Cправочные материалы по математике для 5 класса

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО МАТЕМАТИКАЕ 1-5 КЛАСС

ЭТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ КАЖДЫЙ УЧЕНИК

1. Порядок выполнения действий.

а) Если в выражении без скобок есть только сложение и вычитание, то эти действия выполняются в том порядке, в каком записаны.

б) Если в выражении без скобок есть только умножение и деление, то эти действия выполняются в том порядке, в каком записаны.

в) Если в выражении нет скобок, то сначала выполняют по порядку умножение и деление, а затем тоже по порядку сложение и вычитание.

Пример. Расставим порядок действий:

г) Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках.

2. Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Значение буквы, при котором получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

3. Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что их нет.

4. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: а + 5 = 20 а = 20 - 5 а = 15

5. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность: а - 27 = 43 а = 27 + 43 а = 70

6. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность: 48 - а = 23 а = 48 - 23 а = 25

7. Алгоритм решения уравнения

а) Упростить выражение в левой части 3х+7х+18=178

то есть сложить или вычесть подобные. 10х +18=178

б) Найти неизвестное слагаемое 10х=178-18

(уменьшаемое, или вычитаемое)

в) Найти неизвестный множитель 10х=160

Х=160:10

Х= 16

г) Записать ответ Ответ:х=16

Десятичные дроби

8. Десятичная запись дробных чисел

Любое число, знаменатель дробной части, которого выражается единицей с одним или несколькими нулями, можно представить в виде десятичной записи, или, как говорят, иначе, в виде десятичной дроби: 6 6,3, то есть Десятичная дробь - это число, знаменатель дробной части которого выражается единицей с несколькими нулями.

Числа со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. можно записывать без знаменателя.

С начало пишут целую часть, а потом числитель дробной части.

Целую часть отделяют от дробной части запятой.

9. Новая запись чисел

Десятичные дроби читают так же, как и обыкновенные, но с обязательным указанием целых единиц.

Целая часть отделяется от дробной части запятой.

В десятичной дроби после запятой стоит столько же цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби:

10. Алгоритм записи десятичной дроби

Записываем целую часть числа и ставим запятую: 4= 4,

После запятой ставим столько точек, сколько нулей в знаменателе дробной части: 4= 4,….

С последней точки справа записываем числитель, начиная с последнего знака:4= 4,034

Знаки, стоящие в десятичной дроби после запятой, называют десятичными знаками. Любую десятичную дробь легко записать в виде обыкновенной дроби (простой или смешанной):

7,25 = 7 = 7

11. Сравнение десятичных дробей

Если в конце десятичной дроби приписать нуль или отбросить нуль, то получится дробь, равная данной: 0,4560 = 0,456 = 0,45600; 45 = 45,0 = 45,00 и т.д.

Чтобы сравнить две десятичные дроби, надо сначала уравнять у них число десятичных знаков, приписав к одной из них справа нули, а потом, отбросив запятую, сравнить получившиеся натуральные числа. Сравним: 8,367 и 8,39 8,367 и 8,390 8367 < 8390 => 8,367 < 8,39

12. Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:

1. уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

2. записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;

3. выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую

4. поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях

13. Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) умножить ее на это натуральное число, не обращая внимания на запятую;

2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

14. Чтобы умножить десятичную дробь на 10,100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы. 8,5 · 1000 = 8,500 · 1000 = 8500

15. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

2) поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.

Если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых.

16. Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе. 56,378 : 100 = 0,56378 5,48 : 1000 = 0,00548 С помощью деления находят десятичную дробь, равную данной обыкновенной дроби.

Обратим дробь в десятичную:

= 5 : 8 = 0,625

17. Умножить число на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. - то же самое, что разделить его на 10, 100, 1000 и т.д. Для этого надо перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

18. Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1) Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;

2) отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей. При умножении числа на неправильную десятичную дробь оно увеличивается или не изменяется. При умножении числа на правильную десятичную дробь оно уменьшается.

19. Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:

1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;

2) после этого выполнить деление на натуральное число.

20. При делении числа на неправильную дробь, это число уменьшается, а при делении на правильную дробь оно увеличивается.

21. Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо перенести запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей (то есть умножить ее на 10, 100, 1000 и т.д.). Если цифр не хватает, надо сначала приписать в конце дроби несколько нулей. 56,87 : 0,0001 = 56,8700 : 0,0001 = 568 700

Проценты.

22. Процентом называют одну сотую часть. Процент обозначают знаком %. Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна 100%. Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

23. Алгоритм нахождения процентов от числа

Если нам известно количество процентов от данного числа, то нужно:

1. Найти сколько приходится на 1 % (отвара, торта, яблок, зверей и т.д.)

2. Умножить найденное число на данное количество процентов

24. Алгоритм нахождения числа по его процентам

1. Найти сколько приходится на 1 %, то есть нужно разделить данное в задаче число на соответствующее число процентов;

Умножить найденное число на 100

25. Алгоритм решения задач на соотношение

1 Найти сумму всех составляющих (учеников, деревьев, частей круга и т.д.)

2. Найти какую часть составляет искомое от целого (закрашенная часть круга, девочки от всего класса, груши от всех деревьев)

3. Вырази дробь в виде процентов.

Доли. Обыкновенные дроби.

26. Запись вида называют обыкновенными дробями. Здесь 5 - числитель дроби, а 8 - знаменатель дроби. Знаменатель показывает, на сколько долей делят, а числитель - сколько таких долей взято.

Сравнение обыкновенных дробей.

27. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше. Пример. < .

28. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше. Пример. < .

29. Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.

30. Правильные и неправильные дроби

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной дробью.

Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью. Правильная дробь меньше единицы, а неправильная дробь больше или равна единице.

32. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же.

33. Смешанные числа

Сумму 1 + ¼, принято записывать 1 ¼, где число 1 - это целая часть, а число - его дробная часть.

34. Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:

1) разделить с остатком числитель на знаменатель;

2) Неполное частное будет целой частью;

3) остаток (если он есть) дает числитель, а делитель - знаменатель дробной части. 47/9=5 2/9

Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной.

35. Чтобы представить число в виде неправильной дроби, нужно:

1) умножить его целую часть на знаменатель дробной части;

2) к полученному произведению прибавить числитель дробной части;

3) записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения: 7 1/8=57/8

36. Чтобы найти дробь от числа, надо число разделить на знаменатель, а потом умножить на числитель.

37. Чтобы найти число по его дроби, надо число разделить на числитель, а потом умножить на знаменатель.

38. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель и наоборот

39. Из двух дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше и на оборот.

40. Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называются правильной.

41. Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему называются неправильной.

42. Неправильная дробь больше единицы или равна единице

43. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже число , то получится равная его дробь.

44. Сложение дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями нужно:

1. Привести дроби к одному общему знаменателю, т.е. найти такое число, которое бы делилось на оба знаменателя данного примера ( если один знаменатель делится на другой, то общим знаменателем будет больший знаменатель);

2. Найти дополнительный множитель, для этого общий знаменатель нужно разделить на знаменатель каждой дроби и сверху над числителем записать полученный результат, который и называется дополнительным множителем;

3. Каждый полученный дополнительный множитель умножаем на свой числитель. Результат записываем в числитель

4. Полученные числители складываем (вычитаем)

45. Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Ср.ар. = (сумма чисел) : (количество слагаемых)

Геометрический материал.

46. Поверхность стола, школьной доски, листа бумаги дают представление о плоскости. Плоскость - неопределяемое понятие.

47. Через любые две точки плоскости проходит единственная прямая. Прямая - неопределяемое понятие.

48. Отрезок - это часть прямой, ограниченная точками.

