Доклад по теме История развития функции

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Баклушинская средняя школа

Доклад на тему: История развития функции

Подготовила

Учитель математики Косинская О.В.

2016г

§1 История развития функции

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r². Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции явно и вполне сознательно применяется.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Кроме того, у Декарта и Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей "Геометрии" в 1637 году Декарт дает понятиефункции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в "флюентой").

В "Геометрии" Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x); путь и скорость - функция от времени (t) и т.п.

Определение функции в 18веке.

Само слово "функция" (от латинского functio -совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины "переменная" и "константа". В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: "функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных". Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак (x), называя характеристикой функции, а также буквы x или  ; Лейбниц употреблял x¹, x² вместо современных f₁(x) , f₂(x). Эйлер обозначил через f :y, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y).

Наряду сЭйлер предлагает использовать буквы , и другие. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая двоеточие Эйлера; он пишет, например, t, (t+s).

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во "Введении в анализ бесконечного"): "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств". Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фурье (1768-1830) и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался выше указанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.

В "Дифференциальном исчислении", вышедшем в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: "Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых". "Это наименование, - продолжает далее Эйлер - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других".

Как видно из определенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

Одним из нерешенных вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?

Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представляемых им в Парижскую АН в 1807-1811 гг. Мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле, Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Из трудов Фурье следовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем "Курсе алгебраического анализа", опубликованном в 1721г., французский математик О.Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

Определение функции в 19 веке.

В 1834 году в работе "Об исчезании тригонометрических строк" Н.И.Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755г., писал: "Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе".

Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминании об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле, неоднократно предлагалось и до него. В 1837 году немецкий математик П.Л. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: "y есть функция переменной x (на отрезке axb), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами".

Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая "функция Дирихле" (x).

Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине 19 века после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от рамок аналитического выражения, от единовластия аналитической формулы. Главный упор в основном общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений x, которые возможно, и не заполняют отрезка axb, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y=n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам. Например, к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании мы имеем дело с функцией. Другими синонимами термина "функция" в различных отделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др.

Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим.

Функция в своём развитии прошла следующие этапы:

1.Установление отдельных зависимостей между величинами( 6-5 вв.до н.э.- 13в.);

2. Выделение идеи функциональной зависимости, а именно осознание понятий «зависимая» и «независимая» переменная величина и её выражение в механической и геометрических формах (14 -16 вв.);

3. Доминирование идеи задания функции аналитической формулой и её логический анализ (конец 16 - 18 вв.);

4. Современный этап становления понятия функции (19 -21вв.): его обобщение, расширение и исследование.

§2 Кинематическое определение логарифмов Непера, таблицы.

К открытию логарифмов Непер пришел не позднее 1594 г., но лишь двадцать лет спустя опубликовал свое «Описание удивительной таблицы логарифмов» 1614, содержавшее определение неперовых логарифмов, их свойства и таблицы логарифмов синусов и косинусов от 0 до 90° с интервалом в 1', а также разности этих логарифмов, дающие логарифмы тангенсов. Теоретические выводы и объяснения способа вычисления таблицы он изложил в другом труде, подготовленном, вероятно, до «Описания», но изданном посмертно, в «Построении удивительной таблицы логарифмов», 1619г. В обоих сочинениях Непер рассматривает и некоторые вопросы тригонометрии. Особенно известны удобные для логарифмирования «аналогии», т. е. пропорции Непера, применяемые при решении сферических треугольников по двум сторонам и углу между ними, а также по двум углам и прилежащей к ним стороне.

В отличие от Бюрги, сопоставившего две дискретные прогрессии, Непер с самого начала вводил понятие логарифма для всех значений непрерывно меняющихся тригонометрических величин - синуса и косинуса. При тогдашнем состоянии математики, когда еще не было аналитического аппарата исчисления бесконечно малых, естественным и единственным средством для этого являлось кинематическое определение логарифма. Быть может, здесь не остались без влияния и традиции, восходившие к оксфордской школе XIV в. Исходные определения из «Описания»:

«О пp. 1. Говорят, что линия растет равномерно, когда описывающая ее точка проходит в равные моменты равные промежутки.

