Конспект Сочетания и размещения 11 класс

Сочетания и размещения.

Теория.

Комбинаторное правило умножения: пусть имеется n элементов, и надо выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать n₁ способами, после чего второй элемент можно выбрать n₂ способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать n₃ способами из оставшихся и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению .

Введем некоторые необходимые понятия.

Соединением из n элементов по k назовем выборку k элементов из n различных элементов ().

Соединения, каждое из которых содержит n различных элементов, взятых в определенном порядке, называются перестановками из n элементов.

Соединения, отличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком, каждое из которых содержит k элементов, называют размещениями из n элементов по k ().

Соединения, отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом, каждое из которых содержит k элементов, выбранных из n различных элементов, называют сочетаниями из n по k. Порядок следования элементов неважен.

Правило сложения: если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие - n₂ способами, … , k-е действие - n_k способами, то действие, состоящее в том, что выполняется одно любое из действий, можно выполнить способами.

Перестановки из n элементов, в каждую из которых входят n₁ одинаковых элементов одного типа, n₂ одинаковых элементов другого типа, … , n_k одинаковых элементов k-го типа (при этом ), называют перестановками из n элементов с повторениями.

Практика.

1. Сколько существует двузначных чисел?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В спортивных соревнованиях участвуют 10 команд. Сколькими способами может быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, если любая команда может получить только одну медаль?

4. В 9 классе изучается 10 предметов. Во вторник должно быть 6 различных уроков. Сколькими способами можно составить расписание занятий на вторник?

5. Вычислите:

1. ;

2. ;

6. Решите уравнение ():

7. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг?

8. Имеются 10 различных книг, 3 из которых справочники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?

9. Сколько различных пятизначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 1, 3, 6, 9?

10. Сколько существует трехзначных чисел, в которых цифры различные и нечетные?

11. Сколько трехзначных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?

12. Сколько чисел с разными цифрами можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

13. Вычислите :

14. Сколькими способами можно составить расписание на вторник, если изучаются 10 предметов и должно быть 6 уроков? (порядок уроков неважен).

15. Найдите число диагоналей n-угольника.

16. У Кати есть 7 разных книг по математике, у Коли 9 книг по физике. Сколькими способами они могут обменяться пятью книгами?

17. Из двух математиков и десяти физиков надо составить комитет из восьми человек. В комитет должен входить хотя бы один математик. Сколькими способами это можно сделать?

18. Сколько существует делителей числа 210?

19. Найдите натуральные значения n, удовлетворяющие условию

20. Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зеленые, 4 красные и 6 желтых лампочек?