Проект ученика 6 класса 'Задачи на чётность'

Министерство общего и профессионального образования

Свердловской области

Муниципальный орган

«Управление образования городского округа Краснотурьинск»

МОУ «СОШ №19 с углублённым изучением предметов

физико-математического профиля»

Предмет: математика

Направление: физико-математическое

Задачи

на чётность

Исполнитель: Медведев Михаил

ученик 6 «Б» класса

Руководитель: Синаева Роза Ивановна

учитель математики

I квалификационная категория

г. Краснотурьинск

2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение……………………………………………………………..стр.3

2. Теоретическая часть………………………………………………..стр.4

3. Практическая часть

3.1 Арифметика чётности .стр. 7

3.2 Чередование ……………………………………………………..стр. 12

3.3 Разбиение на пары……………………………………………….стр. 16

3.4 Игры-шутки………………………………………………………… стр. 18

4. Заключение…………………………………………………………стр. 20

5. Список литературы………………………………………………….стр.21

.

ВВЕДЕНИЕ

«Если написанная программа сработала правильно, то это значит, что во время ее работы выполнилось четное число ошибок»

Правило четности ошибок

Впервые с понятием «четные и нечетные числа» я столкнулся на уроках математики в начальной школе. Участвуя в Российском заочном конкурсе «Познание и творчество» г. Обнинска, Международном конкурсе по математике «Кенгуру» и олимпиаде Уральского Федерального округа часто приходилось решать задачи на четность. Идея четности в решении математической задачи - простая, но глубокая. Она не требует совершенно никакой математической подготовки и в то же время может быть использована для получения неожиданных выводов.

Цель, которую я поставил: углубить и расширить свои знания в области решения задач на четность.

Стремясь извлечь из своих усилий максимальную пользу, я старался подмечать в задаче, которую решаю, то, что может пригодиться при решении других задач. Решение, найденное в результате собственных усилий, может превратиться в образец, которому с успехом можно следовать при решении других задач.

Для реализации поставленной цели мне потребовалось решить следующие задачи:

• Изучить литературу по данной теме;

• Классифицировать задачи;

• Совершенствовать навыки решения задач на четность и нечетность.

В своем проекте я не в состоянии предложить универсальный метод, но и несколько маленьких шагов в достижении поставленной цели развили мои способности в умении решать задачи.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Известно, что числа бывают четные и нечетные.

Определение: Число называется четным, если оно делится на 2 без остатка.

Формула четного числа - 2с, где с-целое число.

Формула нечетного числа - 2с+1

Пифагорейцы считали четные числа женскими, а нечетные - мужскими. Нечетное число - оплодотворяющее, и, если его сочетать с четным, оно возобладает; кроме того, если разлагать четное и нечетное надвое, то четное, как женщина, оставляет в промежутке пустое место, между двумя частями. Поэтому и считают, что одно число свойственно женщине, а другое мужчине. Символ брака у пифагорейцев состоял из суммы мужского, нечетного числа три и женского, четного числа два. Брак - это пятерка, равная трем плюс два. По той же причине прямоугольный треугольник со сторонами три, четыре, пять был назван ими «фигура невесты».

Идея четности имеет много разных применений.

1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).

2. Если в некоторой цепочке чередуются объекты двух видов, а начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов, если начало и конец одного вида, то нечетное число. (Четное число объектов соответствует нечетному числу переходов между ними и наоборот)

3. Если у объекта чередуются два возможных состояния, а исходное и конечное состояния различны, то переходов пребывания объекта в том или ином состоянии - четное число, если исходное и конечное состояния совпадают - то нечетное.

4. По четности длины чередующийся цепочке можно узнать, одного или разных видов ее начало и конец.

5. По числу периодов пребывания объекта в одном из двух возможных чередующихся состояний можно узнать, совпадает ли начальное состояние с конечным.

6. Если предметы можно разбить на пары, то их количество четно.

7. Если нечетное число предметов почему-то удалось разбить на пары, то какой-то из них будет парой к самому себе, причем такой предмет может быть не один (но их всегда нечетное число).

Иногда полезно бывает рассмотрение четности суммы или разности нескольких целых чисел:

1. Сумма двух четных чисел четна. Сумма двух нечетных чисел четна. Сумма четного и нечетного чисел - нечетна.

2. Сумма любого количества четных чисел четна. Это очевидно по многим разным соображениям. Например: при последовательном вычислении суммы всегда все промежуточные результаты будут четными, согласно свойству 1. Либо: все четные числа делятся на 2, поэтому из их суммы можно вынести 2 за скобку.

3. Сумма четного числа нечетных чисел четна, сумма нечетного числа нечетных чисел нечетна.

Доказательство: Если нечетных чисел - четное число (2с), то разобьем их на пары (всего с пар). Сложим числа в каждой паре (сумма двух нечетных чисел - четная). Получим сумму с четных чисел, которая четна (согласно 2). Если же было нечетное число (2с+1) нечетных чисел, то возьмем все числа, кроме одного (2с штук) - их сумма четна. Прибавим к ней оставшееся нечетное число и получим, что сумма всех чисел нечетна по пункту 1.

4. Сумма нескольких целых чисел четна тогда и только тогда, когда среди них четное число нечетных чисел.

Доказательство: Сложим отдельно все четные и отдельно все нечетные числа. Первая сумма всегда четна (п.2), вторая четна тогда и только тогда, когда в ней четное число нечетных чисел (п.3). Если вторая сумма четна, то сумма всех четна, если она нечетна, то сумма всех нечетна (п.1), поэтому четность суммы всех чисел определяется указанным в условии правилом.

5. Разность двух четных чисел четна. Разность двух нечетных чисел четна. Разность четного и нечетного чисел в любом порядке - нечетна.

6. Разность двух чисел имеет ту четность, что и их сумма. Например: 3+2=5 и 3-2=1 - оба нечетны.

Можно доказывать это перебором трех-четырех случаев, но проще заметить, что а+в=(а-в)+2в, т.е. сумма и разность двух чисел различаются на четное число, следовательно, имеют одинаковую четность.

7. Алгебраическая (со знаками + или -) сумма целых чисел имеют ту же четность, что и их сумма. Например: 2-7+(-4)-(-3)=-6 и 2+7+(-4)+(-3)=2 оба четны.

Доказательство: Возьмем сумму чисел и изменим в ней несколько знаков с + на - (перед первым числом мы можем поставить знак -). Так мы сможем получить любую алгебраическую сумму. При изменении знака перед некоторым числом а значение алгебраической суммы уменьшится на 2а, т.е. четность сохранится. Поэтому четность сохранится после изменения любых нескольких перемен знака, и она в любом случае будет совпадать с четностью исходной суммы.

8. Алгебраическая сумма целых чисел четна тогда и только тогда, когда среди них четное число нечетных чисел.

9. Противоположные числа имеют одинаковую четность.

10. Если один из множителей - четное число, то и произведение четно.

11. Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.

АРИФМЕТИКА ЧЁТНОСТИ

1. Четно или нечетно число 1+2+3+4+…+2000?

Решение: четно.

2. Верно ли равенство 1х2+2х3+3х4+…+99х100 = 20002007?

Решение: нет, сумма четных слагаемых всегда четна.

3. Определить на четность числа 3(х+1); х+х; х+х+2005, если х нечетное.

Решение: первое - четное, второе - четное, третье - нечетное.

4. Можно ли квадрат размером 25х25 разрезать на прямоугольники 1х2?

Решение: нет, число 625 не делится на2.

5. Можно ли разменять 100 рублей при помощи 25 монет достоинством 1 и 5 рублей?

Решение: нет, сумма нечетного количества нечетных слагаемых - нечетное число.

6. Кузнечик прыгает по прямой: первый раз на 1 см, второй раз на 2 см и т.д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на прежнее место?

Решение: нет, чтобы вернуться на старое место общее количество сантиметров должно быть четно, а сумма 1+2+3+…+25 нечетна.

7. Можно ли из 37 веревочек сплести сетку так, чтобы каждая веревочка была связана ровно с тремя другими?

Решение: нет, произведение 37х3 нечетно.

8. В школе 1688 учащихся, причем мальчиков на 373 больше, чем девочек. Доказать, что такого не может быть.

Решение: если девочек х, то всего учеников 2х+373, а это число нечетное.