О п р. 2. Говорят, что линия сокращается пропорционально, когда пробегающая по ней точка в равные моменты отсекает отрезки, сохраняющие постоянно одно и то же отношение к тем линиям, от которых они отсекаются

О п р. 3. Говорят, что количества иррациональные, или невыразимые числом, определяются числами с наибольшим приближением, когда они определяются большими числами, отличающимися от истинных значений иррациональных количеств меньше, чем на единицу.

О п р. 4. Синхронными движениями называются те, которые происходят вместе и в течение одного и того же времени.

О п р. 5 и постулат. Так как существуют движения как более медленные, так и более быстрые, чем всякое данное движение, то отсюда необходимо следует, что существует движение равно быстрое всякому данному (которое определяется как движение ни более медленное, ни более быстрое, чем данное).

О пр. 6. Логарифмом всякого синуса называется, наконец, число, определяющее с наибольшим приближением линию, возрастающую равномерно, между тем как линия полного синуса убывает пропорционально до величины данного синуса, причем оба движения синхронны и вначале равно быстры».

Здесь в геометрическом выражении высказаны многие замечательные идеи. Отметим только своеобразную формулировку идеи о непрерывности в третьем определении и обратимся к основному, шестому определению логарифма.

Если изобразить полный синус, т. е. радиус круга, у Непера равный 10⁷, отрезком АВ, а линию синуса - отрезкомYB= у , то логарифмом у (обозначим егоLу) будет отрезок ОХ = х, проходимый точкой X, начинающей движение из О с постоянной скоростьюv₀,за то самое время, в какое точка У, одновременно выходящая из А с той же начальной скоростьюv₀,проходит отрезокAYсо скоростью, пропорциональной расстоянию, остающемуся до другого конца В, т. е. пропорциональнойYB. На языке дифференциального исчисления

dxdt=v0, dxdt= -v₀y10⁷ ,

т. е.

dyy=-dx107,

и, учитывая, что y=10⁷при x=0,

x = Ly = - 10⁷ In = - 10^7y107=.─10⁷Inу+10⁷ In 10⁷

Как видно, неперов логарифм числа у не есть, как иногда пишут в учебниках анализа, натуральный логарифм этого числа:Ly выражается через Inу линейно. Многие свойства логарифмов Непера поэтому несколько отличаются от свойств логарифмов в нашем смысле слова. Главное, конечно, у них общее: если четыре числа образуют геометрическую пропорцию у_₁у_₂ = у₃ : у₄, то их логарифмы составляют арифметическую пропорцию Ly_¹- Ly₂- Lyз - Ly₄, т.е. геометрической прогрессии чисел соответствует арифметическая прогрессия логарифмов. Однако, поскольку L1 = = 10⁷In10⁷, т. е.L1не равен нулю, правила действий усложняются: так, например,

L(ab) = La + Lb- L1, L =La - Lb + L1

и т. п. В примерах Непера, правда,L1выпадает, но лишь потому, что в них вычисляются четвертая и средняя пропорциональные, например:

L^ab= L (ab) - Lc + L1=La + Lb - Lc.

Нулю равен неперов логарифм числа 10⁷, т. е. полного синуса или радиуса. Этого и добивался Непер, имевший в виду прежде всего тригонометрические вычисления. Поскольку тригонометрические величины рассматривались еще не в отношении к радиусу, а как отрезки, выраженные в тех же единицах, что полный синус, последний входил в формулы и на него часто приходилось умножать и делить. Равенство нулю логарифма полного синуса представляло в таких условиях определенные преимущества. По мере уменьшения натуральных значений синуса неперов логарифм возрастает, а при синусе, равном нулю, обращается в бесконечность. В таблице Непера в строке, в которой в графе синуса обозначен 0, в графе логарифма синуса стоит слово Infinitum- «бесконечность».

