немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера … Мы познакомимся с понятием золотого сечения и рассмотрим его применение в геометрии. Вторым эпиграфом я взяла слова В.Гейзенберга …. , потому что сегодня мы попробуем доказать на примере золотого сечения, что геометрия - не сухая и скучная наука, а некий универсальный закон гармонии и красоты окружающего мира.

2. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ

а) Понятие золотого сечения, его коэффициента

Что же такое золотое сечение? Начертим произвольный отрезок АВ.

Отметим на нем точку С такую, что , т.е. меньшая часть так относится к большей, как большая ко всему целому. Такая пропорция и носим название «золотое сечение».

Попробуем найти коэффициент этой пропорции:

Пусть АВ =а, АС =x, ВС =a-x, где , тогда

,

x² =a² - ax,

x² + ax -a² = 0,

D = 4 a² + a² = 5a²

x = .

Число φ - коэффициент золотого сечения, φ 0,62

б) Построение золотого сечения

Как же геометрически решить задачу о делении отрезка в отношении золотого сечения?

Построение:

1. ДВ АВ

2. ДВ = АВ

3. АД

4. ДЕ=ВД, т. Е АД

5. АС = АЕ, т. С АВ

6. т. С - искомая

Доказательство:

АД² = АВ² + ВД²

(АЕ +ЕД)² = АВ² +ВД²

(АС + АВ)² = АВ² +(АВ)²

АС² + АС *АВ + АВ² = АВ² + АВ²

АС² + АС *АВ = АВ²

АС² = АВ * ВС

АС * АС = АВ * ВС

ч.т.д.

Давайте найдем значение числа, обратного :

Это число встречается в геометрии так же часто, как и число .

в) Золотой прямоугольник, золотая спираль.

Всем нам знакома геометрическая фигура - прямоугольник. (Ученики дают определение) В реальной жизни нас окружает множество вещей, таких как спичечный коробок, книга, парта, картина, имеющих форму прямоугольника. Измерьте размеры вашего учебника геометрии и найдите отношение меньшей стороны к большей. Оно приближенно равно .

Такой прямоугольник, у которого отношение сторон равно называется золотым. Как же выполнить его построение?

Начертите в тетрадях квадрат АВСД.

1. АВСД -квадрат

2. АВМЕ = ЕМСД

3. диагональ СЕ

4. ЕР = СЕ, т. Р лучу АД

5. РКВС

6. АВРК - искомый

Доказательство:

1. Пусть сторона квадрата равна а, тогда

2. СЕ² = ДЕ² +СД² = ; СЕ =

3. АР = АЕ + ЕР = + =

Давайте выполним следующую практическую работу:

у каждого из вас на столах есть модель золотого прямоугольника.

1. отрежьте от него квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника

2. измерьте отношение сторон поученного прямоугольника

3. и т.д.

Можно сделать вывод: золотой прямоугольник сохраняет свою форму.

(Золотая спираль)

Если в каждом последовательно полученном квадрате золотого прямоугольника провести окружность, то получится спираль, называемая золотой.

г) Золотой треугольник

На уроках геометрии мы изучали различные виды треугольников: равносторонние, прямоугольные, равнобедренные. Оказывается, существует и золотой треугольник. Золотым называется такой равнобедренный треугольник, у которого отношение основания к боковой стороне равно , т.е.

Вычислим градусную меру угла такого треугольника.

сos А =

По таблице Брадиса ,

Таким образом, имеем формулу cos 72^o = sin 18^o = , которая нам понадобится на уроках алгебры.

Золотой треугольник обладает очень интересным свойством:

1. Проведем биссектрису АС₁

2. С₁ = 72⁰

3. Треугольник АСС₁ -золотой

Вывод:

1. длина биссектрисы угла при основании золотого треугольника равна основанию

2. биссектриса угла при основании золотого треугольника отсекает от него золотой треугольник.

д) Декагон

Замечательный пример золотого сечения представляет собой правильный 10-угольник - декагон.

Рассмотрим одно его важное свойство.

Найдем угол декагона , треугольник ОАВ - золотой

Как видите, и в правильном десятиугольнике присутствует золотое сечение.

е) Пентагон

Но, пожалуй, самой замечательной геометрической фигурой, в которой можно видеть огромное количество отношений золотого сечения, является правильный пятиугольник - пентагон.

Если провести в пентагоне диагонали, получим звездчатый пятиугольник - пентаграмму (пятиконечную звезду). Пятиконечной звезде около 3000 лет, она всегда считалась символом жизни и здоровья, амулетом от «нечистой силы». И сегодня она реет на флагах едва ли не половины стран мира. В чем же ее привлекательность? Дело в том, что в пентаграмме можно найти около 200 отношений золотого сечения. Вот некоторые их них:

1. Точки пересечения диагоналей являются точками золотого сечения

2. EF = GB = , FG = ²

3. Треугольник, образованный стороной пентагона и диагоналями, заключающими эту сторону, - золотой.