9. Произведение двух натуральных чисел умножили на их сумму. Могло ли получиться число 20002007?

Решение: нет, произведение должно быть четно.

10. Доказать, что n n + 3n четно при любом натуральном n.

Решение: п п+3п= п(п+1)+2п

11. Может ли произведение суммы трех последовательных натуральных чисел на сумму трех следующих за ними натуральных чисел быть равным 33333?

Решение: нет, произведение должно быть четно, т.к.один из множителей четное число.

12. Доказать, что в равенстве 1?2?3?4?5?6?7?8?9?=20, «?» - это знаки плюс или минус, допущена ошибка.

Решение: в выражении нечетное количество нечетных чисел. Ответ должен быть нечетным числом.

13. Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

Решение: Среди этих чисел одно (2) - четное, а остальные - нечетные. Поэтому в той строке, где стоит двойка, сумма чисел нечетна, а в других - четна.

14. К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.

Решение: Разберем два случая: сумма первой и последней цифр числа меньше 10, и сумма первой и последней цифр числа не меньше 10. Если допустить, что все цифры суммы - нечетны, то в первом случае не должно быть ни одного переноса в разрядах (что, очевидно, приводит к противоречию), а во втором случае наличие переноса при движении справа налево или слева направо чередуется с отсутствием переноса, и в результате мы получим, что цифра суммы в девятом разряде обязательно четна.

15. Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Решение: Нужно отложить данную монету в сторону, а затем разделить остальные 100 монет на две кучки по 50 монет, и сравнить веса этих кучек. Если они отличаются на четное число грамм, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечетна, то монета фальшивая.

16. Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 1 до 9 так, чтобы между единицей и двойкой, двойкой и тройкой, …, восьмеркой и девяткой было нечетное число цифр?

Решение: В противном случае все цифры в ряду стояли бы на местах одной и той же четности.

17. Двадцать лет тому назад в ходу были купюры достоинством 1, 3, 5, 10 и 25 рублей. Докажите, что если 25 рублей разменяли десятью такими купюрами, то хотя бы одна из этих десяти купюр - десятка.

Решение: Если бы ни одной десятки не было, то число 25 оказалось бы представлено в виде суммы десяти нечетных слагаемых. Но сумма четного количества нечетных слагаемых четна.

18. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могли ли получить число

11011811061018224521543?

Решение: Если произведение (х-у)ху нечетно, то нечетны все множители, то есть (х-у), х и у. А это невозможно, так как , если числа х и у нечетны, то их разность (х-у) четна.

19. Можно ли натуральные числа 1, 2, …, 20, 21 разбить на несколько групп, в каждой из которых наибольшее число равно сумме всех остальных чисел в этой группе?

Решение: Допустим, что удается осуществить такое разбиение на группы. Если х- наибольшее число некоторой группы, то сумма остальных чисел этой группы тоже равна х и поэтому сумма чисел этой группы равна 2х. Таким образом, сумма чисел каждой группы четна. Следовательно, четна и сумма всех чисел от 1 до 21 ( в самом деле, сначала сложим числа в каждой из групп, а потом сложим полученные суммы; сумма любого количества четных слагаемых четна). Получим противоречие: сумма чисел от 1 до 21 нечетна.

20. Даны шесть чисел 1,2, 3,4,5,6. Разрешено к любым числам прибавить по единице. Можно ли несколькими такими операциями сделать все числа равными?

Решение: Сумма чисел от 1 до 6 равна 21. Число 21 нечетное. При прибавлении единицы к двум числам сумма увеличивается на 2. Таким образом, сколько бы таких операций ни было, сумма всех чисел будет нечетна. Но сумма шести одинаковых целых чисел четна.

21. На 99 карточках пишут числа 1, 2, …, 99, перемешивают их, раскладывают чистыми сторонами вверх и снова пишут числа 1, 2, …, 99. Для каждой карточки складывают два ее числа и 99 полученных сумм перемножают. Докажите, что результат четен.

Решение: Произведение целых чисел четно, если четен хотя бы один из сомножителей. Значит, достаточно доказать, что хотя бы на одной карточке сумма чисел четна. Рассуждаем «от противного». Если на всех карточках суммы нечетны, то нечетной будет и сумма всех чисел на всех 99 карточках. Но эта сумма равна удвоенной сумме чисел от 1 до 99. Получили противоречие.

22. Шахматный конь вышел с некоторой клетки, сделал несколько ходов и вернулся (а) обратно, (б) на клетку того же цвета, с которой он начинал. Доказать, что он сделал четное число ходов.

Решение: (а) Шахматный конь каждым ходом меняет цвет клетки, на которой он стоит. Получаем, что в замкнутой цепочке клеток, по которым прошел конь, чередуются черные и белые. Значит, всего в цепочке четное число клеток. Поскольку она замкнутая, то число ходов будет тоже четным.

(б) На этот раз, поскольку цепочка чередующихся черных и белых клеток под конем не замкнута, то в ней четное число объектов. Получаем неожиданный, на первый взгляд, результат: в цепочке начало и конец одного цвета, поэтому в ней нечетное число клеток. Но надо заметить, что ходы коня - это не объекты цепочки, а переходы между ними. Их здесь (в незамкнутой цепочке) на единицу меньше, чем самих объектов, поэтому число ходов будет четным.

23. Филя перемножил 17 целых чисел и получил 1025, а Степашка сложил эти же числа и получил 100. Докажите, что кто-то из них ошибся.

Решение: Предположим, что Филя не ошибся. Тогда, если Филя, перемножая натуральные числа, получил нечетный результат, то все множители были четными. Но в тоже время сумма 17 нечетных чисел - нечетное число, и никак не может равняться 100.

24. На клетчатой бумаге нарисован замкнутый путь (по линиям сетки). Доказать, что он имеет четную длину (сторона клетки имеет длину 1)

Решение: При прохождении пути шагов вверх должно быть столько же, сколько шагов вниз, а шагов вправо - столько же, сколько шагов влево.

25. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, поворачивая на 90 градусов каждые 15 минут. Доказать, что она может вернуться в исходную точку только через целое число часов.

Решение: Вправо улитка должна ползти столько же времени, сколько влево, а вверх - столько же, сколько вниз. Значит улитка проползла чётное число вертикальных и чётное число горизонтальных «пятнадцатиминутных» отрезков. К тому же вертикальные и горизонтальные отрезки чередуются, значит общее их число делится на 4.

26. Может ли кузнечик за 25 прыжков вернуться в начальную позицию, если он прыгает по диагонали прямоугольника a × b (a и b фиксированы).

Решение: Нет. Если a и b оба нечётны, то каждая координата кузнечика при прыжке меняет чётность. Если же одно из чисел a и b чётно, а другое нечётно, то сумма координат при каждом прыжке меняет чётность. Если же a и b оба чётны, то можно уменьшать их вдвое до тех пор, пока одно из них не станет нечётным, а после этого воспользоваться одним из уже разобранных случаев.

27. На шахматной доске стоят 8 ладей, которые не бьют друг друга. Доказать, что число ладей, стоящих на черных клетках, четно.

Решение: Цвет клетки определяется суммой её координат. Сумма же координат всех ладей чётна (она не зависит от расстановки и равна 2(1 + 2 + … 8).

28. В вершинах куба написаны числа 1 и - 1. На каждой грани написано произведение чисел в углах этой грани. Может ли сумма всех написанных чисел быть равна нулю?

Решение: Нет. Чисел всего 14, а их произведение равно 1.

29. n рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов. Доказать, что n делится на 4.

Решение: Число пар соседей-врагов всегда чётно.

ЧЕРЕДОВАНИЕ

1. Может ли вращаться система из 7 шестеренок, если первая сцеплена со второй, вторая с третьей и т.д., а седьмая сцеплена с первой?

Решение: нет, если первая вращается по часовой стрелке, то все нечетные шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а первая и седьмая одновременно вращаться по часовой стрелке не могут.

2. Конь вышел с клетки а1 и через несколько ходов вернулся обратно. Докажите, что он сделал четное количество шагов.

Решение: шахматная доска покрашена в два цвета. С каждым ходом конь меняет цвет клетки. Чтобы вернуться на исходную клетку, коню потребуется четное число ходов.

3. Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки а1, и закончив на клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

Решение: нет, цвет клеток а1 и h8 одинаковый, а конь должен сделать нечетное количество ходов - 63.

4. В ряд выписаны числа от 1 до 2006. Можно ли , меняя местами числа через одно, переставить их в обратном порядке?

Решение: нет, четные можно поменять местами только с четными, нечетные с нечетными.

5. Можно ли из 2000 квадратиков со стороной 1см сложить фигуру сложить фигуру с периметром 4001см?

Решение: нет, периметр одного квадратика 4см,при составлении фигуры периметр меняется на четное число см, т.е. периметр с нечетным числом см получить нельзя.

6. Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

Решение: На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел - нечетна.

7. Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Решение: Среди этих чисел - четное число «минус единиц», а для того, чтобы сумма равнялась нулю, их должно быть ровно 11.

8. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки « + » и « - » так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?

Решение: В самом деле, сумма чисел от 1 до 10 равна 55, и изменяя в ней знаки, мы меняем все выражение на четное число.

9. Можно ли покрыть шахматную доску доминошками 1 × 2 так, чтобы свободными остались только клетки a1 и h8?

Решение: Каждая доминошка покрывает одно черное и одно белое поле, а при выкидывании полей a1 и h8 черных полей остается на 2 меньше, чем белых.

10. На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

Решение: Для любой точки X, лежащей вне AB, имеем AX - BX = ± AB. Если предположить, что суммы расстояний равны, то мы получим, что

выражение ± AB ± AB ± … ± AB, в котором участвует 45 слагаемых, равно нулю. Но это невозможно.

11. По кругу расставлено 9 чисел - 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

Решение: Ясно, что комбинация из девяти единиц раньше, чем девять нулей, получиться не может. Если же получилось девять нулей, то на предыдущем ходу нули и единицы должны были чередоваться, что невозможно, так как их всего нечетное количество.

12. 25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа - мальчики.

Решение: Проведем наше доказательство от противного. Занумеруем всех сидящих за столом по порядку, начиная с какого-то места. Если на k-м месте сидит мальчик, то ясно, что на (k - 2)-м и на (k + 2)-м местах сидят девочки. Но поскольку мальчиков и девочек поровну, то и для любой девочки, сидящей на n-м месте, верно, что на (n - 2)-м и на (n + 2)-м местах сидят мальчики. Если мы теперь рассмотрим только тех 25 человек, которые сидят на «четных» местах, то получим, что среди них мальчики и девочки чередуются, если обходить стол в каком-то направлении. Но 25 - нечетное число.

13. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

Решение: Ясно, что количество a участков, на которых улитка ползла вверх или вниз, равно количеству участков, на которых она ползла вправо или влево. Осталось только заметить, что a - четно.

14. Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?

Решение: Обозначим кузнечиков A, B и C. Назовем расстановки кузнечиков ABC, BCA и CAB (слева направо) - правильными, а ACB, BAC и CBA - неправильными. Легко видеть, что при любом прыжке тип расстановки меняется.

15. 100 фишек поставлены в ряд. Разрешено менять местами любые две фишки, стоящие через одну. Можно ли поставить фишки в обратном порядке?

Решение: Пронумеруем места, на которых стоят фишки. Номера мест, расположенных через одно, имеют одинаковую четность, поэтому после любых разрешенных перестановок фишка, стоявшая изначально на сотом месте, окажется на месте с четным номером. Таким образом, она не сможет оказаться на первом месте, а значит, переставить фишки в обратном порядке не удается.

16. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно 1 раз?

Решение: Допустим, что существует. Тогда пересекающиеся звенья образуют пары. Следовательно, количество звеньев должно быть четным. Получили противоречие.

17. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что марсиан, у которых нечетное число рук, четно.

Решение: Назовем марсиан с четным числом рук четными, а с нечетным- нечетными. Поскольку руки образуют пары, то общее число рук четно. Общее число рук у четных марсиан четно, поэтому общее число рук у нечетных марсиан тоже четно. Следовательно, число нечетных марсиан четно.

18. Из полного набора домино, подаренного родителями, Степашка потерял все кости с «пустышками». Сможет ли теперь кто-нибудь выложить оставшиеся кости в ряд?

Решение: Не сможет. Предположим обратное: пусть кости разложены в ряд. Все половинки, кроме двух крайних, объединяются в пары с равными числами. На двух крайних числа могут быть как равными, так и нет. Следовательно, все числа, за исключением двух, заведомо появляются четное число раз. Но после потери всех пустышек осталось ровно по 7 экземпляров каждой из 6 цифр 1,2,3,4,5,6.

19. Может ли вращаться система из 11 шестеренок, если 1-я сцеплена со 2-й, 2-я - с 3-й и так далее, а 11-я сцеплена с 1-й?

Решение: Нет. Направления вращения шестерёнок должны чередоваться

РАЗБИЕНИЕ НА ПАРЫ

1. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно 1 раз?

Решение: Допустим, что существует. Тогда пересекающиеся звенья образуют пары. Следовательно, количество звеньев должно быть четным. Получили противоречие.

2. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что марсиан, у которых нечетное число рук, четно.

Решение: Назовем марсиан с четным числом рук четными, а с нечетным- нечетными. Поскольку руки образуют пары, то общее число рук четно. Общее число рук у четных марсиан четно, поэтому общее число рук у нечетных марсиан тоже четно. Следовательно, число нечетных марсиан четно.

3. Можно ли соединить 13 городов дорогами, так чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог?

Решение: нет, каждую дорогу считаем дважды, поэтому общее количество дорог должно быть четным. В нашем случае их 13х5 =65.

4. Можно ли организовать шахматный турнир между 15 шахматистами так, чтобы каждый сыграл по 15 партий?

Решение: нет, 15х15 нечетно.

5. На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей, …, 11-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?

Решение: Нет, не могут. Если бы они могли вращаться, то в замкнутой цепочке чередовалось бы два вида шестеренок: вращающиеся по часовой стрелке и против часовой стрелки. Тогда всего должно быть четное число шестеренок, а их 11 штук. Получили противоречие.

6. Полный комплект костей выложен в цепочку. На одном конце оказалась пятерка. А что могло оказаться на другом?

Решение: Рассмотрим множество половинок всех доминошек. Всего доминошек 28, при этом каждое число (от 0 до 6) присутствует ровно на 8 половинках. Заметим, что все половинки, кроме двух крайних, разбиты на пары с одинаковыми цифрами. Это означает, что среди них любое число (от 1 до 6) встречается четное число раз. Тогда, если не рассматривать неизвестный конец, пятерка встречается на одном конце и еще на четном количестве мест, а все остальные числа встречаются на четном количестве мест. Отсюда следует, что на втором конце тоже пятерка.

7. Существует ли 25-звенная ломаная, пересекающая каждое свое звено ровно один раз?

Решение: Нет. Звенья должны разбиваться на пары пересекающихся

8. Может ли прямая, не содержащая вершин 1001-угольника, пересекать каждую его сторону?

Решение: Нет. Любые соседние две вершины 1001-угольника должны лежать по разные стороны от прямой.

9. Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

Решение: Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся. Однако тогда число звеньев должно быть четным.

10. п рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов. Доказать, что п делится на 4.

Решение: Число пар соседей - врагов всегда четно.

11. Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

Решение: Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся. Однако тогда число звеньев должно быть четным.

ИГРЫ - ШУТКИ

1. Двое по очереди ломают шоколадку 6 × 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

Решение: Основное соображение: после каждого хода количество кусков увеличивается ровно на 1. Сначала был один кусок. В конце игры, когда нельзя сделать ни одного хода, шоколадка разломана на маленькие дольки. А их 48! Таким образом, игра будет продолжаться ровно 47 ходов. Последний, 47-й ход (так же, как и все другие ходы с нечетными номерами) сделает первый игрок. Поэтому он в этой игре побеждает, причем независимо от того, как будет играть.

2. Имеется три кучки камней: в первой - 10, во второй - 15, в третьей - 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие; проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

Решение: После каждого хода количество кучек увеличивается на 1. Сначала их было 3, в конце - 45. Таким образом, всего будет сделано 42 хода. Последний выигрывающий 42-й ход сделает второй игрок.

3. Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Игроки по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитывается результат. Если он четен, то выигрывает первый игрок, если нечетен, то второй.

Решение: Четность результата не зависит от расстановки плюсов и минусов, а зависит только от количества нечетных чисел в первоначальном наборе. Так как в данном случае их 10 (т.е. четное число), то выигрывает первый игрок.

4. Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: После каждого хода и количество вертикалей, и количество горизонталей, на которые можно поставить ладей, уменьшается на 1. Поэтому игра будет продолжаться ровно 8 ходов. Последний, выигрышный ход будет сделан вторым игроком.

5. На доске написаны 6 единиц и 6 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными - единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра - единица, то выиграл первый игрок, если двойка - то второй.

Решение: Четность числа единиц на доске после каждого хода не меняется. Поскольку сначала единиц было четное число, то после последнего хода на доске не может оставаться одна (нечетное число!) единица. Поэтому выигрывает второй игрок.

6. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать еще одно натуральное число - разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: В процессе игры (сравните с алгоритмом Евклида) обязательно будет выписан наибольший общий делитель исходных чисел. Следовательно, будут выписаны и все числа, кратные ему, не превосходящие большего из исходных чисел. В нашем случае НОД равен 1. Поэтому будут выписаны все числа от 1 до 36. Таким образом игра будет продолжаться 34 хода (два числа были написаны сначала), и выигрывает второй игрок.

7. Дана клетчатая доска размерами

а) 9 × 10;б) 10 × 12;в) 9 × 11.

За ход разрешается вычеркнуть любую горизонталь или любую вертикаль, если в ней к моменту хода есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: Эта игра - не совсем шутка. В ней выигрывающий, допустив ошибку, может проиграть. Эта ошибка состоит в том, что он после своего хода оставляет невычеркнутые клетки только в одном столбце или только в одной строке, предоставляя противнику возможность выиграть в один ход. Проигравшим в этой игре является, тем самым, тот, кто сделает этот роковой ход. Заметим, что оставшуюся после вычеркивания горизонтали часть клетчатой доски m × n можно представить себе как доску (m - 1) × n. Аналогично, после вычеркивания вертикали остается доска m × (n - 1). Ситуация, в которой каждый ход является «роковым», только одна - это доска 2 × 2. Таким образом, выигрывает игрок, после хода которого она возникла. Однако, как мы видели, при каждом ходе суммарное количество горизонталей и вертикалей на доске уменьшается на 1. Поэтому четность этой суммы в начале игры определяет победителя. В пункте а) выигрывает первый игрок, а в пунктах б) и в) - второй. Заметим, что в пункте б) решающим соображением может быть и симметричная стратегия второго игрока.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель, которую я поставил перед собой, мной реализована. Работа над проектом вызвала интерес и увлекла меня. Эта работа потребовала от меня не только определенных математических знаний и настойчивости, но и дала мне возможность почувствовать огромную радость самостоятельного открытия.

В своей работе мною решено 66 задач. Известно, что решение задач - это практическое искусство, подобное плаванию или игре на фортепиано. Научиться ему можно только подражая хорошим образцам, постоянно практикуясь. В моем проекте нет волшебного ключа, открывающего все двери, позволяющего решать все задачи. Работа над проектом явилась для меня открытием.

Размышляя над тем, что сделано мною для реализации цели, я пришел к выводам:

• Наблюдение может привести к открытию;

• Лучший способ изучить что-либо - открыть это самому;

• Нужно отыскать в задаче то, что может пригодиться при решении других задач (т.е. обнаружить общий метод);

Эта работа способствовала более глубокому пониманию школьной

программы и расширению кругозора.

Данный материал будет полезен учащимся, интересующихся

математикой. Его можно использовать на некоторых уроках и на факультативных занятиях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. "Ленинградские математические кружки", 1994;

2. Дориченко С.А., Ященко И.В."57 Московская математическая олимпиада. Сборник подготовительных задач", 1994;

3. Задачи для внекласной работы по математике в 5-6 классах/сост.В.Ю.Сафонова, М.:МИРОС, 1995;
   Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. "Как решают нестандартные задачи", М.:МЦНМО, 1997;

4. Образовательный журнал для старшеклассников и учителей «Потенциал», №1, 2008;

5. Спивак А.В. "Математический праздник", Москва, МЦНМО, 1995.