Учителю
Решение квадратных уравнений. Урок самоконтроля при подготовке к ОГЭ по математике

Решение квадратных уравнений. Урок самоконтроля при подготовке к ОГЭ по математике

Автор публикации: Сухова И.П.

Дата публикации: 30.08.2015

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

Учитель математики - Сухова Ирина Павловна

9 класс

Тема урока. Решение квадратных уравнений.

Тип урока. Урок самоконтроля

Задачи урока:

Образовательная:

- проверка уровня усвоения материала учащимися;

- формирование навыков самоконтроля и самооценки;

- формирование навыков поисково-исследовательской работы.

Развивающая:

- развитие у учащихся умения логически излагать свои мысли, делать выводы.

Воспитывающая:

- воспитание у учащихся усидчивости, настойчивости, критического отношения к себе.

Цель урока: помочь каждому учащемуся дать оценку своим знаниям, ответить на вопросы: на сколько хорошо он усвоил теоретический материал, умеет ли применять его на практике, над чем ему ещё предстоит работать, чтобы успешно пройти аттестацию.

Формы организации учебной деятельности:

- устная работа (фронтальный опрос);

- индивидуальная;

- работа в парах.

Ход урока:

При подготовке к итоговой аттестации в контрольно-измерительных материалах мы часто встречаемся с различными уравнениями.

1 этап. Заполнение таблицы.

Я предлагаю вам заполним следующую таблицу, где вы должны будите поставить знак «+», если знаете ответ на вопрос. Если ответа не знаете « - ».

Я знаю

(+)

()

Я умею

(+)

()

1.Какие уравнения называются квадратными?

6. Решать неполные квадратные уравнения

2.Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

7. Решать квадратные уравнения

3.От чего зависит число решений квадратного уравнения?

8. Применять теорему, обратную теореме Виета

4.Формулы для решения квадратного уравнения

6. Решение квадратных уравнений по формуле.

ax²+bx+c=0; D=b²-4ac,

Если D, то два корня: X_1,2=

Если D=0, то один корень x=.

Если D, то корней нет

5. Решение квадратных уравнений, у которых второй коэффициент чётный (через D₁).

Эта формула помогает избежать громоздких вычислений, упрощает процесс нахождения корней, если ax²+bx+c=0, b=2k, где k- целое число. Тогда находим D₁= - сокращённый дискриминант ()

Если D₁, то корней нет. Если D₁=0, то один корень.

Если D₁, то два корня: X_1,2=.

9. Решать биквадратное уравнение

5. Как читается теорема Виета?

Числа x₁ и x₂ - корни приведённого квадратного уравнения x²+px+q=0, тогда и только тогда, если: x₁ + x₂ =-p и x₁ x₂ =q.

10. Раскладывать квадратный трёхчлен на множители

А какую тему нам необходимо вспомнить сегодня, чтобы наше знание о решении уравнений стало полным? ( «Решение квадратных уравнений»)

Сегодня на уроке вы должны дать оценку своим знаниям, т.е. вы должны проверить: насколько хорошо вы подготовлены к решению квадратных уравнений на экзамене. Какие вопросы по теме усвоены вами ещё не достаточно и над чем вам ещё предстоит работать.

Каждый из вас поставил в таблицу тот знак, который считает нужным. К таблице мы будем в течение урока обращаться не один раз, и возможно, после проверки ваших знаний вам придётся заменить некоторые «+» на « - », а может и наоборот.

2 этап. Устная работа. (http://uztest.ru/ppt?fidlibrtype=21&pageno=4)

1. Теоретическая разминка

1.Какое уравнение называется квадратным уравнением?

a х² + bх + c = 0, где х - переменная, а, в, с-числа

2.Что значит решить уравнение?

Найти корни или доказать, что корней нет

3.Что является корнем уравнения?

Значение переменной, при котором равенство верно

4.Какой из коэффициентов квадратного уравнения никогда не может быть равным нулю? Почему?

а = 0

5.Перечислите виды квадратных уравнений?

