Конспекты факультативных занятий по теме Логарифмы

Факультативное занятие №1

Предмет Математика.

Класс 11

Цели урока:

• Образовательные: отработать основные умения для решения логарифмических уравнений, неравенств; повторить основные свойства логарифмов.

• Развивающая: развивать логическое мышление, память.

• Воспитательная: повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Диагностическая работа.

4. Домашнее задание.

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.2.Актуализация знаний

(5 минут)

Такая задача в ЕГЭ раньше имела номер С3, теперь - №15. Типовой пример (из демоверсии 2016) выглядит так:

Для начала напишем проверочную работу, которая включает в себя 6 заданий, запишите на листочке фамилию, имя и свой вариант. Итак, приступаем к выполнению контрольной работы.

3.Диагностическая работа (35 минут)

Входная контрольная работа

Вариант №1

1. Между какими последовательными целыми числами располагается число?

2. Найти значение выражения:

3. Сравнить величины:

4. Напишите О.Д.З (область допустимых значений) для уравнения: log₃(х²-3) = log₃(2х)

5. Решить неравенство:

6. Какую вспомогательную переменную нужно ввести в ходе решения неравенства?

Контрольная работа

Вариант №2

1. Между какими последовательными целыми числами располагается число?

2. Найти значение выражения:

3. Сравнить величины:

4. Напишите О.Д.З (область допустимых значений) для уравнения: Log₂(х²-5) = log₂(4х)

5. Решить неравенство:

6. Какую вспомогательную переменную нужно ввести в ходе решения неравенства?

Итак, ребята, время вышла, подписываем и сдаем листочки с контрольной работой.

Выполняют контрольную работу, сдают листочки.

4. Домашнее задание (5 минут)

Вычислить

Вычислить

Вычислить

Берут карточку с индивидуальным домашним заданием.

Факультативное занятие №2

Предмет Математика.

Класс 11.

Цели урока:

• Образовательные: повторить основные свойства логарифмов; отработать основные умения для решения логарифмических уравнений, неравенств.

• Развивающая: развивать логическое мышление, память.

• Воспитательная: повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4. Закрепление изученного материала.

Оборудование: доска, мел, учебник, наглядные пособия.

Педагогическая технология: кооперативное обучение.2.Проверка выполнения домашнего задания

(2 минуты)

Подпишите и сдайте листочки с домашним примером.

Проверяют домашнее задание. Выставляют себе оценки.

3.Актуализация знаний

(20 минут)

Напомню, откуда появились

логарифмы. Например, решая уравнение 3^х=9, сразу находим ответ х=2, потому что помним наизусть, что 3²=9. Но если нам дадут уравнение 3^х=11, ответ «не угадывается». Понимаем, что х должен быть чуть больше двух, но уже число - не целое. Тогда его записывают в виде: (логарифм по основанию 3 от числа 11). Он означает степень, в которую нужно возвести число 3, чтобы получилось число 11.

«Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a) называют число Логарифм положительного числа b по основанию a (a) обозначают так: ». Так же важно помнить, что есть положительное число для любого (положительного, отрицательного или нуля). Из этого можно сделать вывод, что логарифм отрицательного числа, а так же логарифм нуля не существует (не имеет смысла), .

Пример:

В качестве основания логарифма будем рассматривать только a >0. В общем виде запись имеет смысл, когда a и b >0.

Ребята, объясните, почему?

- какие основные свойства логарифмов вы помните?

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМА

(полагая везде числа а, b, с положительными, причем a≠1)

Основное логарифмическое тождество

Логарифм произведения - это сумма логарифмов

Логарифм частного - это разность логарифмов

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа

Показатель степени основания логарифма

, в частности если m = n, мы получаем формулу:, например:

Переход к новому основанию

, частности, если c = b, то , и тогда:

Решают примеры у доски и самостоятельно.

Рассказывают правило.

4.Закрепление изученного материала

(15 минут)

А сейчас разберем с вами первый пример, из контрольной работы:

Пример. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число .

Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то <<; 2<<3.

Ответ: 2<<3

А сейчас разберем у доски примеры из контрольной работы:

Пример:

Пример:

Выполняют самостоятельную работу, сдают тетради.

Факультативное занятие №3

Предмет Математика.

Класс 11.