Разумеется, Непер не записывал и не интегрировал приведенное выше дифференциальное уравнение, которое выражает кинематическое определение логарифма. Но фактически его прием составления таблиц равносилен приближенному численному решению дифференциального уравнения. Сначала находится весьма малый отрезок, проходимый точкой X, когда точкаYперемещается из начального положения А на расстояние 1, т. е. вычисляется L9999999. Опираясь на представление о мгновенной скорости и сравнивая скорости точек X иY,Непер выводит, что

10⁷-y<Ly<10⁷/y (10⁷- y )

и дляy = 9999999 принимает в качестве логарифма среднее арифме-

тическое чисел 1 и 10⁷/9999999 = 1,00000010000001..., так что L9999999 =

= 1,00000005 (с точностью до четырнадцатого знака). Здесь, как и всюду, Непер пользуется десятичными дробями. Далее для арифметической прогрессии логарифмов х_n = 1,00000005n он находит соответствующую геометрическую прогрессию чисел

у_п = 10⁷(l-1/10⁷)ⁿ, где п = 1, 2, 3 ,100.

Это нетрудно, так как здесь нужны только вычитания; у_k=у_k-1- 0,0000001y_k-1

Так получается, при подходящих округлениях,L9999900.

Отношение числа 9999900 к 10⁷ есть 1-1/10⁵ , и Непер переходит к вычислению логарифмов у_п = 10⁷(l-1/10⁵)ⁿ, до n=50, причём логарифму у₁известен. Аналогично применяются прогрессии 10⁷(1-1/2·10³)ⁿ и в особенно большом объёме 10⁷(1-1/10²)ⁿ.Числа у_п округляются, и с помощью оценки разности логарифмов близких чисел, основанной на приведенном выше неравенстве, вычисляются их логарифмы. Так Непер доходит до L5000000.

Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Ненеру, он возник из сочетания греческих слов - отношение и число, которое означало «число отношения»что напоминает о двойных, тройных, полуторных и иных целых или дробных отношениях древней и средневековой математики. Первоначально Непер пользовался другим термином: numeriartificiales- «искусственные числа» - в противоположность numerinaturales- «числам естественным».

Таблица Непера.

Таблицы, составленные Непером, гораздо обширнее и точнее таблиц Бюрги. Сверх того, Непер подарил нам новую блестящую идею: он построил

новый тип связи двух переменных, новую функциональную зависимость. Эта идея прекрасна сама по себе, как замечательное теоретическое достижение, и вместе с тем, она теснейшим образом связана с практическими вычислениями; таким образом получилось гармоническое сочетание теории и практики.

Проследим, как Непер составил свои «удивительные» таблицы. Прежде всего отметим, что таблицы Непера состоят из трёх последовательно составленных пар прогрессий, подводящих к окончательной таблице.

В отличие от таблиц Бюрги, у Непера геометрическая прогрессия не возрастает, а убывает. Знаменатель прогрессии у него ещё ближе к 1, чем у Бюрги: у Бюрги q = l + 1/10⁴ у Непера же q = l - 1/10⁷ . Таким образом, каждый последующий член ряда меньше предыдущего на одну десятимиллионную часть его. Мы получаем прогрессию, весьма медленно убывающую. Идеалом был бы непрерывно изменяющийся числовой ряд. Сначала составляется 1-я вспомогательная таблица. Берётся пара рядов: геометрическая лестница и арифметическая лестница. За нулевой член первой взято:

у₀ = 10⁷ = 10 000 000; знаменатель q = l - 1/10⁷.

Имеем: у_m = у₀q^m, где m = 1, 2, 3, ...,99,100.

Последнее число близко к целому числу 9 999 900, отношение которого к начальному числу 10⁷ есть 99999100000=1-110⁵

Непер взял дляα значение, удовлетворяющее неравенству:

1 < α < 1,000000 1000000 1.

Отсюда, умножая указанные границы величины α последовательно на 2, 3, 4, 5, ..., получим границы для 2-го, 3-го, 4-го, 5-го членов арифметического ряда.

Таким образом Непер нашёл границы для величины, соответствующей 100-му члену геометрического ряда: 100 <х₁₀₀< 100, 0000 1 0000001, так что имеет место соответствие

х₁₀₀<-->y₁₀₀ = 99 999 00, 0004950.

За приближённое значение х₁₀₀ Непер, естественно, принимает полусумvу найденных границ и получает:

х₁₀₀ (соответ. y₁₀₀ = 9999900, 0004950) = 100, 0000050. В настоящее время, пользуясь точной формулой в виде ряда, можно получить:

х₁₀₀ = 100,00000 5 000000 333.

Неперу было желательно округлить значение у и подсчитать соответствующее значение х.

После подсчёта Непер находит такой ответ:

100, 000 500 049 5.