полные и неполные

6.Какое квадратное уравнение называется приведённым квадратным уравнением?

а = 1

(Смотрите вопросы 1, 2)

2. Какие из уравнений являются квадратными?

1). Х² - 3Х + 2 = 0

2). - Х² + 9Х - 8 = 0

3). Х² = 0

4). Х (Х - 3)(Х + 5) = 0

5). 6 Х² - 64Х = 0

6). - 8Х² + 12 = 0

7). 6х - 8 = Х² (Х + 2)

(Смотри вопрос 3, 4, 5)

3. Определи коэффициенты квадратного уравнения:

а) 6х² - х + 4 = 0

б) 12х - х² + 7 = 0

в) 8 + 5х² = 0

г) х - 6х² = 0

д) - х + х² = 15

4. Корни какого из уравнений обладают свойством:

- Сумма корней равна 6, а произведение равно (- 16)?

- Один из корней уравнения 6?

- Корни уравнения равны.

Уравнения:

x² - 6x = 0

x² - 10x + 26 = 0

x² - 6x - 16 = 0

x² - 2x - 24 = 0

x² - x + 24 = 0

(Смотри вопросы 6, 8)

4. Составь квадратное уравнение (полное или неполное, не имеющее решение).

- Теперь вернись к таблице, к тем вопросам, которые указаны около каждого задания. Правильно ли у вас поставлены знаки «+» и «-»?

этап. Самостоятельная работа учащихся.

№ 1 Реши квадратное уравнение:

а) 6x² - 3x = 0 (смотри вопрос№6) (0; ½)

б) 9x² - 6x + 1 = 0 (смотри вопрос №7) (нет корней)

№ 2 Реши биквадратное уравнение:

x⁴ + x² - 2 =0 (смотри вопросы №7, 8, 9) (1; -1)

№ 3 Сократи дробь:

(смотри вопросы№7, 10)

Вернитесь опять к таблице, к тем вопросам, которые указаны в каждом задании. Проверьте, правильно ли вы поставили «+» и «-».

4 этап. Исследовательская работа:

Вывод частного случая решения квадратного уравнения (учащиеся получают карточки с заданием).

Вопросы:

Найди корни каждого уравнения.
Найди сумму коэффициентов каждого уравнения.
Попробуй найти закономерности между корнями и коэффициентами каждого уравнения.
К какому выводу ты пришёл?
Сформулируй вывод, запиши полученное свойство в общем виде (с помощью формулы).
Приведи примеры таких уравнений, при решении которых можно было использовать данное свойство.

а) x² +х- 2 = 0 в) x² + 3x + 2 = 0

б) x² + 2x - 3 = 0 г) 5x² + 8x + 3 = 0

Частный случай №1:

Если a+b+c=0, то x₁=1, x₂=.

Частный случай №2:

Если a + c=b, то x₁=-1, x₂=.

( вернуться к самостоятельной работе, рассмотреть № 2 и № 3)

5 этап. Домашнее задание.

Домашнее задание даётся дифференцировано. Даются карточки с заданиями, в которых отражены те вопросы, изучаемого материала, которые были усвоены ребятами недостаточно, против которых в таблице стоит знак « - ».
Подобрать и решить 5 заданий разных типов по теме урока из Открытого банка заданий ГИА по математике. ( если нет доступа к интернету, то использовать сборники для подготовки к ГИА)

6 этап. Итог урока

Предлагаю закончить предложение:

А у меня сегодня не получилось…

Я и не подозревал…

Сегодня я узнал…
Было интересно…
Было трудно…
Я выполнял задания…
Я понял, что…
Теперь я могу…
Я почувствовал, что…
Я приобрёл…
Я научился…
У меня получилось…
Я смог…
Я попробую…
Меня удивило…
Мне захотелось…

Приложения.

Приложение 1. Таблица самооценки знаний и умений

Я знаю

(+)

()

Я умею

(+)

()

1.Какие уравнения называются квадратными?