4. Сторона пятиугольника равна произведению диагонали пятиугольника и коэффициента золотого сечения:

Домашнее задание

1. Доказать свойства 1 - 4

2. Построить с помощью циркуля и линейки пентагон и декагон.

3. МУЗЕЙ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Мы рассмотрели с вами множество фактов применения золотого сечения в геометрии. На этом наше знакомство с этой пропорцией не заканчивается: мы продолжим его на уроках алгебры в 9 классе при изучении темы «Последовательности чисел», а так же на уроках геометрии в 11 классе при изучении темы «Правильные многогранники».

Но золотое сечение потому и называют золотым, что оно имеет свое применение не только в математике, но и в биологии, и в химии, и в литературе, и в живописи, и в окружающей нас действительности.

И мы познакомимся с областями использования этой пропорции, посетив «Музей золотого сечения», в создании которого вы принимали непосредственное участие.

1зал: «Закон звезды и формула цветка»

«Книга природы написана на языке геометрии», - говорил Галилео Галилей. Мир природы предстает перед нами подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Он - это, прежде всего, мир гармонии, в котором действует закон золотого сечения.

(Презентация 1 группы)

2 зал: «Гармония химических взаимодействий»

Ни для кого не секрет, что умение правильно и быстро решать химические задачи невозможно без использования математических пропорций. А что можно сказать относительно использования самой загадочной из пропорций - пропорции золотого сечений - в химии?

(Презентация 2 группы)

3зал: «Красота человеческого тела»

То, что части красиво сложенного человеческого тела находятся в определенной пропорции, знает каждый: недаром мы говорим о пропорционально сложенной фигуре. Но далеко не всем известно, что и здесь имеет место золотое сечение.

(Презентация 3 группы)

4 зал: «Ритмы сердца и мозга»

Мы увидели, что в анатомическом строении человека золотое сечение играет важную роль. А имеет ли оно влияние на внутренние органы человека, а, значит, и на его здоровье?

(Презентация 4 группы)

5 зал: «Золотые памятники архитектуры»

Архитектура - удивительная область человеческой деятельности, совокупность зданий и сооружений, созданная человеком и необходимая для его жизни. «Прочность, польза, красота» - такова знаменитая формула архитектурного целого, выдвинутая Витрувием. А ведь красота зданий и определяется пропорциями и математическими законами гармонии.

(Презентация 5 группы)

6 зал: «Тайна музыкальной гармонии»

Музыка - вид искусства, который отражает действительность и воздействует на человека посредством осмысленных и особым образом организованных звуковых последовательностей, состоящих из тонов. Выяснить законы «музыкальной гармонии», понять, почему одни музыкальные произведения даже не хочется слушать, а другие просто завораживают своей неповторимой красотой, мы и попытаемся сделать.

(Презентация 6 группы)

7зал: «Золотые ритмы стихосложения»

Поэзия - родная сестра музыки. Каждый стих обладает своим ритмом и своей мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а, значит, и золотое сечение.

(Презентация 7 группы)

8 зал: «Код да - Винчи»

«Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой» так говорил итальянский живописец, скульптор, учёный, инженер и архитектор Леонардо да - Винчи. Именно он ввел термин «золотое сечение». А, может быть, это понятие и лежит в основе кода да - Винчи и является разгадкой тайны «Джоконды?

(Презентация 8 группы)

9 зал: «Симфония неба и земли»

Возможно, что первыми объектами, в которых человек стремился открыть законы бытия и законы гармонии, были небосклон, под сводами которого он живет, и земля, на которой живет. Именно наблюдение над неизменными и вечными звездами впервые привело человека к мысли о том, что в мире, земном и небесном, существует порядок и гармония.

(Презентация 9 группы)

5. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ СЛОВО УЧИТЕЛЯ

Итак, пройдя по залам нашего музея, мы увидели, что красота и гармония являются важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине.

Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты и гармонии, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты обнаженного человеческого тела!

И сегодня совместными усилиями мы доказали, что именно поэтому геометрическая пропорция - золотое сечение - и является своеобразным критерием прекрасного, основополагающим и универсальным законом красоты и гармонии мира.

Песня

День ото дня, год от года привычно

Жизнь продолжает течение.

Чтобы в судьбе было все гармонично,

Выбор таков: золотое сечение!

Времени бездну глотает работа.

После труда - развлечение.

Их разделить - это тоже забота:

Лучше всего золотое сечение.

Каждому в жизни даются судьбою

Бурные радости и огорчения.

Много их? Да, но число не любое:

Водораздел - золотое сечение.

Ох, нелегко меж собой сопоставить

Пору творенья и пору учения:

Как сочетать их и мысль как направить?

Правильный путь - золотое сечение!