Будем называть числа у_i геометрического ряда «обычными» числами, а соответствующие им числа x_i арифметического ряда «искусственными», или же логарифмами.

Затем Непер приступает к составлению II вспомогательной таблицы. Теперь он составляет геометрическую лестницу с большими уступами, т. е. со знаменателем q, более отличным от 1. Попрежнему за начальный член берётся число у₀ = 10⁷ ; за следующий член берётся только что найденный последний член предыдущей таблицы с округлением, т. е. число 9 999 900. Его отношение к начальному равно:

999990010000000=99999100000=1-110⁵

Это и есть знаменатель q геометрического ряда II таблицы. Эта новая прогрессия доводится до 50-го члена, т.е. до числа y0q50=107(1-1510)⁵⁰ . Результаты вычисления приведём в том виде, в каком они даны в таблицах Непера. Дело в том, что (как позднее выяснилось) Непер допустил небольшую ошибку в вычислениях, и поэтому данные им значения несколько отклоняются от тех, которые он должен был получить.

Если бы Непер не сделал ошибки, то последнее число таблицы получилось бы иным, а именно: 9 995 001, 224804. Так как все дальнейшие вычисления Непера основаны на приведённом ошибочном значении y₅₀, то оказалось, что, несмотря на всё трудолюбие Непера, последний, седьмой, знак в его таблицах неверен.

Здесь, умножая β на 50, Непер находит:

x₅₀ = 5000, 02500.

Последнее число II таблицы мало отличается от «круглого» числа 9 995 000. Поэтому и здесь Непер ищет число арифметического ряда, соответствующее круглому числу у = 9995 000. Он находит:

(у = 9 995 000) <--> (х = 5001, 2485357).

Отношение этого числа у к первоначальному 10⁷ равно

19992000=1-12000

A потому Непер имеет возможность построить новую геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1 - ¹/₂₀₀₀; при этом опять у₀ = 10⁷ .

Здесь берётся только 20 членов:

имеет место соответствие:

Находим γ • 20 = 5001,2485357 • 20 = 100024,970774.

Этому х₂₀ соответствует у₂₀ = 9900473,578080.

Переходя к «округлённому» числу у = 9 900 000, Непер получает соответствие:

(число у = 9 900 000) <--> (число х = 100 503,3210291).

Но последнее круглое число, по отношению к начальному у₀ = 10⁷ составляет долю-дробь

990000010000000=99100=1-1100

Итак, когда отношение двух «обычных» чисел у_i оказалось равным 1- 1100, то соответствующая дистанция (разность) «искусственных» чисел x_i равна 100 503,2321. Добавим ещё из предыдущего (из II таблицы), что когда отношение «обычных» оказалось равным 1- 2000, то разность «искусственных» чисел x_i равна 5001, 248.

Эти два основных результата Непер кладёт в основание последней (4-ой) фундаментальной таблицы, которую он называет Tabularadicalis. Её расположение и характер можно видеть из следующей схемы:

Начальные числа 1-го, 2-го, 3-го, ... столбцов составляют убывающий геометрический ряд со знаменателем ⁹⁹/₁₀₀ = 1 - ¹/₁₀₀ ; внутри же каждого столбца имеется прогрессия со знаменателем ¹⁹⁹⁹/₂₀₀₀ = 1 - ¹/₂₀₀₀. Дадим теперь сводную таблицу, позволяющую обозреть связь всех четырёх таблиц Непера:

Радикальная таблица доведена до числа 4 998 609,4034,близкого к половине начального числа у₀ = 10⁷. И здесь снова Непер переходит к круглому числу 5 • 10⁶ и находит соответствующее ему число х.

(обычное число у = 5 000 000) <--> (искусств, число х = 6 931 469, 22).

Вот скольких трудов стоило Неперу нахождение «искусственного» числа х, соответствующего «обычному» числу у = ¹/₂ • 10⁷ ( х - логарифм числа ¹/₂ ) . Если эту гигантскую двойную «лестницу» продолжить дальше, то можно было бы от ¹/₂ дойти до ¹/₄, при этом последнее искусственное число х удвоится, т. е.: числу у₀/4 будет соответствовать число х =2 • 6931469 = 13 862 938.

