Открытый урок математики в 5 классе (на городском семинаре заместителей директоров по УВР по теме «Здоровьесберегающие технологии – основа современного урока»)

Открытый урок

математики в 5 классе

(на городском семинаре заместителей директоров по УВР

по теме

«Здоровьесберегающие технологии - основа современного урока»)

Провела: Карташева А.А.

учитель первой категории

г. Новомосковск

17 ноября 2010г.

Тема: Комбинаторные задачи.

Цель: 1. Сформировать понятие об комбинаторных задачах,

сформировать навык решения простейших комбинаторных задач.

2. Развивать логическое мышление, познавательный интерес,

нестандартность мышления.

3. Воспитывать интерес к предмету, культуру здоровьесбережения.

Оборудование: наборы монет достоинством 5 коп. и 10 коп. на каждую парту, макет расписания, таблички с названиями предметов, 3 коробки, 3 шарика- белый, синий, красный, таблица «Этапы решения комбинаторных задач», тексты задач, таблички с краткой записью задач.

Ход урока:

I. Организационный момент:

Зачитывается эпиграф «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».

Педагог-математик Д. Пойа.

II. Активизация мыслительной деятельности учащихся:

На доске демонстрируется задача: Сколько трехзначных чисел можно составить с помощью цифр 1,2,3 так, чтобы одна цифра встречалась в каждом числе не более одного раза?

Решение: 123,132,231,213,312,321.

Ответ: 6 чисел.

Сверяем ответ.

-В чем особенность этой задачи?

- Как вы составляли числа? (комбинировали цифры).

При решении каждой задачи ставится один и тот же вопрос: как организовать перебор вариантов, чтобы не пропустить ни один из них и избежать повтора?

Один способов перебора вариантов - это построения дерева возможных вариантов.

Составим дерево вариантов для данной задачи:

1 цифра 1 2 3

2 цифра 2 3 1 3 1 2

3 цифра 3 2 3 1 2 1

Числа 123, 132, 213, 231, 312, 321.

III. Объяснение нового материала:

- На практике часто приходится решать задачи, в которых из некоторого числа объектов приходится выбирать те, которые обладают тем или иным свойством, располагать объекты в определенном порядке. Например, мастеру приходится распределять различные виды работ между рабочими, агроному - размещать сельскохозяйственные культуры на полях, офицеру - выбирать из солдат взвода наряд и т.д.

- Ребята, приведите свои примеры жизненных ситуаций, в которых человеку приходится выбирать, комбинировать, распределять объекты.

- Все эти задачи можно назвать комбинаторными. Проанализировав все сказанное, давайте попробуем дать определение комбинаторным задачам.

(Дети дают свои определения)

- А теперь давайте посмотрим, какое научное определение дается комбинаторным задачам.

(Таблица «Определение комбинаторной задачи»)

- Раздел математики, в котором изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

- Существует 2 этапа решения комбинаторных задач:

1. Отыскание хотя бы 1 решения;

2. Если задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете числа решений, описании всех решений.

Пример: Сколькими способами можно представить число 10 в виде суммы четырех нечетных цифр?

- Вспомним нечетные цифры: 1,3,5,7,9.

1. Найдем одно решение 10 = 1+1+3+5.

2. Найдем остальные решения 10= 7+1+1+1, 10 = 3+3+3+1

Ответ: 3 способа.

Физкультминутка.

А теперь ребята, встали!

Быстро руки вверх подняли,

В стороны, вперед, назад,

Повернулись вправо, влево,

Тихо сели, вновь за дело.

IV. Закрепление:

Задача: У кассира имеются монеты в 5 коп и 10 коп. Сколькими способами он может сдать сдачи 50 коп?

(Каждому ребенку даются монеты, на доске записываются различные способы решения, проверяем, могут ли быть другие способы решения.)

Ответ: 6 способов.

Задача: Поиграем в завучей.

При составлении расписания уроков на вторник трое учителей высказали пожелания, чтобы их уроки были:

По математике - 1 или 2;

По истории - 1 или 3;

По литературе - 2 или 3.

Сколькими способами и как можно составить расписание, чтобы удовлетворить пожелания всех учителей?

(На магнитной доске сетка расписания и таблички с названиями предметов. Дети заполняют сетку расписания)

Ответ: 1. Математика 1. История

2. Литература 2. Математика

3. История 3. Литература

Гимнастика для глаз:

Рисуй глазами треугольник.

Теперь его переверни

Вершиной вниз.

И вновь глазами

Ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально.

Ты головою не крути,

А лишь глазами осторожно

Ты вдоль по линиям води.

Задача: В трех ящиках лежат по одному шарику: белый, красный и синий. На первом ящике надпись «Белый», на втором - «Красный», а на третьем «Белый или синий», но, ни одна надпись не соответствует действительности. Где, какие шарики?

Ответ: 3 - красный,

2 - Белый

1 - синий.

(Решив задачу, открываем ящики и проверяем)

V. Домашнее задание:

Учащиеся получают карточки с двумя задачами и предложением составить самим комбинаторную задачу.

1. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую цифру только один раз?

2. В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

Указание: Перебирая варианты введите обозначения: Р - русский язык,

М - математика, Ф - физкультура.

3. Составить свою комбинаторную задачу.

VI. Подведение итогов:

1. Какие задачи мы сегодня решали?

2. Какие задачи называются комбинаторными?

3. В каких жизненных ситуациях человеку приходится решать комбинаторные задачи?

VII. Историческая справка.

(сообщение учащегося при наличии времени)

Историческая справка

Комбинаторика возникла в XVII веке. С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшее, люди столкнулись ещё с доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положении охотников во время охоты, воинов - во время битвы, инструментов - во время работы. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции изучали фигуры, которые можно составить из частей квадрата.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Со временем появились различные игры: нарды, шахматы, шашки, карты. В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Но не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышления математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других стран пытались эти шифры разгадать. Позднее стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах.

Изучением комбинаторных задач занимались французские математики Б. Паскаль и П. Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, он же впервые ввел термин «комбинаторный». Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л. Эйлеру.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например, конструктору, который разрабатывает новую модель механизма, ученому-агроному, который планирует распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, который изучает строение молекул.

Теперь комбинаторика находит приложение во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков, в химии, механике сложных сооружений и в других областях науки и техники.

Комбинаторные методы применяются в статистике, математическом программировании, вычислительной математике.