Цели урока:

• Образовательные: вспомнить и отработать навыки сравнения логарифмов; вспомнить что такое О.Д.З; как найти О.Д.З. для логарифмического уравнения, неравенства.

• Развивающая: развивать логическое мышление, память.

• Воспитательная: повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Закрепление изученного материала.

4. Домашнее задание.

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.3.Актуализация знаний

(10 минут)

Для начала давайте вспомним:

Что такое логарифм? (отвечают)

Повторим основные свойства: на листочках я вам раздала свойства логарифмов вам их необходимо расписать:

1) Переход к новому основанию c:

=

3)Переход к новому основанию b:

Подписываем и сдаем листочки. И продолжаем выполнение упражнений.

1 задание: Между какими последовательными целыми числами располагается число: ;. Это задание понятно как выполнять?

Вспоминают, что такое логарифм. Решают небольшую проверочную.

4.Закрепление изученного материала

(40 минут)

Хорошо, тогда переходим к номеру №3, здесь необходимо было сравнить величины.

1. и ( )

2. и ( > )

3. и ( > )

Решение: =

3 =

, значит .

Значит,.

Данным способом можно сравнивать не все логарифмы. Рассмотрим следующий пример. Основания разные, логарифмируемые числа разные. Так же, как и при сравнении иррациональных чисел, применяется метод «оценки» или сравнение с каким-нибудь «хорошим» числом.

Пример: Сравнить и

<0, а >0, значит, <.

Пример: сравнить

и >1

Значит:

Пример: Сравнить

Решение: и

, значит

, следовательно,

.

( Дать каждому домашнюю работу на сравнение).

Рассмотрим следующий пример№4 из контрольной работы.

Необходимо написать ОДЗ для логарифмического уравнения. Для начала вспомним, что такое ОДЗ? (Область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл).

Область допустимых значений логарифма (ОДЗ логарифма):

состоит из трёх условий:

1) Под знаком логарифма должно стоять положительное число:

2-3) В основании логарифма должно стоять положительное число, отличное от единицы:

Все три условия должны быть выполнены одновременно.

Таким образом, чтобы найти ОДЗ логарифма

надо решить систему из трёх неравенств:

Если в основании логарифма стоит число:

ОДЗ логарифма содержит всего одно условие:

Если под знаком логарифма стоит число, а в основании - выражение с переменной:

то в область допустимых значений нужно записать два условия:

Примеры нахождения ОДЗ логарифма рассмотрим отдельно.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Находим ОДЗ:

Решение системы:

Преобразуем уравнение к виду

Получили уравнение I типа, которое решается по определению логарифма:

Откуда

Из полученных значений корень Х = 4 не подходит по ОДЗ.

Получаем ответ: Х = 6.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:

Заданное уравнение относится к I типу. Получаем:

Снова используем определение логарифма:

т. е. откуда

Полученные корни проверяем подстановкой в условия, определяющие ОДЗ уравнения. Убеждаемся, что корень подходит, а корень не подходит по ОДЗ.

Получаем ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:

Данное уравнение относится ко II типу, т. е. решается по свойству равенства логарифмов. Получаем:

т. е.

Раскладываем левую часть на множители:

откуда получаем

Подставляем найденные значения в ОДЗ, находим, что уравнение имеет только один корень Х = 3.

В ответе имеем: Х = 3.

А теперь рассмотрим примеры:

1) log2(х2+5х-6) = log2(4х);

2) log₃(х²-3) = log₃(2х);

3) log₃(х²-3) = log₃(2х+5).

Сейчас проведем небольшую самостоятельную работу:

1. Между какими последовательными целыми числами располагается число:

2. Сравнить величины:

3. Напишите О.Д.З (область допустимых значений) для уравнения:

Слушают учителя, выполняют задания, самостоятельную работу, сдают листочки.

5.Домашнее задание (3 минуты)

Написать ОДЗ и решить уравнение:

.

Написать ОДЗ и решить уравнение:

log₃x + log₃(x + 3) = log₃(x + 24).

Написать ОДЗ и решить уравнение:

2log₃(x - 2) + log₃(x - 4)² = 0.

Получают карточку с домашним заданием.

Факультативное занятие №4

Предмет Математика.

Класс 11

Цели урока:

• Образовательные: отработать основные умения для решения логарифмических уравнений, неравенств; повторить метод интервалов для решения логарифмических уравнений и неравенств.

• Развивающая: развивать логическое мышление, память.

• Воспитательная: повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4. Закрепление изученного материала.

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.2.Актуализация знаний

(5 минут)

Как и всегда, в начале занятия мы проведем небольшую самостоятельную работу:

1)

2)Вычислить: =

3) Вычислить:

Время вышло, подпишите и сдавайте листочек.

Выполняют проверочную работу.

3.Закрепление изученного материала (40 минут)

На прошлом занятии мы разбирали примеры на сравнение логарифмов, на отыскание О.Д.З, сегодня мы должны разобрать остальные два задания. Это решение неравенства методом интервалов, и введение вспомогательной переменной.

Метод интервалов - это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x) > 0 и f (x) < 0.

Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Решить уравнение f (x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;

2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;

3. Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;

4. Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Задача. Решите неравенство:

(x - 2)(x + 7) < 0

Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x - 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x - 2 = 0 ⇒ x = 2;

x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:

f (x) = (x - 2)(x + 7);

x = 3;

f (3) = (3 - 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Получаем, что f(3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту - надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x - 2)(x + 7) < 0

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Задача 2. Решите неравенство:

(x + 9)(x - 3)(1 - x) < 0.

Задача 3. Решите неравенство:

x(2x + 8)(x - 3) > 0.

Задача 4. Решить неравенство:

Задача 5. Решить неравенство:

А теперь разберем примеры из контрольной работы (рассматриваем два примера из контрольной работы).

Итак, хорошо, переходим к заданию №6. Здесь необходимо было ввести вспомогательную переменную, для более легкого, простого решения логарифмического уравнения, неравенства.

В общем виде решение стандартного логарифмического уравнения, сводящегося к квадратному, можно изобразить так:

ОДЗ: f(x)>0 (в стандартных уравнениях проблем с посторонними практически корнями не возникает).

Пусть

тогда переходим к уравнению

Если квадратное уравнение имеет два корня t1 и t2, то, возвращаясь к исходной переменной, получаем два простейший логарифмических уравнения</:

Примеры.

Сейчас мы рассмотрим примеры из контрольной работы, а затем разберем несколько задач на метод введения вспомогательной переменной, которые встречались в ЕГЭ в 2014-2015 годах.

(Разбираем примеры из ЕГЭ на данный метод).

Хорошо, мы рассмотрели все примеры из контрольной работы, на следующем занятии будем разбирать конкретные случаи, которые встречаются в ЕГЭ.

И как обычно, завершить наше занятие я предлагаю небольшой самостоятельной работой.

Самостоятельная работа:

1. Решить неравенство:

2. Решить неравенство:

(х + 3)²(х + 1)(х - 2)

3. Ввести вспомагательную переменную:

Lg² x - Lg x - 2 >0.

Подписываем и сдаем листочки с самостоятельной работой. На следующем занятии мы с вами начнем разбирать примеры из ЕГЭ.

До свидания!

Слушают учителя, решают примеры, выполняют самостоятельную работу.

Факультативное занятие №5

Предмет Математика.

Класс 11

Цели урока:

• Образовательные: применить отработанные навыки и умения при решении примеров из ЕГЭ.

• Развивающая: развивать логическое мышление, память.

• Воспитательная: повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Закрепление изученного материала.

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.2.Актуализация знаний

(15минут)

На прошлом занятии мы с вами рассмотрели все оставшиеся номера из контрольной работы и сейчас закрепим метод интервалов, метод замены переменной, а так же основные свойства логарифмов.

1. =

2.

3.

4. Решить неравенство: (x - 1)(x - 2)(x² + x + 1) < 0

5. Какую вспомогательную переменную необходимо ввести в ходе решения уравнения?

Выполняют проверочную работу.

3.Закрепление изученного материала (35 минут)

Подписываем и сдаем листочки.

Основные умения мы с вами отработали,, теперь переходим непосредственно к решению примеров из ЕГЭ.

Пример 1:

О.Д.З.

x>0

Решение: пусть t=lg x, получаем

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

И последний пример, который мы сегодня с вами разберем, будет и демонстрационного варианта 2016:

До свидания!

Слушают учителя, решают примеры.