Если числа у_i дойдут до ¹/₈ у₀, то для соответствующего х получим 3 • 6931469 и т. д.

Непер имел терпение продолжить эти свои вычисления и дойти в процессе уменьшения чисел у_i до 1, т. е. до 1/ 10⁷ исходного числа. В результате получилась такая таблица:

___________________

§3 Таблицы десятичных логарифмов.

Таблицы Непера, приспособленные к тригонометрическим вычислениям, были неудобны для действий с данными числами. Во-первых, таблицы были расположены по значениям синусов от 0 до 90° и косинусов, а не по натуральному ряду чисел. Во-вторых, при действиях с числами по таблицам Непера приходилось еще оперировать сL1. Чтобы устранить эти недостатки, Непер предложил составить таблицы логарифмов, приняв за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти 10¹⁰, или, что сводится к тому же, просто единицу. Это предложение он сделал в ходе обсуждения с посетившим его в 1615 г. профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561 -1631), который и сам задумывался, как усовершенствовать таблицы логарифмов. Заняться осуществлением своего плана Непер не мог из-за пошатнувшегося здоровья, но указал идею двух вычислительных приемов, развитых далее Бригсом.

Бригс опубликовал первые результаты своих кропотливых вычислений - «Первую тысячу логарифмов» (Logarithmorumchiliasprima, Londini, 1617) в год смерти Непера. Здесь даны были десятичные логарифмы чисел от 1 до 1000 с четырнадцатью знаками. Позднее, будучи профессором в Оксфорде, он выпустил «Логарифмическую арифметику» (Aritmeticalogarithmica, Londini, 1624), содержащую четырнадцатизначные логарифмы чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000. Оставшийся пробел был восполнен голландским книготорговцем и любителем математики Андрианом Влакком (1600-1667), опубликовавшим как второе издание труда Бригса и под тем же названием (Гауда, 1628) десятизначные таблицы от 1 до 100 000 вместе с такими же логарифмами всех шести тригонометрических линий через одну минуту.

Таблицы Влакка легли в основу всех последующих, причем в них было внесено немало структурных изменений и поправок: у Влакка имелось еще 173 ошибки в первых семи знаках, а всего более 600. Избавиться от ошибок оказалось нелегким делом. Еще в известных таблицах уроженца Словении Георга Бега (1754-1802), впервые напечатанных в Вене в 1783 г. и многократно переиздававшихся вплоть до наших дней, было пять ошибок. Первые безошибочные таблицы Бега вышли в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877) в Берлине в 1857 г.

Мы не можем входить в детали двух вычислительных приемов, употребленных Бригсом. Оба они, как говорилось, восходят к Неперу. Один из них основан на том, что характеристика (термин Бригса), т. е. целая часть логарифма целого числа, на единицу меньше количества цифр в самом числе. С другой стороны, характеристика десятичного логарифма а¹⁰", где 1 < а< 10 дает четырнадцать первых знаков логарифма а. Чтобы найти эти знаки, нужно поэтому только знать количество цифр числа а¹⁰", а это возможно и без вычисления самих цифр, что было бы немыслимо. Дело в том, что число цифр произведения двух множителей равно сумме чисел их цифр или на единицу меньше, а судить, какой из двух случаев имеет место, можно по первым цифрам множителей. Так, Бригс вычислил

log2 = 0,3010299956639

Однако большинство десятичных логарифмов простых чисел Бригс нашел по-другому -- с помощью извлечении квадратных корней. Важную роль в его расчетах играло предельное соотношение, которое мы запишем в современной форме:

Inа = limn(ⁿ-1a).

Поскольку

logа=lnaln10

тоlogа≈n(ⁿa-1 m(10-1)

при весьма больших m и n. Бригc по существу пользовался такой процедурой, причем бралm и n в виде степеней двойки

Как видно, открытие Непера в первые же годы приобрело исключительно широкую известность. Составлением логарифмических таблиц и совершенствованием их занялись очень многие математики, помимо уже названных, среди них Кеплер (Марбург, 1624-1625), применивший логарифмы к построению новых таблиц движений планет (1627).