6. Решать неполные квадратные уравнения

2.Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

7. Решать квадратные уравнения

3.От чего зависит число решений квадратного уравнения?

8. Применять теорему, обратную теореме Виета

4.Формулы для решения квадратного уравнения

9. Решать биквадратное уравнение

5. Как читается теорема Виета?

10. Раскладывать квадратный трёхчлен на множители

Приложение 2. Самостоятельная работа учащихся

№ 1 Реши квадратное уравнение:

а) 6x² - 3x = 0 (смотри вопрос№6)

б) 9x² - 6x + 1 = 0 (смотри вопрос №7)

№ 2 Реши биквадратное уравнение:

x⁴ + x² - 2 =0 (смотри вопросы №7, 8, 9)

№ 3 Сократи дробь:

(смотри вопросы№7, 10)

Приложение 3. Исследовательская работа

а) x² +х- 2 = 0 в) x² + 3x + 2 = 0

б) x² + 2x - 3 = 0 г) 5x² + 8x + 3 = 0

Найди корни каждого уравнения.
Найди сумму коэффициентов каждого уравнения.
Попробуй найти закономерности между корнями и коэффициентами каждого уравнения.
К какому выводу ты пришёл?
Сформулируй вывод, запиши полученное свойство в общем виде (с помощью формулы).
Приведи примеры таких уравнений, при решении которых можно было использовать данное свойство.

Приложение 4. Рефлексия

А у меня сегодня не получилось…

Я и не подозревал…

Приложение 5.

Домашнее задание. Решить наиболее рациональным способом:

1) 5x²-4x-1=0;

2) 2x²-x+3=0;

3) x²+6=5x;

4) 7x²+8x+1=0;

5) x²-4x-=0;

6) -8x²-2x+3=0;

7) 4x²=7x;

8) 3x²-9=0;

Приложение 6. Справочные материалы

Способы решения квадратных уравнений:

Уравнение вида ax²+bx+c=0, где a,b,c - числа,a0, называются квадратными.

I. Решение неполных квадратных уравнений.

Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов b и c равен 0.

Коэффициент, равный нулю

b=0

c=0

b=0 и c=0

Вид

ax²+c=0

ax²+bx=0

ax²=0

Решение

ax²=-c

x²=-

x(ax+b)=0

x=0 или ax+b=0

x²=0

Корни

Если то корней нет,

Если то

x_1,2=.

x₁=0

x₂=-

x=0

Пример 1

5x²-10=0;

5x²=10;

x²=2;

x=.

Ответ: .

Пример 2

x²+3=0;

x²=-3;

x²=-3

нет корней, т.к. x².

Ответ: корней нет

Пример 3

2x²+5x=0;

x(2x+5)=0;

x=0 или 2x+5=0;

x=-2,5.

Ответ: 0; -2,5.

Пример 4

x²=0;

x=0.

Ответ: 0.

3. Теорема Виета:

Числа x₁ и x₂ - корни приведённого квадратного уравнения x²+px+q=0, тогда и только тогда, если: x₁ + x₂ =-p и x₁ x₂ =q.

Пример 1

x²-5x+6=0;

x₁ + x₂ =5 и x₁ x₂ =6,

следовательно x₁=2 и x₂=3.

Ответ: 2; 3.

Пример 2

x²+3x-10=0;

x₁ + x₂ =-3 и x₁ x₂ =-10,

следовательно x₁=-5 и x₂=2.

Ответ: -5; 2.

6. Решение квадратных уравнений по формуле.

ax²+bx+c=0; D=b²-4ac,

Если D, то два корня: X_1,2=

Если D=0, то один корень x=.

Если D, то корней нет

Перед решением уравнения обратить внимание на следующие выводы:

1) Если a , то целесообразно умножить обе части уравнения на -1;

2) Если все коэффициенты квадратного уравнения имеют общий делитель, то целесообразно разделить на него обе части уравнения;

3) Если хотя бы один из коэффициентов квадратного уравнения является дробным, то целесообразно обе части уравнения умножить на такое число, чтобы получилось уравнение с целыми коэффициентами.

