Практическая работа№ 1

. «Построение сечение многогранников. Метод следов»

Теоретический опрос.

1.Что такое многогранник?

Многогранник-это тело, граница которого состоит из многоугольников

2. Какой многогранник называют выпуклым?

Многогранник называется выпуклым, если все его диагонали расположены внутри него.

3. Как называется многогранник, две грани которого равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, остальные грани параллельными, плоскости которых параллельны прямой?

Призма.

4. Назовите три метода построения сечений многогранников; которые наиболее эффективны и доступны в практике преподавания геометрии в средней школе.

Метод следов, метод вспомогательных сечений, комбинированный метод.

5. Как называется многогранник, у которого одна грань- это произвольный многоугольник. А остальные грани треугольники с общей вершиной?

Пирамида.

6. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

Когда у него все шесть граней прямоугольники.

7. Каким соотношением связаны диагональ прямоугольного параллелепипеда и его рёбра?

Система устных упражнений по теме:

Цели:

1. Проверить степень усвоения пройденного материала;

2. Развить культуру речи;

3. Совершенствовать навыки решения задач по данной теме.

№1. Построить точку пересечения заданной прямой АВ с основной плоскостью.

Решение:

Пусть A₁, В₁ - основания точек А и В. В случае внутреннего параллельного проектиро­вания AA₁\\BB₁ в случае центрального АА₁ и ВВ₁ пересекаются в центре проектирования S. A₁ В₁ принадлежат плоскости а. Точка X - пе­ресечение АВ и А₁В_] будет точкой пересечения прямой АВ с плоскостью а. Если АВ\\А₁В₁ , то АВ\\а

а) Параллельное проектирование S б) Центральное проектирование

№2. Плоскость задана тремя точка­ми Р, Q, R. Построить линию пересечения ее с основной плоскостью, то есть след плоскости PQR.

Решение:

Задача сводится к предыдущей. Находит­ся точка пересечения прямой PQ с плоскостью а - точка X; точка пересечения прямой PR с плоскостью а - точка Y; тогда XY - след плос­кости Р.

а) параллельное проектирование S б) центральное проектирование

Самостоятельная работа.

Цели:

1. Проверить степень усвоения пройденного материала;

2. Развить логическое мышление;

3. Совершенствовать навыки решения задач по данной теме.

1 вариант

Построить сечение куба DKEFD₁K₁E₁F₁ плоско­стью, проходящей через точки А, В, и С, данные на ребрах K₁E₁, KE и D₁K₁.

2 вариант

Построить сечение четырех­угольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через три точки К, L, М, данные на ребрах SA, SB, SC пирамиды.

Литература:

В. А. Далингер, «Стереометрические задачи на построение»

Контрольная работа

1 вариант

1. Построить сечение шестиугольной призмы плоскостью, заданной точками M, N и P на боковых гранях.

2. Построить сечение пятиугольной пирамиды, если плоскость проходит через т. M, принадлежащую боковому ребру, т. N, принадлежащую одной из граней пирамиды и т. P, лежащую на продолжении бокового ребра.

2 вариант

1. Построить сечение шестиугольной пирамиды плоскостью, заданной точками M, N и P на боковых не соседних гранях.

2. Построить сечение параллелепипеда, если плоскость проходит через т. M и N на боковых рёбрах и т. P на плоскости боковой грани, но не принадлежащей этой грани.

3 вариант

1. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, заданной точками M, N и P на боковых не соседних рёбрах.

2. Построить сечение шестиугольной пирамиды, если плоскость проходит через т. M и N на двух различных боковых гранях и т. P на продолжении бокового ребра.

Математический диктант.

1. Что такое «произвольное параллельное проектирование»?

Любой плоский четырёхугольник ABCD вместе с его диагоналями может быть принят за параллельную проекцию тетраэдра, подобный тетраэдру A₀B₀C₀D₀ произвольной формы.

2. Какими свойствами должны обладать требования к построению сечений многогранников?

Верное изображение, наглядное.

3. Что называется оригиналом фигуры?

Считается любая фигура Ф подобная Ф₀.

4. Как по-другому мы можем назвать параллельное проектирование?

Внутреннее вспомогательное.

5. Неполное изображение - это …?

Иллюстративные чертежи.

6. Перечислите основные построения?

Построения плоскости, проходящей через 3 точки; построение линии пересечения 2-х плоскостей; известные построения на плоскости.

7. Три метода построений сечения многогранников?

Метод следов, метод вспомогательных сечений, комбинированный метод.

8. Как по-другому называется метод вспомогательных сечений?