После появления ArithmeticaLogarithmicaБригга и Влакка, Trigonometria Britannica Бригга и Trigonometria Artif'icialis Влакка громадный труд вычисления первых обширных таблиц десятичных логарифмов был закончен. В дальнейшем оставалось лишь исправлять неизбежные при таких вычислениях ошибки, уменьшать объем таблиц и придавать им более удобную форму. Но при этом всегда основой служили упомянутые выше капитальные сочинения. Эти сочинения навсегда останутся памятниками необыкновенного трудолюбия двух людей, которые, располагая столь незначительными средствами, не отступили перед задачей огромной трудности. Даже теперь, когда мы располагаем столь разнообразивши и могущественными способами для вычисления логарифмов, немногие согласились бы взяться зaтруд составления таких обширных таблиц, каковы таблицы Бригга и Влакка.

Практическое значение всех этих работ было очень велико. Гигантский труд авторов таблиц и их виртуозная вычислительная сноровка заслуживают глубокого уважения.

§4 Логарифмы и площадь под гиперболой.

Около 1686 г. математику Николаю Меркатору из Голштинии случайно удалось, путём несложного преобразования, найти естественное решение задачи о площади «под» гиперболой. И до Меркатора было известно несколько решений задачи о площади «пол гиперболой», но все они были сложны и искусственны.

Гипербола,график функции у= ¹/_x .

Теперь, оставляя ось Ох прежней, перенесём ось Оу на единицу вправо в положение О₁у₁. Если точка N, взятая на гиперболе, имела раньше абсциссу ОР = х, то новая абсцисса будет О₁Р- обозначим её через z. Тогда z = x - 1 или же х = 1 + z. Уравнение нашей линии (гиперболы) у = ¹/_x принимает вид: y=1-11+z . Если, например, ОР = 1,8 ед. логарифм обозначем как11,81xdx, то теперь мы должны его обозначить как 00,811+zdz ,так как новая абсцисса z изменяется, от значения 0 до значения 0,8. И вот Меркатор (в этом решающий шаг!) привлекает формулу суммы убывающей геометрической прогрессии. А именно, 1-z+z²-z³-z⁴-z⁵+… до беск = 11+2

Казалось бы эта формула нужна для того, чтобы сложное выражение бесконечной суммы преобразовать в простое, стоящее справа. Меркатор же, наоборот, заменяет простую дробь ¹/_1+z бесконечным знакопеременным рядом, расположенным по степеням буквы z. Он получает:

пл «под» гиперболой (логарифм) = 00,81-z+z8-z³+…)dz

Стоящий справа знак интеграла, означает площадь, а уравнения

у = 1, у = -z, у = z², у = -z³, ...

означают параболы последовательных степеней. Итак, «ключ» Меркатора, который он применил для открытия незнакомой замкнутой шкатулки - это замена площади гиперболы рядом площадей последовательных парабол.

Во времена Меркатора формула площади для параболы

0bxⁿdx=1n+1bⁿ⁺¹ была уже хорошо известна. Что же касается того, что ряд парабол тянется неограниченно далеко (до бесконечности), то Меркатор об этом мало беспокоился. Примерно через 150 лет после него математикам стоило многих трудов доказательство того, что при этом переходе сразу к несметному множеству площадей парабол мы не совершаем ошибки, одним словом, логически-строгое доказательство далось нелегко. Но в ту эпоху, когда жил Меркатор, можно было не входить в эти тонкости и беззаботно попеременно прибавлять и вычитать площади последовательных парабол:

00,811+zdz=00,81•dz-00,8z•dz+00,8z²•dz-00,8z³•dz•dz+…=0,8-0,8²2+0,8³3-x0,8⁴4+ 0,8⁵5-…кв.ед

Эти последовательные площадки под параболами у = z⁰, у = z¹, у = z², у = z³, ..., у = z⁹ . Конечно, значение z = 0,8 взято лишь в качестве примера. Можно написать в общем виде:

площадь «под» гиперболой [1…1+z]=z-z²2+z³3-z⁴4+ z⁵5-…

Но слева мы имеем, , log (1 +z). Окончательная формула такова:

log(1+z)= z-z²2+z³3-z⁴4+ z⁵5-…

или изменяя букву

log(1+x)= z-x²2+x³3-x⁴4+ x⁵5-…

§5Теория логарифмов у Эйлера.