Пример 1

12x²+7x+1=0;

a=12, b=7, c=1;

D= 7²-4=1, следовательно, два корня

X₁=,

X₂=.

Ответ: ,.

Пример 2

x²-12x+36=0;

a=1, b=-12, c=36;

D=(-12)²-

-4, следовательно, один корень

x=.

Ответ: 6.

Пример 3

7x²-25x+23=0;

a=7, b=-25, c=23;

D=(-25)²- ==- 19<0,

cледовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

Пример 4

y²-2y+2=0

Умножим обе части уравнения на 2:

y²-4y+4=0

Решим через D₁:

D₁=(-2)²-1=0, следовательно, один корень:

x= .

Ответ: 2.

Я знаю

(+)

()

Я умею

(+)

()

1.Какие уравнения называются квадратными?

6. Решать неполные квадратные уравнения

2.Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

7. Решать квадратные уравнения

3.От чего зависит число решений квадратного уравнения?

8. Применять теорему, обратную теореме Виета

4.Формулы для решения квадратного уравнения

9. Решать биквадратное уравнение

5. Как читается теорема Виета?

10. Раскладывать квадратный трёхчлен на множители

Я знаю

(+)

()

Я умею

(+)

()

1.Какие уравнения называются квадратными?

6. Решать неполные квадратные уравнения

2.Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

7. Решать квадратные уравнения

3.От чего зависит число решений квадратного уравнения?

8. Применять теорему, обратную теореме Виета

4.Формулы для решения квадратного уравнения

9. Решать биквадратное уравнение

5. Как читается теорема Виета?

10. Раскладывать квадратный трёхчлен на множители

Я знаю

(+)

()

Я умею

(+)

()

1.Какие уравнения называются квадратными?

6. Решать неполные квадратные уравнения

2.Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

7. Решать квадратные уравнения

3.От чего зависит число решений квадратного уравнения?

8. Применять теорему, обратную теореме Виета

4.Формулы для решения квадратного уравнения

9. Решать биквадратное уравнение

5. Как читается теорема Виета?

10. Раскладывать квадратный трёхчлен на множители

Я знаю

(+)

()

Я умею

(+)

()

1.Какие уравнения называются квадратными?

6. Решать неполные квадратные уравнения

2.Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

7. Решать квадратные уравнения

3.От чего зависит число решений квадратного уравнения?

8. Применять теорему, обратную теореме Виета

4.Формулы для решения квадратного уравнения

9. Решать биквадратное уравнение

5. Как читается теорема Виета?

10. Раскладывать квадратный трёхчлен на множители

Самостоятельная работа

№ 1 Реши квадратное уравнение:

а) 6x² - 3x = 0 (смотри вопрос№6)

б) 9x² - 6x + 1 = 0 (смотри вопрос №7)

№ 2 Реши биквадратное уравнение:

x⁴ + x² - 2 =0 (смотри вопросы №7, 8, 9)

№ 3 Сократи дробь:

(смотри вопросы№7, 10)

Самостоятельная работа учащихся

№ 1 Реши квадратное уравнение:

а) 6x² - 3x = 0 (смотри вопрос№6)

б) 9x² - 6x + 1 = 0 (смотри вопрос №7)

№ 2 Реши биквадратное уравнение:

x⁴ + x² - 2 =0 (смотри вопросы №7, 8, 9)

№ 3 Сократи дробь:

(смотри вопросы№7, 10)

Самостоятельная работа учащихся

№ 1 Реши квадратное уравнение:

а) 6x² - 3x = 0 (смотри вопрос№6)

б) 9x² - 6x + 1 = 0 (смотри вопрос №7)

№ 2 Реши биквадратное уравнение:

x⁴ + x² - 2 =0 (смотри вопросы №7, 8, 9)

№ 3 Сократи дробь:

(смотри вопросы№7, 10)

Исследовательская работа

а) x² +х- 2 = 0 в) x² + 3x + 2 = 0

б) x² + 2x - 3 = 0 г) 5x² + 8x + 3 = 0

Найди корни каждого уравнения.
Найди сумму коэффициентов каждого уравнения.
Попробуй найти закономерности между корнями и коэффициентами каждого уравнения.
К какому выводу ты пришёл?
Сформулируй вывод, запиши полученное свойство в общем виде (с помощью формулы).
Приведи примеры таких уравнений, при решении которых можно было использовать данное свойство.

