Методическая разработка урока математики 5 кл. 'Решение комбинаторных задач. Метод графов'

МБОУ Кадетская школа №43 имени майора милиции А.Коврижных г. Липецка

Методическая разработка

Урок математики в 5 классе

Решение комбинаторных задач. Метод графов.

(с кадетской составляющей)

Умникова Светлана Михайловна

учитель математики

г. Липецк

2014-2015 уч.год

Тема урока: Решение комбинаторных задач в 5 классе. Метод графов.

Цель урока: сформировать навыки решения комбинаторных задач с применением метода графов.

Представленный урок не только обеспечивает условия для формирования личностных, метапредметных (познавательных, регулятивных, коммуникативных) УУД, но и развития информационно-интеллектуальной компетентности.

Задачи урока:

Образовательные:

• Развитие умения решать комбинаторные задачи, применяя метод графов;

• Выработка умения применять математическую теорию в конкретных ситуациях.

Развивающие:

• Развитие умения самостоятельно выбирать способ решения и умения обосновать выбор;

• Развитие умения решать задачи путём только логических рассуждений;

• Развитие коммуникативных и творческих способностей учащихся;

• Развитие умения делать выбор рационального способа решения.

Воспитательные:

• Прививать сознательное отношение к труду;

• Воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы;

• Прививать сознательное отношение к труду.

Кадетская составляющая:

Познакомить кадетов с историческими комбинаторными задачами, решение которых основано на методе графов.

Оборудование:

• интерактивная доска;

• шаблоны шахматной доски,

• цветные кружочки.

Ход урока.

1. Организационный момент. Результатом этого этапа является самоопределение школьника, основанное на желании осваивать учебный материал, на осознании потребности его изучения и постановки личностно значимой цели деятельности.

Презентация к уроку «Метод графов»

Учитель: Здравствуйте, ребята!

Слайд 1-2. Очень часто в жизни приходится делать выбор, принимать решение. Это сделать очень трудно, не потому что выбора нет, а потому что приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.

2. Актуализация темы и мотивация.

Каждый блок представляет цикл пошагового выполнения учебных заданий по освоению конкретного содержания и включает:

на 1 шаге - организацию деятельности учащихся по освоению учебной информации на уровне «знания» - освоение отдельных терминов, понятий, высказываний;

на 2 шаге - организацию деятельности учащихся по освоению этой же учебной информации на уровне «понимания»;

на 3 шаге - организацию деятельности учащихся по освоению этой же учебной информации на уровне «умения»;

на 4 шаге - организацию деятельности учащихся по предъявлению результата освоения этой же учебной информации данного блока.

Задачи, которые мы сегодня будем решать, помогут вам творить, думать необычно, оригинально, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая.

И еще сегодня в очередной раз убедимся, что наш мир полон математики и продолжим исследование на предмет выявления математики вокруг нас.

Слайд 3. Термин "граф" впервые появился в книге венгерского математика Д. Кенига в 1936 г., хотя начальные важнейшие теоремы о графах восходят к великому Леонарду Эйлеру.

Слайд 4. Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. В процессе решения задач математики заметили, что удобно изображать объекты точками, а отношения между ними отрезками или дугами.

Слайд 5. С дворянским титулом «граф» метод графов связывает только общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу.

Слайд 6. В математике определение графа дается так: Графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа (заданные элементы комбинаций), а соединяющие линии - рёбрами (возможные комбинации).

3. Кадетская составляющая.

На третьем этапе «Интеллектуально-преобразовательной деятельности» для выполнения ситуативного задания, учащиеся выбирают уровень выполнения (информативный, импровизационный, эвристический), способ деятельности (индивидуальный или коллективный) и самоорганизуются для выполнения ситуативного задания. Самоорганизация включает: планирование, выполнение и предъявление варианта решения. Результатом этого этапа является выполнение и представление ситуативного задания.

Учитель: Основы теории графов как математической науки заложил в 1736 г. Леонард Эйлер, рассматривая задачу о Кенигсбергских мостах. Сегодня эта задача стала классической.

Предлагаю вам сегодня почувствовать себя великими математиками и попробовать найти решение этой задачи.

Слайд 9. Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) стоит на реке Преголь. Некогда там было семь мостов, которые связывали между собой и с берегами два острова. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены. Жители города заметили, что они никак не могут совершить прогулку по всем мостам, пройдя по каждому из них ровно один раз.

Слайд 10. Так возникла задача-головоломка: «можно ли пройти все семь Кенигсбергских мостов ровно один раз и вернуться в исходное место?»

Ученикам предлагается рассмотреть варианты и решить, возможно ли это? Пробуют «пройти» по мостам. Дискутируют: возможно - невозможно.

Слайд 11. В 1735 году задача стала известна Леонарду Эйлеру, который выяснил, что пройти по Кенигсбергским мостам, соблюдая заданные условия, нельзя.

В 1905 году был построен Императорский мост, который был впоследствии разрушен в ходе бомбардировки во время Второй мировой войны. Существует легенда о том, что этот мост был построен по приказу самого кайзера, который не смог решить задачу мостов Кёнигсберга и стал жертвой шутки, которую сыграли с ним учёные умы, присутствовавшие на светском приёме (если добавить восьмой мост, то задача становится разрешимой). На опорах Императорского моста в 2005 году был построен . На данный момент в Калининграде семь мостов, и граф, построенный на основе островов и мостов Калининграда, по-прежнему не имеет эйлерова пути.

Прохождение по всем мостам при условии, что нужно на каждом побывать один раз и вернуться в точку начала путешествия, на языке теории графов выглядит как задача изображения «одним росчерком» графа.

Слайд 12. Граф можно начертить «одним росчерком» тогда и только тогда, когда он содержит не более 2 нечетных вершин, причем маршрут начинается в одной из таких вершин и заканчивается в другой. Но, поскольку граф на этом рисунке имеет четыре нечетные вершины, то такой граф начертить «одним росчерком» невозможно.

Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым.

Детям предлагается начертить любой граф одним росчерком, не отрывая карандаш от бумаги и не проходя по одной линии два раза.

Слайд 13. Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.

Физкультминутка. Слайд 14.

Слайды 15-25. Применение графов очень широко.

Ученики узнают графы на слайдах, называют сферы их применения.

А теперь давайте решим задачи.

Слайды 26-27. Нарисуйте в тетради граф, состоящий из четырех одноклассников по заданным комбинациям.

Один ученик вызывается к доске, рисует. Затем сверяем полученные графы.

Слайды 28-31. Выбираем правильный граф.

Слайды 32-33. Задача о космических рейсах.

Слайд 34. Задача о шахматном коне. Работа в парах. Ученикам раздаются шаблоны шахматных досок, на которых они пробуют разместить числа от 1 до 25 «ходом шахматного коня». Первые две-три успешные пары поощряются.

Слайд 35. Выводы. Графы - это замечательные математические объекты, с помощью которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике.

Графы используются при составлении карт и генеалогических древ. В математике даже есть специальный раздел, который так и называется: «Теория графов».

4. Рефлексия. На четвертом этапе «Рефлексивной деятельности» соотносится полученный результат с поставленной целью и проводится самоанализ и самооценка собственной деятельности по выполнению ситуативного задания в рамках изучаемой темы. Результатом является умение анализировать и оценивать успешность своей деятельности.

Что нового вы узнали на уроке?

С каким методом решения комбинаторных задач вы познакомились?

Если вам понравился урок и задания, поднимите зеленый кружочек.

Если все было понятно, поднимите желтый кружочек.

Если возникли трудности, поднимите оранжевый, если было очень сложно и непонятно - красный.

5. Подведение итогов. Выставление отметок

Спасибо за работу!

Литература:

1. Математика: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. - М.: Вентана-Граф, 2012-2013.

2. Математика: 5 класс: дидактические материалы: сборник задач и контрольных работ / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. - М.: Вентана-Граф, 2013.

3. Е.А.Бунимович, В.А. Булычев. Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы: лекции 1- 4, 5 - 8. - М.: Педагогический университет "Первое сентября", 2006.

4. Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учебник для общеобразоват. учреждений/ Н.Я.Виленкин и др. - М. : Мнемозина, 2009.

5. Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса. СПб: СМИО. Пресс, 2006.

.