Применение геометрических методов при решении текстовых задач

Применение геометрических методов при решении текстовых задач

1. Две старушки вышли одновременно на­встречу друг другу из двух городов. Они встре­тились в полдень и достигли чужого города - первая в 4 ч пополудни, а вторая в 9 ч. Узнать, когда они вышли из своих городов.

Если учащиеся не найдут ни одного спосо­ба решения этой задачи, то можно предло­жить им решить подготовительную задачу 2.

2. Две старушки вышли одновременно навстре­чу друг другу из двух городов. Скорость первой старушки в 2раза больше скорости второй. Во сколько раз больше времени после встречи бу­дет в пути вторая старушка, чем первая?

Учащиеся должны сообразить, что после встречи вторая старушка пройдет путь в 2 раза больший, чем первая, но со скоростью в 2 раза меньшей, поэтому будет в пути в 4 раза дольше, чем первая. Учащиеся, которым уда­ется решить эту задачу, часто вводят избы­точные переменные и действуют так, как показано в I способе решения.

I способ: Обозначим через V₁ и S₁ , V₂ и S₂ соответственно скорости и расстояния, прой­денные старушками до встречи, и соста­вим систему:

Итак, до встречи старушки шли 6 ч, тогда выходит, что из своих городов они отправи­лись в 6 ч утра.

Рассмотрим теперь решение, основанное на обратной пропорциональной зависимос­ти между скоростью и временем движения на фиксированном участке пути.

II способ. Пусть скорость первой ста­рушки в п раз больше скорости второй старушки. Тогда на одном и том же участке пути первая тратит в п раз меньше времени, чем вторая, а вторая - в п раз больше, чем первая (рис. 1).

Решив его, получим ;x=6 и тот же ответ.

Воспользуемся теперь так называемым методом подобия. Он описан в статье Б. Кордемского «Графики в задачах на рав­номерные процессы» (Квант, 1971, № 11). Здесь мы увидим интересную межпредмет­ную связь алгебры, физики и геометрии.

IV с п о с о б: Будем, как и прежде, считать, что старушки шли до встречи х ч. Пусть точ­ка А изображает город, из которого отправи­лась I старушка, а точка С - город, из кото­рого пошла II старушка (рис. 2). Тогда длина отрезка СА - это расстояние между города­ми. Поскольку старушки двигались с посто­янными скоростями, можно считать, что от­резки АВ и СВ - графики движения I и II старушек соответственно. Тогда координаты точки N - это время и место их встречи.

Если первая задача была решена под ру­ководством учителя, то для самостоятельно­го решения учащимся можно предложить похожую задачу. Пусть они найдут несколь­ко способов ее решения.

3. Два брата вскапывали грядки - каждый свою и со своей постоянной скоростью. Они очень удивились, когда обнаружили, что за­тратили на работу одинаковое время. Вот если бы они с самого начала поменялись гряд­ками и работали каждый со своей скоростью, то старший закончил бы работу за 32 мин, а младший - за 50 мин. За сколько минут братья вскопали грядки?

Эта задача аналогична задаче про ста­рушек, ведь можно считать, что братья начали и закончили работу одновременно. Конечно же, они не переделывали работу друг друга (как старушки проходили пройденный друг другом путь), но в соответствии с условиями задачи можно рассмотреть два случая первый произошел на самом деле (рис. 3, а), а второй мог бы произойти (рис. 3, б).

Задача 1. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались по шоссе в одну сторону каждый со сво­ей постоянной скоростью. В момент, когда пеше­ход и велосипедист находились в одной точке, мо­тоциклист отставал от них на 6 км. Когда мото­циклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на Зкм. На сколько километров велосипе­дист обогнал пешехода в тот момент, когда пеше­хода настиг мотоциклист?

Решение. Установим сначала условные обо­значения. Пешехода будем обозначать через П, ве­лосипедиста через В, мотоциклиста через М. Точ­ки, в которых находится каждый рассмотренный объект, обозначим одноименными буквами с ин­дексами. Выберем теперь систему координат и в ней создадим графическую модель (рис. 2) трех ситуа­ций условия задачи:

1) пешеход и велосипедист находятся в одной точке П₁ (В₁), мотоциклист отстает от них на 6 км (точка М₁ на оси s);

2) мотоциклист поравнялся с пешеходом в точке П₂ (М₂), велосипедист впереди них на х км (в точке В₂);

3) мотоциклист догнал велосипедиста (они по­равнялись в точке В₃ (М₃), а пешеход отстал от них на 3 км (он находится в точке П₃).

Скорости пешехода, велосипедиста и мотоцик­листа - постоянные, потому графики их движений прямые линии. Угловой коэффициент графика дви­жения пешехода (т. е. тангенс угла наклона прямой П1,П₃ к оси t) меньше углового коэффициента графика движения велосипедиста, который, в свою очередь, меньше углового коэффициента графика движения мотоциклиста. Графики пересекаются в точках, соответствующих трем данным в условии

ситуациям.

Из подобия треугольников М₁П₁М₃ и П₂В₂М₃, а также треугольников П₃П₁В₃ и П₂П₁B₂ составляем пропорции:

₁M₃₂M₃ и П₁M₃ / П₁B₂.

Из них ясно, что П₁,В₂ больше В₂М₃ в 2 раза , отсюда получается, что П₁М₃ больше B₂М₃ в 3 раза, а П₁M₃ / П₁B₂.= ,значит, х = 2.

Ответ: в тот момент, когда пешехода нагнал мотоциклист, велоси­педист обогнал их на 2 км.

Задача 2. Велосипедист отправляется из А в В и после 15-минутного отдыха в пункте В возвра­щается в пункт А. На пути из А в В велосипедист догоняет в 11 часов пешехода, который движется из А в В со скоростью, в 4 раза меньшей, чем у велосипедиста. В 12 часов происходит вторая встреча пешехода и велосипедиста. Определить время отправления велосипедиста из пункта А, если известно, что велосипедист возвращается в пункт А одновременно с прибытием пешехода в пункт В.

Решение. Вновь выберем систему координат и в ней составим графическую модель ситуаций это­го сложного движения (рис. 3).

Точками B₁ В₂, B₃, лежащими на одной пря­мой, которая пересекает ось S под прямым углом,

обозначим моменты времени, когда пешеход нахо­дился в пункте В. Направленный отрезок AB₃ -график движения пешехода. Поскольку скорость пешехода неизвестна, то ее можно принять за х, а прямую АВ₃, изображать так, чтобы ее угловой коэффициент был равен 1.

Момент старта велосипедиста обозначим через А₁ а момент окончательного финиша через А₂, поскольку и старт, и окончательный финиш про­изошли в пункте А. Тогда время прибытия в пункт В и отправления из него обозначим через В₁ и В₂ .Ясно, что эти точки лежат на прямой, которая про­ходит через точку В параллельно оси времени. Ломаная А₁В₁В₂А₂ - график движения велосипеди­ста, который в течение 15 мин находился в пункте В. Угловой коэффициент прямой А₁В₁ равен 4, так как скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Угловой коэффициент прямой В₂А₂ равен -4, так как он двигался также быстро, как и раньше, но в обратном направлении. При дви­жении из пункта А в пункт В и из пункта В в пункт А пути пешехода и велосипедиста дважды пересека­лись, т.е. объекты находились на одном и том же расстоянии, скажем, от А. На рис. 3 эти точки отме­чены на оси перемещений буквами С и D.

С 11 до 12 часов, т.е. за 1 час, пешеход со сво­ей скоростью х км/ч прошел отрезок СD, равный х км. А велосипедист был в пути на 15 мин меньше,

т.е. он двигался - ч. со скоростью 4х км/ч.При этом велосипедист проехал путь, который складывается из отрезков: СD + DВ + ВD = 4х * = 3х (км).

Но DB = ВD и СD = х (км), поэтому DВ, как и СD, равен х (км), и на этот путь пешеход затра­тил 1 час. Это значит, его путешествие закончи­лось в пункте В в 13 часов. А велосипедист из пункта В в пункт D попал через 15 мин. По условию он прибыл в пункт А из пункта В одно­временно с пешеходом, в 13 часов, т.е. за час. Это, в свою очередь, означает: на обратный путь из В в А (график этого движения представлен вектором В₂А₂ на рис. 3) он затратил 1 ч 15 мин. На про­тяжении всего пути скорость велосипедиста оста­валась неизменной, поэтому на путь из А в В (вектор А_[В₁ на рис. 3) он потратил те же 1 час и 15 мин, да еще 15 мин отдыха в пункте В (длина отрезка B₁B₂ на рис. 3). Значит, велосипе­дист начал свое путешествие из пункта A в 10ч 15 мин (13ч - 1ч 15мин - 1ч 15 мин - 15м ин = 10 ч 15 мин).

Ответ: велосипедист отправился

из пункта А в 10 ч 15 мин.

Итак, выбирая указанным образом систему ко­ординат, отражая в ней правильно отношение меж­ду скоростями движущихся точек и моделируя гра­фически данные в задаче ситуации (встречи, изме­нение направления движения), можно просто, без громоздких уравнений и их систем решать нелег­кие задачи на движение с явной пользой для раз­вития умения рассуждать.