Исследовательская работа

а) x² +х- 2 = 0 в) x² + 3x + 2 = 0

б) x² + 2x - 3 = 0 г) 5x² + 8x + 3 = 0

Найди корни каждого уравнения.
Найди сумму коэффициентов каждого уравнения.
Попробуй найти закономерности между корнями и коэффициентами каждого уравнения.
К какому выводу ты пришёл?
Сформулируй вывод, запиши полученное свойство в общем виде (с помощью формулы).
Приведи примеры таких уравнений, при решении которых можно было использовать данное свойство.

Исследовательская работа

а) x² +х- 2 = 0 в) x² + 3x + 2 = 0

б) x² + 2x - 3 = 0 г) 5x² + 8x + 3 = 0

Найди корни каждого уравнения.
Найди сумму коэффициентов каждого уравнения.
Попробуй найти закономерности между корнями и коэффициентами каждого уравнения.
К какому выводу ты пришёл?
Сформулируй вывод, запиши полученное свойство в общем виде (с помощью формулы).
Приведи примеры таких уравнений, при решении которых можно было использовать данное свойство.

А у меня сегодня не получилось…

Я и не подозревал…

А у меня сегодня не получилось…

Я и не подозревал…

А у меня сегодня не получилось…

Я и не подозревал…

А у меня сегодня не получилось…

Я и не подозревал…

А у меня сегодня не получилось…

Я и не подозревал…

А у меня сегодня не получилось…

Я и не подозревал…

Домашнее задание. Решить наиболее рациональным способом:

1) 5x²-4x-1=0;

2) 2x²-x+3=0;

3) x²+6=5x;

4) 7x²+8x+1=0;

5) x²-4x-=0;

6) -8x²-2x+3=0;

7) 4x²=7x;

8) 3x²-9=0.

Домашнее задание. Решить наиболее рациональным способом:

1) 5x²-4x-1=0;

2) 2x²-x+3=0;

3) x²+6=5x;

4) 7x²+8x+1=0;

5) x²-4x-=0;

6) -8x²-2x+3=0;

7) 4x²=7x;

8) 3x²-9=0.

Домашнее задание. Решить наиболее рациональным способом:

1) 5x²-4x-1=0;

2) 2x²-x+3=0;

3) x²+6=5x;

4) 7x²+8x+1=0;

5) x²-4x-=0;

6) -8x²-2x+3=0;

7) 4x²=7x;

8) 3x²-9=0.

Домашнее задание. Решить наиболее рациональным способом:

1) 5x²-4x-1=0;

2) 2x²-x+3=0;

3) x²+6=5x;

4) 7x²+8x+1=0;

5) x²-4x-=0;

6) -8x²-2x+3=0;

7) 4x²=7x;

8) 3x²-9=0.

Домашнее задание. Решить наиболее рациональным способом:

1) 5x²-4x-1=0;

2) 2x²-x+3=0;

3) x²+6=5x;

4) 7x²+8x+1=0;

5) x²-4x-=0;

6) -8x²-2x+3=0;

7) 4x²=7x;

8) 3x²-9=0.

Домашнее задание. Решить наиболее рациональным способом:

1) 5x²-4x-1=0;

2) 2x²-x+3=0;

3) x²+6=5x;

4) 7x²+8x+1=0;

5) x²-4x-=0;

6) -8x²-2x+3=0;

7) 4x²=7x;

8) 3x²-9=0.

⇧

⇩

скачать материал