Практическая работа Векторы, действия над ними

Практическая работа

Тема «Векторы, действия над векторами»

Цель: овладеть навыками использования правил действий над векторами в векторной и координатной формах.

Теоретическая часть

Любой направленный отрезок прямой называется вектором.

Вектор, заданный парой несовпадающих точек А и В, обозначается , причем в этой записи А-начало вектора, В-его конец.

Векторы могут быть записаны с помощью строчных букв: …

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Например, является нулевым вектором.

Длиной вектора называется длина порождающего его отрезка, обозначается, говорят «модуль вектора». Длина нулевого вектора

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Так, на рис.1 коллинеарными являются следующие векторы: Среди коллинеарных векторов есть такие, у которых направления совпадают. Эти векторы называются сонаправленными и пишут (см. рис.1).

Если направления векторов противоположно направлены, то их и называют противоположно направленными и пишут (см. рис.1)

Два коллинеарных вектора называют равными, если они сонаправлены и имеют равные длины; другими словами, На рис.2

Действия над векторами

1. Суммой векторов называется такой вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с - с концом вектора , при условии, что начало вектора перенесено в конец вектора (правило треугольника). На рис.3 На рис .4 (правило параллелограмма). Существует правило многоугольника.

Свойства суммы векторов:

• (переместительное свойство)

• +() (сочетательное свойство)

2. Разностью векторов называют сумму вектора Векторы называются противоположными. На рис.3

3. Произведением вектора на вещественное число k называется вектор , который имеет длину, равную , и коллинеарен При этом если k.

На рис.3 .

Декартова система координат

Если задана прямоугольная система координат ХОУ, на осях ОХ и ОУ взяты единичные векторы соответственно, то справедливо равенство (см. рис.5).Докажите самостоятельно.

Числа x и y называются координатами вектора . На рис.5 .Объясните почему.

Если вектор не проходит через начало координат (рис.6), то , т.е. для нахождения координат вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Пример1. Даны точки А (3;2), В(-1;5), С(0;3). Найти координаты векторов .

Решение:

Действия над векторами, заданными своими координатами

Если векторы заданы в декартовой системе координат своими координатами, то:

1. при сложении двух и более числа векторов их одноименные координаты складываются, т.е. если .

2. при вычитании векторов их одноименные координаты вычитаются, т.е. если

3. при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число, т.е. если

Пример2. Даны векторы Найти а)

Решение. Согласно приведенным правилам, получим:

а)б)

в)0,4г)-1/3

Ответ:

Длина вектора, расстояние между двумя точками на плоскости

Длина вектора, выходящего из начала координат (см. рис.5), равна квадратному корню из суммы квадратов его координат, т.е.

(1)

Если вектор задан двумя точками (2) По этой формуле можно найти расстояние между двумя точками, с заданными координатами (объясните почему).

Пример3. Найти длину вектораесли А (5; 2), В (8;-2).

Решение. Применяя формулу (2), получим

Ответ:

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

(3)

Если векторы заданы своими координатами , то скалярное произведение находят так:

(4)

Пример 4 В равностороннем треугольнике АВС со стороной, равной 4, найти скалярное произведение векторов

Решение: так как углы в равностороннем треугольнике по 60⁰, то, используя формулу (3), получим

Ответ: 8.

Используя формулы (1), (3), (4),можно вывести формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

(5)

Пример 5 Найти угол А в треугольнике АВС, если А(6;7), В(3;3), С(1;-5).

Решение: Определим координаты векторов . Вычислим косинус угла между векторами по формуле (5):

соs

Задания для самостоятельного решения

1.Найти координаты векторов , если

2. Найти координаты векторов если

3. Даны точки А(3;-1);В(0;-5);С(-2;1). Найти:

4. Даны точки А(4;0), В(-1;3),C(5;7). Найти:.

5. Дан треугольник с вершинами F(7;7),D(4;3),C(3;4).Найти его периметр.

6. Дан треугольник АВС, А(-4;1), В(-2;4), С(0;1).Доказать, что данный треугольник

равнобедренный.

7. Диагонали квадрата АВСД пересекаются в точке О. Найди угол между векторами:

а)

8. Диагонали ромба АВСД пересекаются в точке О, и диагональ ВД равна стороне

ромба. Найди угол между векторами:

а)

9. Вычислите скалярное произведение векторов и определить вид угла между данными векторами.

10. Вычислите скалярное произведение векторов и определить вид угла, образованного между векторами .

11. Найти угол между векторами

12. Найти угол между векторами , если R(0;3), O(6;-1), L(5;0), P(9;4).

Контрольные вопросы

1. Что называется координатами вектора?

2. Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?

3. Как умножить вектор, заданный своими координатами, на число?

4. Завершить равенство …

5. Чему равно скалярное произведение векторов

Рекомендуемая литература

1. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов.-М.: Высш. шк.,1991.

2. В.Е.Гмурман. Теори вероятностей и математической статистики.1998.

3. И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул. Математика для техникумов.- М.: Наука,1990