Теория Эйлера: Отправным пунктом ее служит определение логарифма как функции, обратной показательной, так что у = In х, если х = е^y, причем х = 0. Средством исследования является разложение на действительные множители двучленов аⁿ ±zⁿ,. В частности, двучлен аⁿ - zⁿ разлагается при нечетном n в произведение z и (n - 1)/2 трехчленов

a² - 2 azcos2knπ+z² а при четном n - в произведение (а -z)(a + z) и (n -2)/2 такого же вида трехчленов, причем 2к принимает значения 2, 4, 6,... в числе, соответствующем показателю n.

Эйлер представляет комплексное число х = а + b -1 в тригонометрической форме с (cos φ + -1sinφ ) или e^c (cosφ +-1 sinφ ); тогда ln х = С + ln (cos +φ -1sinφ ), в этих выражениях с = а + b², С = ln с, cosφ = а/с,

sinφ = b/с. Если обозначитьu = ln (cosφ + -1 sin φ), то cosφ+ -1 sin φ = е^uможно записать как (1+ u/n)ⁿ, n=∞; с другой стороны, cosφ + -1 sinφ = =^e√-1=(1+φ-1n)ⁿn =∞так получается двучленное уравнение бесконечно высокой степени

(1+un)ⁿ-(1+φ-1n)ⁿ=0

левая часть которого раскладывается на бесконечное количество множителей вида а² - 2az cos2k/nπ +z², где a=1+un, z = 1+φ-1n.Приравнивая каждый из этих множителей нулю, разлагая на линейные, а также учитывая, что =cos2kπn=1иsin2kπn=sin2kπn,Эйлер находит, что

1+ un =(1+φ-1n)(1+2kπn-1)

и, отбрасывая после перемножения в правой части бесконечно малое слагаемое высшего порядка, что

u= ln (cosφ +-1 sinφ) = (φ ± 2kπ) -1 окончательно

ln(a+b-1) = C + (φ ± 2kπ) -1,

где к - любое натуральное число или нуль, а С и ф имеют ранее указанные значения.

Таким образом, Эйлер подтвердил принципиальную правоту Лейбница, доказав, что логарифмы отрицательных чисел мнимы, но при этом он впервые установил точную математическую форму этой мнимости, а заодно показал, что понятие логарифма распространяется на любые комплексные числа (кроме нуля). Оказалось, что логарифм всякого отличного от нуля числа имеет бесконечно много комплексных значений, причем для положительных чисел одно из этих значений действительное, логарифмы же остальных чисел действительных значений вовсе не имеют.

Теория логарифмов Эйлера произвела сильное впечатление на современников, хотя не все смогли оценить ее по достоинству. Даламбер более чем через десять лет после прекращения письменной полемики с Эйлером выступил с прежними и новыми возражениями в работе, помещенной в первом томе его «Математических сочинений», и вновь подтвердил свою точку зрения в статье «Логарифмы» (Logarithmes) в 20 томе «Энциклопедии» (1778). Имелись и другие ученые, сомневавшиеся в теории Эйлера или пытавшиеся эклектически примирить разногласия, но их число было невелико. В конце века Монтюкла писал, что если в математике можно судить по большинству голосов, то взгляды Лейбница и Эйлера взяли верх над воззрениями И. Бернулли и Даламбера и что «наиболее знаменитые геометры Франции приняли точку зрения Эйлера на мнимые логарифмы .

§6Спор о логарифмах отрицательных чисел.

Между Лейбницем и Бернулли возникла дискуссия о природе логарифмов отрицательных чисел. В 1712 г. Лейбниц выступил в «ActaEruditorum» со статьей, в которой он высказал мнение что логарифм числа -1 не истинный, а мнимый (imaginarius). Кроме того, если бы логарифм - 1 был действительный, то его половина, т. е. логарифм мнимого числа -1, также была бы действительной, а это бессмысленно. И. Бернулли не согласился с доводами Лейбница, и с весны 1712 г. до лета 1713 г. они вели между собою письменный спор. Бернулли полагал, что логарифмы отрицательных чисел действительны и притом log (-) = log , так что логарифм -1 есть нуль.