49. Луч - это часть прямой, ограниченная точкой с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца

Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

50. Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки

Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, - вершиной угла. При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой. ∠АОВ или ∠О

Если один угол можно наложить на другой так, что они совпадут, то эти углы равны.

51. Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развернутого угла.

52. Прямым углом называют половину развернутого угла.

Измерение углов. Транспортир

53. Для измерения углов применяют транспортир.

54. Одно деление транспортира = 1° (один градус) 1° = 1/180 РАЗВЕРНУТОГО УГЛА Прямой угол равен 90о Если угол меньше 90о, то его называют острым углом. Если угол больше 90о, но меньше 180о, то его называют тупым углом.

55. Измерение углов.

∠АВС=135°.

Для измерения угла АВС на него наложили транспортир так, что:

1) вершина В совпадает с вершиной развернутого угла на шкале транспортира; 2) луч ВА проходит через начало отсчета развернутого угла на шкале транспортира, от стороны АВ и пошел отсчет градусной меры угла АВС. Сторона ВС указывает 135° - градусную меру угла АВС.

Примечание. Начало отсчета на шкале транспортира (0 градусов) имеется и слева и справа. С какой стороны отсчитывать градусную меру измеряемого угла покажет луч, совпадающий со стороной развернутого угла на шкале транспортира. В нашем случае это луч ВА, поэтому, отсчет градусной меры ведется слева.

56. Построение углов с помощью транспортира.

Пусть требуется построить угол ВОС, градусная мера которого равна 60°.

Построение. 1) Построим луч ОС;

2) Совместим начало луча - точку О - вершину будущего угла ВОС с вершиной развернутого угла на шкале транспортира так, чтобы луч ОС совпал со стороной развернутого угла на шкале транспортира (прошел через начало отсчета на шкале транспортира), так как луч ОС указывает на начало отсчета справа, то справа и откладываем 60°; 3) из точки О проведем луч ОВ через отметку 60. Мы построили ∠ВОС=60°.

Смежные углы.

57. Если два угла имеют общую сторону, а две другие их стороны лежат на одной прямой, то такие углы называются смежными углами.

58. Сумма смежных углов составляет 180°.

Углы АОС и ВОС - смежные, так как у них одна сторона ОС - общая, а две другие ОА и ОВ лежат на одной прямой.

∠АОС + ∠ВОС = 180°.

Треугольник.

59. Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами.

Условие существования треугольника.

60. В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

61. У любого треугольника два угла непременно острые.

62. Остроугольным треугольником называют треугольник, в котором все три угла острые.

63. Прямоугольным треугольником называют треугольник, в котором один из углов прямой.

64. Тупоугольным треугольником называют треугольник, в котором один из углов тупой.

65. Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого длины двух сторон равны.

66. Равносторонним треугольником называют треугольник, у которого длины всех трех сторон равны.

67. Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон.

68. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые.

69. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин двух смежных сторон прямоугольника.

70. P□=2∙(a+b), где a и b - длина и ширина прямоугольника.

71. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. S□=a∙b.

72. Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину.

73. Периметр квадрата P□=4а, где а - сторона квадрата.

74. Площадь квадрата S□= а2, где а - сторона квадрата.

Окружность.

75. Окружность - это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки, называемой центром окружности.

Окружность с центром в точке О.

АО - радиус окружности.

АВ - диаметр окружности.

CD - хорда.

76. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называют радиусом и обозначают латинскими буквами R или r.

77. Хорда - это отрезок, концы которого лежат на окружности.

78. Диаметр - это хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр обозначают латинскими буквами D или d.

79. Диаметр равен двум радиусам. D=2R или d=2r.

Число π.

80. Если длину любой окружности разделить на длину диаметра этой же окружности, то всегда получается число, приблизительно равное 3,14. Это число обозначают буквой π.

Длина окружности.

81. Длина окружности С=πD, где D - диаметр окружности или C=2πR, где R - радиус окружности.