Внутреннее проектирование.

9. Как по-другому называется комбинированный метод?

Ортогональная проекция.

ЕГЭ

Дан куб ABCDA´B´C´D´, где АА´, ВВ´, СС´, DD´ - боковые ребра. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через вершину А и середины ребер В´С´ и С´D´

Решение:

1. KL∩A´B´=F

KL∩D´C´=E

2. AE∩DD´=N

3. AF∩BB´=M

4. NKLMA - искомое сечение

Исторический экскурс

Построения сечения многогранников

Наиболее доступными и эффективными в практике преподава­ния геометрии в средней школе являются следующие три метода построения сечений многогранников:

1. Метод следов.

2. Метод вспомогательных сечений.

3. Комбинированный метод.

Метод следов.

В общем случае секущая плоскость пересекает плоскость каж­дой грани многогранника и каждую из прямых, на которых лежат ребра многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содер­жащую какое-нибудь ребро, называют следом секущей плоскости на этой прямой. Если секущая плоскость пересекает непосред­ственно грань многогранника, то можно также говорить о следе секущей плоскости на грани и аналогично говорить о следе на ребре.

След секущей плоскости на плоскости нижнего основания ус­ловимся ради краткости речи называть просто следом секущей плоскости. С построения именно этого следа чаще всего начинают построение сечения многогранника.

Способы задания сечения весьма разнообразны. Наиболее рас­пространенным из них является способ задания секущей плос­кости тремя точками, не лежащими на одной прямой.

В тех случаях, когда сечение строится с помощью следа на плоскости нижнего основания, задавая три точки, принадлежащие непосредственно секущей плоскости, следует указать их таким об­разом, чтобы проекции этих точек на плоскость нижнего основа­ния (вторичные проекции) строились однозначно. Сделать это можно, например, если указать, на каком ребре лежит задан­ная точка или в какой грани и т. д.

При этом если многогранником, сечение которого строится, является призма, то проектирование (внутреннее) на, плоскость нижнего основания выполняется параллельное. Его направление определяется боковым ребром призмы. Если же многогранником является пирамида, то выполняется центральное (внутреннее) проектирование на плоскость основания. Центром проектирования является вершина пирамиды, в которой сходятся все боковые ребра.

Метод вспомогательных сечений.

Этот метод в достаточной мере является универсальным и имеет определенные преимущества по сравнению с методом сле­дов в тех случаях, когда нужный след секущей плоскости ока­зывается за пределами чертежа. Вместе с тем построения при использовании этого метода получаются «скученными», так как все они выполняются внутри многогранника (это обстоятельство по­служило причиной называть рассматриваемый метод также мето­дом внутреннего проектирования).

Комбинированный метод.

Суть этого метода состоит в применении теорем о параллель­ности прямых и плоскостей в сочетании с методом следов, или с методом вспомогательных сечений, или с обоими этими методами.

Кроссворд.

По горизонтали:

1.Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L.

2. Поверхность, простирающаяся неограниченно во все стороны.

3. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов.

4. Метод, суть которого состоит в том, что искомая величина находится с помощью уравнения, составленного по условию задачи.

5. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами L1 и L2.

6. Тело, ограниченное сферой.

По вертикали:

3. Многогранник, составленный из n-угольника А₁А₂...А_n и n треугольников.

7. Метод, который чаще всего используется при решении задач на доказательство.

8. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны.

9. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁А₂...А_nи В₁В₂...В_n , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

Занимательные задачи

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Как построить сечение, которое проходит через сторону основания перпендикулярно скрещивающемуся с этой стороной боковому ребру?

Дано: MABC- правильная

треугольная пирамида, BM=2AB.

Построить: сечение ADB.

Решение:

Анализ.

Поиск решения задачи проведем, полагая задачу решенной. Сечение ADB проходит через сторону AB перпендикулярно стороне MC. Если MC перпендикулярно ADB, то MC перпендикулярно BD и AD. K - середина MC, ∆KBC - равнобедренный, его медиана CP является и высотой, высота KE параллельно MO‌‌‌‌‌. Через точку пересечения CP и KE проходит третья высота BD.

Построение.

1.MK=KC; 2.KEBC; 3.MO| |KE; 4.через CP∩KE проводим высоту BD; 5.ADB - искомое сечение.

Доказательство.

Построенное сечение удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование.

2-ое решение: если ABD - искомое сечение, то BDMC, MOBC, треугольники BCD и MCO подобны: BC:MC=DC:OC, .

Наглядность.

Метод следов.

Метод вспомогательных сечений.

Комбинированный метод.