Ведь из тождества dlog (-x) = dlog и поэтому log(-x)

= logx И. Бернулли выдвигал и другие аргументы, например, что интегральные кривые уравнения dx = dy/yⁿ при нечетном n, симметричны относительно оси абцисс и, значит, так же должно обстоять дело при 'n = 1, поэтому логарифмическая кривая состоит из двух симметричных ветвей х = log у и х = log (-у), причем log (-у) = log у. Кроме того, log (-а)² = log (+ а)² и, следовательно, 2 log (-а) = 2 log (+a), т. е. log (-а) = log (+а).

Позиция И. Бернулли не изменилась и позднее, при письменном обсуждении с Эйлером в 1727-1728 гг. вопроса о графике функции у = (-1)^x и в связи с этим о логарифмах отрицательных чисел. Эйлер 21 декабря 1728 г. сделал важное возражение против аргументации своего учителя. Из дифференциального равенства d log (-х) = d log х следует только, что log (-х) =log х + С, где С = log (-1), но допущение log (-1) = log 1=0 приводит к противоречиям. Последовательно применяя метод самого И. Бернулли , Эйлер получил - в иных обозначениях - формулу

x=12-1 lncos x+-1 sinx cosx- -1 sinx

а из нее при х = π/2 вывел, что ln(- 1) = π-1. Последующие рассуждения И. Бернулли, стремившегося согласовать свою точку зрения со следствиями, извлеченными из его собственного метода Эйлером, были неясными, и корреспонденты, в конце концов, перешли к обсуждению других проблем.

Все эти споры были неминуемы, пока понятие о логарифме и его свойствах долгое время было столь же нечетким, как понятие мнимой величины. Логарифм выступал то как показатель некоторой прогрессии, то как гиперболическая площадь, то в чисто аналитической форме как интеграл или как функция, заданная степенным рядом,- полагая в разложении

ln (1+x) = xx²2=-x33-. . . значение х = -2, Лейбниц вновь заключал, что логарифм -1 не может быть нулем. Связи между этими различными подходами и границы применимости каждого были изучены недостаточно; кроме того, как и в других случаях, свойства одной категории величин механически переносились на другие, в данном случае с логарифмов положительных чисел на отрицательные. Когда Лейбниц утверждал, что логарифмы отрицательных чисел мнимы, он, в известном смысле, был прав, носамтермин «мнимые» был при этом еще более неопределенным, чем в применении к корням алгебраических уравнений.

В 1745 г. спор Лейбница с И. Бернулли о логарифмах стал широко известен благодаря изданию их переписки Крамером. Вскоре затем дискуссия возобновилась в переписке Даламбера с Эйлером за 1747 и 1748 гг. В исследовании комплексных величин эти два великих ученых шли параллельно, и часто их исследования переплетались, но в вопросе о логарифмах отрицательных чисел они разошлись. Даламбер принял сторону И. Бернулли и так до конца не согласился с Эйлером, который, рассеяв туман, окутывавший проблему, построил учение о логарифмической функции в комплексной области. Основные свои положения Эйлер изложил в письме к Даламберу от 15 апреля 1747 г., а 7 сентября он представил Берлинской академии статью «О логарифмах отрицательных и мнимых чисел», названная статья увидела свет лишь при публикации эйлерова научного наследия в 1862 г., а сам он напечатал переработанный вариант ее «О споре между гг. Лейбницем и И. Бернулли о логарифмах отрицательных и мнимых .

§7Логарифмы комплексной области

.

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма.

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что e^z = w. Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

,

то логарифм находится по формуле:

Здесь - вещественный логарифм, r = | w | , k - произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале ( − π,π]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

• Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

• Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями. Пример такой связи:

Приведём главное значение логарифма для некоторых аргументов:

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

iπ = ln( − 1) = ln(( − i)²) = 2ln( − i) = 2( − iπ / 2) = − iπ - явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа - значение из нижележащей ветви (k = − 1). Причина ошибки - неосторожное использования свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

. Комплексный логарифм (мнимая часть)

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая Γ начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке w кривой Γ можно определить по формуле:

Если Γ - простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например

Если разрешить кривой Γ пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

Для любой окружности S, охватывающей точку 0:

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов</<font face="Times New Roman, serif">.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведенного ряда (1), обобщённого на случай комплексного аргумента. Однако из вида разложения следует, что в единице он равен нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма.