Методическое пособие Математические методы в психологии для студентов-психологов

ФГАОУ ВО «КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени В.И. Вернадского»

ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

(ФИЛИАЛ) В Г. ЯЛТЕ

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

Бубнова А.А.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ПСИХОЛОГИИ

для студентов по специальности «Психология»

Ялта, 2016

УДК 51-7:159.9

ББК 88в 641

Б 90

Рекомендовано ученым совета Гуманитарно-педагогической академии (филиал) «Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского» от «8» декабря 2015 года (протокол № 11)

Бубнова А.А.

Б 90 Математические методы в психологии. / Бубнова А.А.:

Методическое пособие. - Ялта: РИО ГПА, 2016. - 56с.

Данное пособие предназначено для студентов педагогических специальностей, для студентов-бакалавров по специальности «Психология», учителей школ и преподавателей вузов. Пособие содержит программный материал по математическим методам в педагогике. Может быть использовано для подготовки к экзамену по дисциплине «Математические методы в психологии».

Рецензенты:

Орлов В.Н., доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, теории и методики обучения математике Гуманитарно-педагогической академии (филиал) в г. Ялте «Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского».

Овчинникова М.В., кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, теории и методики обучения математике Гуманитарно-педагогической академии (филиал) в г. Ялте «Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского».

ББК 88в 641

©Бубнова А.А., 2016 г.

©Гуманитарно-педагогическая академия (г. Ялта), 2016 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

1.Общие и специальные методы, используемые в

педагогических исследованиях 4

2.Методика разработки программы педагогического эксперимента 7

3.Методика анализа данных педагогического эксперимента 8

4.Основные методы количественной оценки педагогических явлений 12

4.1.Классификация задач и методов их решения

4.2.Q - критерий Розенбаума

4.3.U - критерий Манна-Уитни

4.4.G - критерий знаков

4.5. - критерий Пирсона

5.Выводы по эксперименту 38

6.Контрольная работа 40

7.Приложение 42

7.1.Таблицы

7.2.Темы рефератов

7.3.Вопросы к зачету

Литература 53

ВВЕДЕНИЕ

Курс математические методы в педагогических исследованиях призван способствовать у студентов подлинного научного мировоззрения, способности глубже понять роль и место статистических закономерностей в научной картине мира, помочь лучше уяснить взаимосвязи естественно-научных предметов между собой и связь их с задачами предстоящей исследовательской деятельности (в частности, с задачами прогнозирования, а также обработки и анализа результатов научно-исследовательской работы).

В состав пособия включены следующие темы: основные методы статистического исследования, понятие об основных методах количественной оценки педагогических исследований, методика разработки программы педагогического эксперимента, а также представления о числовых характеристиках выборки.

Для успешного изучения этого курса студент должен, прежде всего, проверить свои знания по математике и теории вероятностей, полученные в школе и, в дальнейшем, в университетском курсе математики.

Статистические методы применяются при массовых наблюдениях явлений и вместе с тем они выявляют закономерности и порядок на основе имеющихся отдельных фактов, наблюдений и измерений. Строго говоря, математическая статистика - это наука о методах количественного анализа массовых явлений, учитывающая одновременно и качественное своеобразие этих явлений. Цель любой науки - познание общих закономерностей, позволяющее предвидеть течение явлений и выбирать рациональные пути поведения в типичных ситуациях. И это в полной мере относится и к математической статистике.

Заметим, что в каждой области человеческих знаний применяются свои статистические методы. Данное пособие ориентировано на широкий круг исследователей, проводящих свои эксперименты в области педагогики.

При составлении пособия автор использовал материал, опубликованный в работах Ильиной Т.А., Павлова Ю.В., Озеран Л.Г., Игнатенко Н.Я.

1.Общие и специальные методы, используемые в педагогических исследованиях

При изучении педагогических явлений применяют различные методы исследования.

Метод - в самом общем значении - способ достижения цели, представляющий собой определенным образом упорядоченную деятельность. Для ведения педагогических исследований обычно применяется ряд общенаучных и специальных методов, рассматриваемых здесь в соответствии с двумя направлениями научного поиска, часто совпадающими с двумя этапами в научно-исследовательской работе. Речь идет о:

- методах работы с литературой;

- методах исследования реально существующего или специально организуемого практического опыта.

Как правило, исследование любой педагогической проблемы начинается с изучения литературы. Работа с литературными источниками предполагает использование таких общенаучных методов, как составление библиографии, аннотирование, реферирование, конспектирование, выписывание данных и цитат. Выбор метода работы с литературными источниками зависит от цели работы: некоторые книги и статьи внимательно изучаются, другие - просто прочитываются, третьи - лишь просматриваются.

Изучение литературы (всех ее видов или только части их) необходимо для более четкого представления методологии исследования и определения общих теоретических позиций, а также выявления степени научной разработанности данной проблемы. Всегда важно выявить, насколько и как эта проблема освещена в общих научных трудах и специальных работах по данному вопросу, отражающих результаты соответствующих исследований. Исследователь при этом узнает, какие стороны проблемы уже достаточно хорошо разработаны, по каким вопросам ведутся научные споры, сталкиваются разные научные концепции и идеи, что уже устарело, какие вопросы еще не решены, и на основании этого определяет область своего исследования. Изучение литературы, описывающей тот или иной опыт, вооружает исследователя также некоторыми конкретными данными, научными фактами.

Огромное значение для решения большинства проблем педагогики имеет изучение складывающегося учебно-воспитательного процесса, теоретическое осмысление и переработка творческих находок практических работников, обобщение и пропаганда передового опыта. В этих целях применяются такие методы, как наблюдение, беседа, анкетирование, изучение письменных графических и творческих работ обучаемых, педагогической документации.

Наблюдение представляет собой целенаправленное восприятие какого-либо педагогического явления, с помощью которого исследователь вооружается конкретными фактами. Часто наблюдение дополняется беседой.

При анкетировании - методе массового сбора информации с помощью анкет - ответы на вопросы записывают те, кому адресованы анкеты.

Эффективность беседы, интервьюирования, анкетирования - трех основных методов выявления суждений, отношений, оценок и сбора другого интересующего исследователя фактического материала - во многом зависит от содержания и формы задаваемых вопросов, тактичного объяснения их цели и назначения. В частности, рекомендуется, чтобы вопросы были посильными, однозначными, краткими, ясными, объективными, т. е. не содержали бы в скрытом виде внушения, вызывали бы интерес и желание отвечать и т. п.

Другой метод сбора фактических данных - изучение педагогической документации, характеризующей учебно-воспитательный процесс в том или ином учебном заведении (журнала учета успеваемости, посещаемости ,личных дел и медицинских карт обучаемых и т. д.).

Наиболее важный этап в работе с применением указанных выше методов - анализ и научная интерпретация собранных данных, умение исследователя от конкретных фактов перейти к более общим выводам, а в некоторых случаях даже дать прогноз развития интересующего его процесса.

Однако для того, чтобы судить об эффективности тех или иных педагогических взаимодействий или ценности методических находок, сделанных практическими работниками, а тем более для того, чтобы давать какие-либо рекомендации относительно применения тех или иных нововведений в массовой практике, рассмотренных методов недостаточно, так как они улавливают в основном лишь чисто внешние связи между отдельными сторонами изучаемого педагогического явления.

Поэтому значительное внимание уделяется педагогическому эксперименту - специальным образом организованной проверке того или иного метода или приема для определения его эффективности. В отличие от изучения реально сложившегося опыта с применением методов, регистрирующих лишь то, что уже существует, эксперимент всегда предполагает создание нового опыта, в котором активную роль должно играть предполагаемое и проверяемое нововведение.

Одно из основных условий применения педагогического эксперимента в школе - проведение его без нарушения нормального хода учебного процесса, когда есть достаточно оснований полагать, что проверяемое нововведение может способствовать повышению эффективности обучения и воспитания или хотя бы не вызовет нежелательных последствий. Такой эксперимент называется естественным экспериментом.

Научно обоснованное предположение о возможной эффективности того или иного проверяемого экспериментального нововведения называется научной гипотезой. Таким образом, ясно, что в основе педагогического эксперимента всегда лежит научная гипотеза, а сам эксперимент проводится с целью ее проверки. Если она выведена лишь на основании теоретического анализа и рассуждений и не имеет пока опоры в реальном опыте, то создание этого опыта в соответствии с выдвигаемым теоретическим положением может быть названо созидающим экспериментом.

Первый этап эксперимента, когда изучается лишь общая реакция обучаемых на нововведение, а также выявляется отношение к исследованию преподавателя, называется поисковым, или разведывательным экспериментом. Иногда его называют констатирующим экспериментом. В ходе констатирующего эксперимента исследователь также выявляет уровень овладения обучаемыми теми разделами программы, на которые он будет опираться в ходе проведения экспериментальной работы.

По получении предварительных данных, подтверждающих вероятность и обоснованность выдвигаемой гипотезы, возможно проведение сравнительного эксперимента, т. е. такого эксперимента, когда в одном классе (или с одной группой обучаемых) работа проводится с применением нового метода, а в другом - при прочих примерно равных условиях - работа ведется как обычно.

Данные сравнительного эксперимента могут считаться надежными лишь тогда, когда обеспечена максимальная эквивалентность условий работы с обучаемыми обеих групп. Например, занятия ведутся одним преподавателем, в одну и ту же смену, класс или группа примерно одинакового состава по успеваемости и другим показателем, характеризующим познавательные процессы и т. п. Различными должны быть лишь сравниваемые методы или приемы работы.

Существенную часть эксперимента составляет наблюдение, проводимое по специально разработанной программе, а также сбор определенных данных, для чего применяются контрольные работы, анкеты, беседа и т. д. В последнее время невозможно себе представить педагогические исследования без привлечения технических средств, особое место среди которых занимает компьютер.

Очень важен в научном отношении этап анализа собранных данных, их теоретического осмысления и обобщения. На этом этапе экспериментатор старается отделить случайное и частное от необходимого и существенного, стремясь обнаружить регулярность или порядок, которому следует целая масса индивидуальных случаев, вскрыть внутренние связи между ними, установить некоторую закономерность. При проведении такого анализа данных экспериментатор также ищет причины, объясняющие появление некоторых неожиданных, непредвиденных результатов, определяет условия, при которых наступило то или иное явление, стремится отделить то специфическое, что могло оказать влияние лишь в данном конкретном случае и что нетипично для других и т. п. Для проведения анализа данных и их интерпретации составляются таблицы, вычерчиваются диаграммы, графики, кривые зависимостей. Об этом подробно пойдет речь далее.

2.Методика разработки программы педагогического эксперимента

Рассмотрим последовательно основные действия исследователя, приступающего к разработке программы экспериментальной части своей работы:

а)прежде всего, необходимо решить вопрос о необходимости этой экспериментальной части;

б)далее решается вопрос о выдвижении научной гипотезы, которая должна быть положена в основу эксперимента. Гипотеза называется научной и должна быть научной потому, что, хотя она и может содержать элемент догадки, интуитивной веры в возможность положительный эффект, она должна базироваться на определенных научных данных, подкрепляться теоретическими доводами или умозаключениями;

в)следует продумать вопрос о том, какие потребуется применять виды эксперимента; решение вопроса о видах и типах эксперимента зависит от ряда моментов: от цели и конкретной задачи исследования, этапа работы исследователя над проблемой, используемых средствах для решения проблемы и т. д.;

г)планирование эксперимента включает в себя также выбор и оценку общих условий его проведения: средства для его ведения, место его проведения, обучаемых, преподавателя;

д)особо следует выделить оценку и правильный отбор уравниваемых и варьируемых условий эксперимента.

Уравниваемыми условиями проведения эксперимента называются условия, обеспечивающие сходство и неизменность протекания эксперимента в контрольных и экспериментальных классах.

Классический принцип проведения экспериментального исследования исходит из предположения о том, что в ходе эксперимента меняется - варьируется - лишь одна переменная при сохрани постоянными всех остальных. Варьируемыми условиями называются точно определяемые и сопоставимые условия, подлежащие изменению с целью экспериментального сравнения с аналогичными условиями в контрольных группах. Самое основное в этой работе - точное и четкое выделение того, что подлежит экспериментальной проверке и сравнению.

Составление собственно программы эксперимента включает в себя общую часть, связанную с постановкой конкретных задач, гипотез, определением методов получения экспериментальных данных, и частные программы работы участников эксперимента: учителя (или самого экспериментатора), ведущего занятия как в экспериментальном, так и в контрольном классах, наблюдателя или помощника, ведущего наблюдения, делающего по ходу занятия необходимые отметки.

Общие задачи и методика организации эксперимента должны найти отражение в развернутом плане-программе эксперимента, куда могут быть занесены основные необходимые экспериментатору.

3.Методика анализа данных педагогического эксперимента

Анализ данных беседы

Особое значение имеют данные, сообщенные в ходе беседы учителем, участвующем в эксперименте, проводившем занятие по предложенной методике.

Следует отметить, что замечания предубежденного учителя имеют особую ценность, так как он скорее увидит слабые места или недоработки в новой методике, нежели увлеченный данной идеей учитель-энтузиаст, сам горя стремящийся к успеху.

Анализ результатов беседы (или отзыв) можно оформить в виде рабочей таблицы такого примерно вида:

Анализ ответов на вопросы анкеты

Поскольку с помощью анкет можно собрать большой материал, он требует и количественной обработки, и проведение тщательного качественного анализа.

Количественный анализ должен быть направлен в первую очередь на анализ негативных суждений (выявление их причин и принятие решений о необходимости изменения тех или иных частей программ). Положительные же суждения используются как материал, подтверждающий гипотезу.

При проведении экспериментальной проверки в разных местах большую наглядность этим данным придает сведение их в общие таблицы: в этих случаях виднее становится совпадение данных, а также разброс отдельных данных, который носит случайный характер или объясняется какими-либо причинами, характерными лишь для данных условий проведения эксперимента.

Анализ результатов контрольных работ

Особое значение имеет сбор и интерпретация данных, полученных на контрольных работах (текущих, итоговых, отсроченных). Для экспериментатора огромное значение имеет количественный и качественный анализ всех допущенных ошибок. Надежность и информированность этих данных во многом зависит от того, что и как проверялось, т. е. адекватны ли вопросы и задания содержанию, целям и задачам обучения, так ли они поставлены, то ли они выявляют, что действительно может служить показателем усвоения знаний. Поскольку это действительно вопрос, представляющий весь смысл проверки качеств усвоения, остановимся очень кратко на некоторых основных положениях, связанных с методикой проведения контрольных работ.

В настоящее время очень распространено выделение в учебном материале небольших единиц, усвоение которых затем проверяется дифференцированно в зависимости от их значимости и весомости. Такими единицами могут быть новые понятия, вводившиеся в процессе изучения темы или раздела, по которому дается контрольная работа, отдельные умения или навыки, формирующиеся при изучении данной части учебного материала. Необходимо отметить, что для осуществления правильного подбора заданий, проверяющих действительное усвоение самого главного и существенного, важно проведение предварительной оценки каждой из выделенных единиц учебной информации. Эта оценка производится с учетом их значимости и весомости в общей системе знаний, умений и навыков по данной учебной дисциплине.

Эта значимость определяется с точки зрения:

а)значение для усвоения последующих тем и разделов курса или других, связанных с ним, курсов;

б)практического значения;

в)содержащихся в них трудностей для усвоения.

В результате каждой из единиц может быть дана соответствующая ориентировочная оценка, относящая их к определенной категории, т. е. это могут быть единицы, знание которых: абсолютно необходимо (1), полезно и необходимо (2), полезно, но не существенно необходимо (3). Естественно, при контроле главное внимание должно быть обращено на проверку усвоения единиц знаний, относимых к 1 и 2 категориям. Ряд исследователей вводят числовые коэффициенты «веса» заданий, соответствующих важности, значимости проверяемых с их помощью знаний, которые затем учитываются при подсчете числовых характеристик правильных и неправильных ответов. Если такие «веса» не вводятся, должна быть соблюдена определенная пропорция в количестве заданий, проверяющих более значимый материал. Для большей надежности проверки знаний можно вообще не давать заданий на проверку усвоения единиц учебной информации, отнесенных лишь к 1 и 2 категориям.

При сборе массовых данных контроля при эксперименте большое значение имеет и форма, в которой даются контрольные задания. При ограниченном числе испытуемых задания, направленные на проверку усвоения самого основного и существенного, могут даваться в любой форме, т. е. могут требовать развернутых ответов, обоснований и т. п. При сборе массового материала большой популярностью пользуются тесты или задания тестового типа, т. е. требующие краткого ответа, или выбора ответа из числа данных. При проведении контрольных работ-тестов возможно использование некоторых простейших приспособлений для убыстрения подсчета числа правильных или неправильных ответов, однако неоценимую помощь в этом могут оказать средства вычислительной техники. Кроме того, благодаря сокращению времени, затрачиваемого на запись ответа, можно за единицу времени дать больше заданий, с помощью можно глубже и полнее проверить усвоение знаний, охватить разные их связи и зависимости. Значение имеет, конечно, как сама формулировка задания, так и подбор вариантов, предлагаемых на выбор. Необходимо учитывать, что в числе вариантов ответов, даваемых на выбор, не должно быть абсурдных, нелепых, нелогичных ответов, ответов, содержащих ложную информацию, которая может непроизвольно остаться в памяти учащегося. Важно также проверить, чтобы формулировки контрольных заданий соответствовали в основном формулировкам заданий в упражнениях, чтобы в них не было ничего неожиданного для обучаемых.

Таким образом, при подборе контрольных заданий экспериментатор исходит из того, что задания должны проверять усвоение самого существенного и значимого в изученном материале, быть нацеленными на выявление определенных аспектов и характеристик знаний, умений и навыков и при использовании методики тестового контроля должны соответствовать основным требованиям к подбору вариантов ответов, предлагаемых на выбор.

Методика анализа ошибок

Огромное значение для выявления рассмотренных выше показателей и характеристик усвоенных знаний и сформированных умений и навыков имеет работа по анализу ошибок, допускаемых учащимися в контрольных работах. При правильном подборе и заранее продуманной нацеленности заданий некоторые характеристики выявляются сразу же при изучении ответов.

Количество ошибок служит важным показателем для выявления, как качества усвоения знаний, так и эффективности предлагаемой методики. Например, отсутствие ошибок в ответах на определенные задания может свидетельствовать не только о хороших знаниях обучаемых, но и служить сигналом о том, что задания - слишком легкие. Отдельные ошибки чаще всего носят случайный характер, но могут свидетельствовать о каких-либо пробелах в знаниях тех или иных учащихся, а также о каких-либо характерных особенностях протекания у них различных познавательных процессов.

Появление ошибок в ответах по тому или иному вопросу у многих обучаемых свидетельствует о какой-то закономерности, причиной появления которой может служить: недостаточная проработанность учебного материала; неточности в формулировке заданий; нечеткость исходных данных или даже какие-либо технические причины. В ряде случаев ошибки могут быть вызваны особенностями психологии восприятия или других психических процессов, связанных с познавательной деятельностью обучаемых. Приведем примеры некоторых типовых ошибок с указанием причины их появления.

Так, встречаются ошибки привычности. Например, при переходе от сложения к умножению может иметь место сложения множителей: Ошибки устойчивости проявляются в повторении или добавлении ранее встречающейся буквы, цифры. Например, Распространены ошибки сходства, проявляющиеся в неумении дифференцировать сходные буквы, знаки. Например, путают буквы Ъ и Ь, знаки и т. д. Эти последние ошибки во многом проистекают и от методики обучения. Важно также предупредить появление и всех других ошибок, которые связаны с каким-либо интерферирующим влиянием, например, влиянием предшествующих знаний. Например, «family» в английском языке означае6т «семья», а «фамилия», как в русском языке.

При анализе ошибок, особенно при заданиях с выбором ответа, часть ошибок Может объясняться осторожностью, например, если вообще не выбран ответ. Пропуск задания может, однако, свидетельствовать и о недостаче времени. Невыполнение последних заданий часто говорит о нехватке времени, отведенного на выполнение контрольной работы.

При заданиях с выбором ответа имеется и элемент случайности, риска.

Общая методика анализа ошибок при сборе массового материала складывается из выполнения следующих действий:

-производится общий подсчет количества ошибок по каждому вопросу;

-выделяются задания: а) в ответах на которые было допущено очень мало ошибок; б) были отдельные ошибки; в) было много ошибок; г) которые не были выполнены большинством обучаемых;

-по выявленным группам заданий проводится анализ возможных причин появления ошибок, которые могут носить частично-методический характер; могут проистекать от недостатков предлагаемых методик; носить психологический характер; быть случайными.

-делаются педагогические и методические выводы, направленные на внесение соответствующих изменений в структуру предлагаемой системы занятий по формированию того или иного знания.

4. Основные методы количественной оценки педагогических явлений

4.1 Классификация задач и методов их решения

Таблица 5.1

Принятие решения о выборе метода математической обработки

Если данные уже получены, то вам предлагается следующий алгоритм определения задачи и метода.

АЛГОРИТМ 1

Принятие решения о задаче и методе обработки на стадии, когда данные уже получены

1. По первому столбцу Таблицы 5.1 определить, какая из задач стоит в вашем исследовании.

2. По второму столбцу Таблицы 5.1 определить, каковы условий решений вашей задачи, например, сколько выборок обследовано или на какое количество групп вы можете разделить обследованную выборку.

3. Обработать к соответствующей главе и по алгоритму принятия решения о выборе критерия, приведенного в конце каждой главы, определить, какой именно метод или критерий вам целесообразно использовать.

Если вы еще находиться на стадии планирования исследования, то лучшее заранее подобрать математическую модель, которую вы будете в дальнейшем использовать. Особенно необходимо планирование критериев тенденций или дисперсионного анализа. В этом случае алгоритм принятия решения таков:

АЛГОРИТМ 2

Принятие решение о задаче и методе обработки на стадии планирования исследования

1. Определите, какая модель вам кажется наиболее подходящей для доказательства ваших научных предположений.

2. Внимательно ознакомьтесь с описанием метода, примерами и задачами для самостоятельного решения, которые к нему прилагаются.

3. Если вы убедились, что это то, что вам нужно, вернитесь к разделу «Ограничения критерия» и решите, сможете ли вы собрать данные, которые будут отвечать этим ограничениям (большие объемы выборок, наличие нескольких выборок, монотонно различающихся по какому-либо признаку, например, по возрасту и т. п.).

4. Проводите исследование, а затем обрабатывайте полученные данные по заранее выбранному алгоритму, если вам удалось выполнить ограничения.

5. Если ограничения выполнить не удалось, обратитесь к алгоритму 1.

Проверка гипотез. Критерий Пирсона ()

Если закон распределения неизвестен, но есть подозрение, что он имеет определённый вид, то проверяют нулевую гипотезу : генеральная совокупность распределена по закону А.

Пусть - выборка наблюдений случайной величины Х. Проверяется нулевая гипотеза , которая утверждает, что случайная величина Х имеет закон распределение . Процедура использования критерия для проверки гипотезы состоит из следующих этапов:

1. По выборке наблюдений случайной величины Х составляют интервальный статистический ряд. Длина интервала находится по формуле: , количество полученных интервалов - .

2. Находится оценка неизвестных параметров предсказанного распределения. ,

где - середина -го интервала, - частность -го интервала.

3)Используя закон распределения предсказуемого распределения, вычисляют вероятности ,, с которыми случайная величина Х попадает в каждый интервал. Например, для нормального распределения:

, где .

4)Вычисляют теоретические частоты для каждого частичного интервала.

5)Вычисляют выборочную статистику (критерий) по формуле:

6)Принимают статистическое решение: гипотеза не противоречит выбранным наблюдениям с заданным уровнем значимости , если:

где - число интервалов, - число параметров распределения, которые оцениваются по выборке. В случае, если то нулевая гипотеза отклоняется.

Внимание. Необходимо, чтобы для всех интервалов выполнялось условие

. Если для некоторых интервалов это условие не выполняется, то их следует объединить с соседними.

Для нормального закона число оцениваемых по выборным параметрам равно двум (то есть ), число степеней свободы По таблице находим: Потому что , то гипотеза про нормальный закон распределения не противоречит результатам исследования.

4.2 Q - критерий Розенбаума

Назначение критерия

Критерий используется для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. В каждой выборке должно быть не менее 11 испытуемых.

Описание критерия

Это очень простой непараметрический критерий, который позволяет быстро оценить различия между двумя выборками по какому-либо признаку. Однако если критерий Q не выявляет достоверных различий, это еще не означает, что их действительно нет.

В этом случае стоит применять критерий Фишера. Если же Q-критерий выявляет достоверные различия между выборками с уровнем значимости , можно ограничиться только им и избежать трудностей применения других критериев.

Критерий применяется в тех случаях, когда данные представлены, по крайней мере, в порядковой шкале. Признак должен варьировать в каком-то диапазоне значений, иначе сопоставления с помощью Q-критерия просто невозможны. Например, если у нас 3 значения признака 1, 2, 3, - нам трудно будет различить различия. Метод Розенбаума требует, следовательно, достаточно тонко измеренных признаков.

Применение критерия начинается с того, что упорядочиваем значения признака в обеих выборках по нарастанию (или убыванию) признака. Лучше всего, если данные каждого испытуемого представлены на отдельной карточке. Тогда ничего не стоит упорядочить два ряда значений по интересующемуся нас признаку, раскладывая карточки на столе. Так мы сразу увидим, совпадают ли диапазоны значений, и если нет, то насколько один ряд «выше» (), а второй - «ниже» (). Для того, чтобы не запутаться, в этом и во многих других критериях рекомендуется первым рядом (выборкой, группой) считать тот ряд, где значения выше, а вторым - тот, где значения ниже.

Гипотезы

Уровень признака в выборке 1 не превышает уровня признака

в выборке 2.

Уровень признака в выборке 1 превышает уровень признака в выборке 2.

Графическое представление критерия Q

На Рис. 5.1 представлены три варианта соотношения рядов значений в двух выборках.

В варианте(а) все значения первого ряда выше значений второго ряда. Различия, безусловно, достоверны, при соблюдении условия, что

В варианте (б), напротив, оба ряда находятся на одном и том же уровне: различия недостоверны. В варианте (в) частично перекрещиваются, но все же первый ряд оказывается гораздо выше второго. Достаточно ли велики зоны , в сумме составляющие , можно определить по таблице I Приложения 1, где приведены критические значения для различных . Чем величина больше, тем более достоверные различия мы можем констатировать.

Ограничения критерия

1.В каждой из сопоставляемых выборок должно быть не менее 11 наблюдений. При этом объемы выборок должны быть примерно, совпадать. Е.В. Гублером указываются следующие правила:

а) если в обеих выборках меньше 50 наблюдений, то абсолютная величина разности между не должно быть больше 10 наблюдений;

б) если в каждой из выборок больше 51 наблюдения, но меньше 100, то абсолютная величина разности между не должна быть больше 20 наблюдений;

в) если в каждой из выборок больше 100 наблюдений, то допускаются, чтобы одна из выборок была больше другой не более чем в 1,5 - 2 раза (Гублер Е.В., 1978, с. 75)

Диапазоны разброса значений в двух выборках должны не совпадать между собой, в противном случае применение критерия бессмысленно.

Пример

У предполагаемых участников психологического эксперимента, моделирующего деятельность воздушного диспетчера, был измерен уровень вербального и невербального интеллекта с помощью методики Д.Векслера. Было обследовано 26 юношей в возрасте от 18 до 24 лет (средний возраст 20,5 лет). 14 из них были студентами физического факультета, а 12 - студентами психологического факультета. Показатели показаны в Таблице 1.

Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта?

Таблица 1

Упорядочим значения в обеих выборках, а затем сформулируем гипотезы:

Студенты-физики не превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта.

Студенты-физики превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта.

Упорядочивание по убыванию вербального интеллекта ряды индивидуальных значений в двух студенческих выборках

Таблица 2

Как видно из таблицы 2, мы правильно обозначили ряды: первый, тот, что «выше» - ряд физиков, а второй, то, что «ниже» - ряд психологов.

По Таблице 2 определяем количество значений первого ряда, которые больше максимального значения второго ряда: .

Теперь определяем количество значений второго ряда, которые меньше минимального значения первого ряда: .

Вычисляем по формуле:

По Таблице I Приложения 1 определяем критические значения Q для

Ясно, что чем больше расхождения между выборками, тем больше величина Q. отклоняется при , а при мы будем вынуждены принять .

Построим «ось значимости».

Ответ: отклоняется.

Принимается . Студенты-физики превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта . Отметим, что в тех случаях, когда эмпирическая величина критерия оказывается на границе зоны незначимости, мы имеем право утверждать лишь, что различия достоверны при , если же оно оказывается между двумя критическими значениями, то мы можем утверждать, что p<0,05.

Если эмпирическое значение критерия оказывается на границе, мы можем утверждать, что , если оно попадает в зону значимости, мы можем утверждать, что .

Поскольку уровень значимости выявленных различий достаточно высок (), мы могли бы на этом остановиться. Однако, если исследователь сам психолог, а не физик, вряд ли он на этом остановится. Он может попробовать выборки по уровню невербального интеллекта, поскольку именно невербальный интеллект определяет уровень интеллекта в целом и степень его организованности.

АЛГОРИТМ 3

Подсчет критерия Q Розенбаума

1. Проверить, выполняются ли ограничения: .

2. Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени возрастания признака. Считать 1 ту выборку, значения в которой предположительно выше, а выборкой 2 - ту, где значения предположительно ниже.

3. Определить самое высокое (максимальное) значение в выборке 2.

4. Подсчитать количество значений в выборке 1, которые выше максимального значения в выборке 2. Обозначить полученную величину как .

5. Определить самое низкое (минимальное) значение в выборке 1.

6. Подсчитать количество значений в выборке 2, которые ниже минимального значения в выборке 1. Обозначить полученную величину как .

7. Подсчитать эмпирическое значение Q по формуле: .

8. По Табл. 1 Приложения I определить критические значения Q для данных . Если или превышает его, отвергается.

9. При сопоставить полученное эмпирическое значение с Если превышает или по крайней мере равняется отвергается.

4.3 U - критерий Манна-Уитни

Назначение критерия

Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявить различия между малыми выборками, когда или и является более мощным, чем критерий Розенбаума.

Описание критерия

Существует несколько способов использования критерия и несколько таблиц критических значений, соответствующих этим способам (Губрер Е.В., 1978; Рунион Р., 1982; Захаров В.П., 1985; McCall R., 1970; Krauth J., 1988).

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Мы помним, что 1-м рядом (выборкой, группой) мы называем тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом - тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют различиями в расположении двух выборок (Welkowitz J. Tt al., 1982).

Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше , тем вероятнее, что различия достоверны.

Гипотезы

Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Графическое представление критерия U

На рисунке представлены три множества возможных вариантов соотношения двух рядов значений.

В варианте (а) второй ряд ниже первого, и ряды почти не пересекаются. Область наложения слишком мала, чтобы скрадывать различия между ними. Есть шанс, что различия между ними достоверны. Точно определить это мы можем с помощью критерия U.

В варианте (б) второй ряд тоже ниже первого, но и область перекрещивающихся значений у двух рядов обширна. Она может еще не достигает критической величины, когда различия придется признать несущественными. Но так ли это, можно определить только путем точного подсчета критерия U.

В варианте (в) второй ряд ниже первого, но область наложения на столько обширна, что различия между рядами скрадываются.

Рис. 5.2

Ограничения критерия U

1.В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.

2.В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; Однако уже при , лучше использовать другой критерий, а именно угловое преобразование Фишера в комбинации с критерием , позволяющим выявить критическую точку, в которой накапливаются максимальные различия между двумя сопоставляемыми выборками. Формулировка звучит сложно, но сам метод достаточно прост. Каждому исследователю лучше попробовать разные пути и выбрать тот, который кажется ему более подходящим.

Пример

Вернемся к результатам обследования студентов физического и психологического факультетов Ленинградского университета с помощью методики Д. Векслера для измерения вербального и невербального интеллекта. С помощью критерия Розенбаума мы в предыдущем параграфе смогли с высоким уровнем значимости определить, что уровень вербального интеллекта в выборке студентов физического факультета выше. Попытаемся теперь установить, воспроизводиться ли этот результат при сопоставлении выборок по уровню невербального интеллекта. Данные приведены в Табл. 2.

Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта?

Индивидуальные значения невербального интеллекта

в выборках студентов физического ()

и психологического () факультетов

Критерий U требует тщательности и внимания. Прежде всего, необходимо помнить правила ранжирования.

Правила ранжирования

1.Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг 1. Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений. Например, если , то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех случаев, которые предусмотрены правилом 2.

2.В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны. Например, 3 наименьших значения равны 10 секундам. Если бы мы измеряли время более точно, то эти значения могли бы отличаться и составляли бы, скажем 10,2 сек; 10,5 сек; 10,7 сек. В этом случае они получили бы ранги, соответственно, 1, 2 и 3. Но поскольку полученные нами значения равны, каждое из них получает ранг: .

Допустим, следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг: и т. д.

3.Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая определяется по формуле: , где - общее количество ранжируемых наблюдений (значений). Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельствовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их суммировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

АГОРИТМ 4

Подсчет критерия U Манна-Уитни

1.Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.

2.Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 - другим, например, синим.

3.Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания признака, не считая с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной выборкой.

4.Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему значению меньший ранг. Всего рангов получится столько, сколько у нас .

5.Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие - в другой.

6.Подсчитать сумму рангов отдельно на красных карточках (выборка 1) и на синих карточках (выборка 2). Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

7.Определить большую из двух ранговых сумм.

8.Определить значение U по формуле: ,

где - количество испытуемых в выборке 1;

- количество испытуемых выборки 2;

-большая из двух ранговых сумм;

- количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

9.Определить критическое значение U по Табл. II Приложения 1. Если , принимается. Если , отвергается. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Теперь проделаем всю эту работу на материале данного примера. В результате работы по 1-6 шагам алгоритма построим таблицу.

Подсчет ранговых сумм по выборкам студентов физического и психологического факультетов

Студенты-физики ()

Студенты-психологи )

Показатель невербального интеллекта

ранг

Показатель невербального интеллекта

ранг

127

26

123

25

122

24

117

23

116

22

115

20,5

115

20,5

114

19

113

18

112

17

111

15,5

111

15,5

108

14

107

11,5

107

11,5

107

11,5

107

11,5

106

9

105

8

104

6,5

104

6,5

102

4,5

102

4,5

99

3

95

2

90

1

Суммы

1501

165

1338

186

Среднее

107,2

111,5

Общая сумма рангов: Расчетная сумма: .

Равенство реальной и расчетной сумм соблюдено.

Мы видим, что по уровню невербального интеллекта более «высоким» рядом оказывается выборка студентов-психологов. Именно на эту выборку приходится большая ранговая сумма: 186.

Теперь мы готовы сформулировать гипотезы:

Группа студентов-психологов не превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

Группа студентов-психологов превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

В соответствии со следующим шагом алгоритма определяем эмпирическую величину U: .

Поскольку в нашем случае , подсчитаем эмпирическую величину U и для ранговой суммы (165), подставляя в формулу соответствующее ей :.

Для сопоставления с критическим значением выбираем меньшую величину U:

По Табл. II Приложения 1 определяем критические значения для соответствующих n, причем меньшее n принимаем за и отыскиваем его в верхней строке Табл. II Приложения 1, большее n принимаем за , и отыскиваем его в левом столбце Табл. II Приложения 1. .

Мы помним, что критерий U является одним из двух исключений из общего правила принятия решения о достоверности различий, а именно, мы можем констатировать достоверные различия, если .

Построим «ось значимости».

.

Ответ: принимается. Группа студентов-психологов не превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

4.4 G-критерий знаков

Назначение критерия G

Критерий знаков G (в некоторых руководствах критерий знаков называют критерием Мак-Немара) применим и к тем сдвигам, которые можно определить качественно (например, изменением отрицательного отношения к чему-либо на положительное), так и к тем сдвигам, которые могут быть измерены количественно (например, сокращением времени работы над заданием после экспериментального воздействия).

Во втором случае, однако, если сдвиги варьируют в достаточно широком диапазоне, лучше применить критерий Т Вилкоксона. Он учитывает не только направление, но и интенсивность сдвигов и может оказаться более мощным в определении достоверности сдвигов, чем критерий знаков.

Как правило, исследователь уже в процессе эксперимента может заметить, что у большинства испытуемых показатели во втором замере имеют тенденцию, скажем , повышаться. Однако ему еще требуется доказать, что положительный сдвиг является преобладающим.

Для начала мы назовем сдвиги, которые нам кажутся преобладающими, типичными сдвигами, а сдвиги более редкого, противоположного направления, нетипичными. Если значения показателя повышаются у большего количества испытуемых, то этот сдвиг мы будем считать типичным. Если мы исследуем отношения испытуемых к какому-либо событию или предложению, и после экспериментальных воздействий у большинства испытуемых отрицательное отношение сменилось на положительное, то этот сдвиг мы назовем типичным.

Есть еще, правда, возможность «нулевых» сдвигов, когда реакция не изменяется или показатели не повышаются и не понижаются, а остаются на прежнем уровне. Однако такие «нулевые» сдвиги в критерии знаков исключаются из рассмотрения. При этом количество сопоставляемых пар уменьшается на число таких «нулевых» сдвигов.

Суть критерия знаков состоит в том, что он определяет, не слишком ли много наблюдается «нетипичных сдвигов», чтобы сдвиг в «типичном» направлении считать преобладающим? Ясно, что чем меньше «нетипичных сдвигов», тем более вероятно, что преобладание «типичного» сдвига является преобладающим. - это количество «нетипичных» сдвигов. Чем меньше , тем более вероятно, что сдвиг в «типичном» направлении статистически достоверен.

Гипотезы

Преобладание типичного направления сдвига является случайным.

Преобладание типичного направления сдвига не является случайным.

Графическое представление критерия знаков

На Рис. «типичные» сдвиги изображены в виде светлого облака, нетипичные сдвиги - темного облака. Мы видим, что на рисунке темное облако значительно меньше. Допустим, после выступления оратора большинство слушателей изменили свое отрицательное отношение к какому-либо предложению на положительное. Вместе с тем, часть слушателей изменила свое положительное отношение на отрицательное, проявив «нетипичную» реакцию. Критерий законов позволяет определить, не слишком ли значительная часть слушателей «нетипично» прореагировала на выступление оратора? Поглощает ли масса светлого облака небольшое темное облако?

В Таблице V Приложения 1 даны критические значения знаков для разных n. Поскольку критерий знаков представляет собой одно из трех исключений из общего правила, представим обобщенную «ось значимости» для этого критерия графически.

Зона значимости простирается влево, в сторону более низких значений, поскольку чем меньше «нетипичных» знаков, тем достовернее «типичный» сдвиг. Зона незначимости, напротив, простирается вправо, в сторону более высоких значений G. Постепенно «нетипичных» сдвигов становится так много, что теряется само ощущение какого-то преобладания в направленности сдвигов. Зона незначимости характеризует ситуацию, когда сдвиги обоих направлений перемешаны.

Ограничения критерия знаков

Количество наблюдений в обоих замерах - не менее 5 и не более 300.

Пример

В исследовании Г.А. Бадасовой (1994) изучались личностные факторы суггестора, способствующие его внушающему воздействию на аудиторию. В эксперименте участвовало 39 слушателей колледжа и спецфакультета практической психологии Санкт-Петербургского университета, 9 мужчин и 30 женщин в возрасте от 18 до 39 лет, средний возраст 23,5 года. Испытуемые выступали в качестве суггерендов, т. е. лиц, по отношению к которым оказывалось внушающее воздействие.

В экспериментальной группе () испытуемые просматривали видеозапись речи суггестора о целесообразности применения физических наказаний в воспитании детей, в контрольной группе () испытуемые просто читали про себя письменный текст. Содержание речи суггестора и текста полностью совпадали.

До и после предъявления видеозаписи (в экспериментальной группе) и текста (в контрольной группе) испытуемые отвечали на 4 вопроса, оценивая степень согласия с их содержанием по 7-балльной шкале:

1.Я считаю возможным иногда шлепнуть своего ребенка за дело, если он этого заслужил6

Не согласен 1 2 3 4 5 6 7 Согласен

2.Если, придя домой, я узнаю, что кто-то из близких, бабушка или дедушка, шлепнули моего ребенка за дело, то я буду считать, что это нормально:

Не согласен 1 2 3 4 5 6 7 Согласен

3.Если мне станет известно, что воспитательница детского сада или учительница в школе шлепнула моего ребенка за дело, то я восприму это как должное:

Не согласен 1 2 3 4 5 6 7 Согласен

4.Я бы согласился отдать своего ребенка в школу, где применяется система физического наказания по итогам недели:

Не согласен 1 2 3 4 5 6 7 Согласен

Суггестор был подобран по признакам, которые были выявлены в пилотажном исследовании (Бадасова Г.А., 1994). Результаты двух замеров по обеим группам представлены в Табл. 3.2 и Табл. 3.3.

Оценки степени согласия с утверждением о допустимости телесных наказаний до и после предъявления видеозаписи в экспериментальной группе ()

Оценки степени согласия с утверждением о допустимости телесных наказаний до и после предъявления видеозаписи в контрольной группе ()

Вопросы:

1.Можно ли утверждать, что после просмотра видеозаписи о пользе телесных наказаний наблюдается достоверный сдвиг в сторону большего принятия их в экспериментальной группе?

2.Достоверны ли различия по выраженности положительного сдвига между экспериментальной и контрольной группами?

3.Является ли достоверным сдвиг оценок в контрольной группе?

Решение

Подсчитаем сначала количество положительных, отрицательных и нулевых сдвигов по каждой шкале в каждой выборке. Это необходимо для выявления «типичных» знаков изменения оценок и значительно облегчит нам дальнейшие расчеты и рассуждения.

Таблица 3

Расчет количества положительных, отрицательных и нулевых сдвигов в двух группах суггерендов

Из Табл. 3 мы видим, что наиболее типичными являются «нулевые» сдвиги, то есть отсутствие сдвига в оценках после предъявления видеозаписи или письменного текста. И все же, в экспериментальной группе по шкале «Я сам наказываю» и «Бабушка наказывает» положительные сдвиги наблюдаются примерно в половине случаев.

Нам необходимо учитывать только положительные и отрицательные сдвиги, а нулевые отбрасывать. Количество сопоставляемых пар значений при этом уменьшается на количество этих нулевых сдвигов. Теперь для шкалы «Я сам» ; для шкалы «Бабушка» ; шкалы «Воспитатель» ; шкалы «Школа» . Мы видим, что по отношению к последней шкале критерий знаков вообще неприменим, так кА количество сопоставляемых пар значений меньше 5.

Мы можем сразу же проверить гипотезу о преобладании положительного сдвига в ответах по сумме 4 шкал. Сумма положительных и отрицательных сдвигов по 4 шкалам составляет:

Сформулируем гипотезы.

Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям после внушения является случайным.

Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям после внушения является неслучайным.

По Табл. V Приложения 1 определяем критические значения критерия знаков G. Это максимальные количества «нетипичных», менее часто встречающихся, знаков, при которых сдвиг в «типичную» сторону еще можно считать существенным.

1)Шкала «Я наказываю»,

Типичный сдвиг - положительный.

Отрицательных сдвигов нет. .

откланяется. Принимается

2)Шкала «Бабушка наказывает»,

Типичный сдвиг - положительный.

Отрицательных сдвигов нет.

откланяется. Принимается

3)Шкала «Воспитательница наказывает»,

Типичный сдвиг - отрицательный.

Положительных сдвигов - 2. при данном определить невозможно, .

- принимается.

4)Шкала «Школа наказывает», , , критерий знаков неприменим.

5)Сумма по 4-м шкалам, .

Типичный сдвиг - положительный.

Отрицательных сдвигов - 4,

отклоняется. Принимается

Ответ: Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям в экспериментальной группе после просмотра видеозаписи является случайным для шкал «Я сам наказываю», «Бабушка наказывает» и по сумме четырех шкал ( во всех случаях).

Сформулируем гипотезы. Для контрольной группы

Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям после прочтения текста является случайным.

Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям после прочтения текста не является случайным.

По Табл. V Приложения 1 определяем критические значения критерия знаков G. Это максимальные количества «нетипичных», менее часто встречающихся, знаков, при которых сдвиг в «типичную» сторону еще можно считать существенным.

1)Шкала «Я наказываю»,

Типичный сдвиг установить не возможно.

Положительных сдвигов - 4, отрицательных - 4..

принимается.

2)Шкала «Бабушка наказывает»,

Положительных сдвигов - 4, отрицательных - 4.

принимается.

3)Шкала «Воспитательница наказывает»,

Типичный сдвиг - положительный.

Отрицательных сдвигов - 2. при данном определить невозможно, .

- принимается.

4)Шкала «Школа наказывает», , , критерий знаков неприменим.

5)Сумма по 4-м шкалам, .

Типичный сдвиг - положительный.

Отрицательных сдвигов - 10,

принимается.

Ответ: Сдвиг в сторону более снисходительного отношения к телесным наказаниям в контрольной группе является случайным для шкал в отдельности, и по сумме шкал.

АЛГОРИТМ 5

Расчет критерия знаков G

1.Подсчитать количество нулевых реакций и исключить их из рассмотрения.

В результате n уменьшится на количество нулевых реакций.

2.Определить преобладающее направление изменений. Считать сдвиги в преобладающем направлении «типичными».

3.Определить количество «нетипичных» сдвигов. Считать это число эмпирическим значением G.

4.По Табл. V Приложения 1 определить критическое значения G для данного n.

5.Сопоставить с . Если меньше или по крайней мере равен ему, сдвиг в типичную сторону может считать достоверным.

4.5. - критерий Пирсона

Назначения критерия

Критерий применяется в двух целях;

1)для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим - равномерным, нормальным или каким-то иным;

2)для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределений одного и того же признака.

Описание критерия

Критерий отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирическом и теоретическом распределениях.

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения «да» - «нет», «допустил брак - не допустил брак», «решил задачу - не решил задачу» и т. п. мы уже можем применить критерий .

Допустим, некий наблюдатель фиксирует количество пешеходов, выбравших правую или левую из двух симметричных дорожек на пути из точки А в точку Б (рис.)

Допустим, что в результате 70 наблюдений установлено, что 51 человек выбрал правую дорожку и лишь 19 - левую. С помощью критерия мы можем определить, отличается ли данное распределение выборов от равномерного распределения, при котором обе дорожки выбирались бы с одинаковой частотой. Это вариант сопоставления полученного эмпирического распределения с теоретическим. Такая задача может состоять, например, в прикладных психологических исследованиях, связанных с проектированием в архитектуре, системах сообщения и др.

Но представим себе, что наблюдатель решает совершенно другую задачу: он занят проблемами билатерального регулирования. Совпадения полученного распределения с равномерным его интересует гораздо в меньшей степени, чем совпадение или несовпадение его данных с данными других исследователей. Ему известно, что люди с преобладанием правой ноги склонны делать круг против часовой стрелки, а люди с преобладанием левой ноги - круг по ходу часовой стрелки, и что в исследовании коллег преобладание левой ноги было обнаружено у 26 человек из 100 обследованных.

С помощью метода он может сопоставить два эмпирических распределения: соотношение 51:19 в собственной выборке и соотношение 74:26 в выборке других исследователей.

Это вариант сопоставления двух эмпирических распределений по простейшему альтернативному признаку (конечно, простейшему с математической точки зрения, а отнюдь не психологической).

Аналогичным образом мы можем сопоставить распределения выборов из трех и более альтернатив. Например, если в выборке из 50 человек 30 выбрали ответ (а), 15 человек - ответ (б) и 5 человек - ответ (в), то мы можем с помощью метода проверить, отличается ли это распределение от равномерного распределения или от распределения ответов в другой выборке, где ответ (а) выбрали 10 человек, ответ (б) - 25 человек, ответ (в) - 15 человек.

В тех случаях, если признак измеряется количественно, скажем, в баллах, секундах или миллиметрах, нам, быть может, придется объединить все обилие значений признака в несколько разрядов. Например, если время решения задачи варьирует от 10 до 300 секунд, то мы можем ввести 10 или 5 разрядов, в зависимости от объема выборки. Например, это будут разряды: 0 - 50 секунд; 51 - 100 секунд; 101 - 150 секунд и т. д. Затем мы с помощью метода будем сопоставлять частоты встречаемости разных разрядов признака, но в остальном принципиальная схема не меняется.

При сопоставлении эмпирических распределений мы определяем степень расхождения между эмпирическими частотами и теоретическими частотами, которые наблюдались бы в случае совпадения двух эмпирических распределений. Формулы расчета теоретических частот будут специально даны для каждого варианта сопоставлений.

Чем больше расхождение между двумя сопоставляемыми распределениями, тем больше эмпирическое значение .

Гипотезы

Возможны несколько вариантов гипотез, в зависимости от задач, которые мы перед собой ставим.

Первый вариант:

Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (например, равномерного) распределения.

Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

Второй вариант:

Эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2.

Эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического распределения 2.

Третий вариант:

Эмпирические распределения 1, 2, 3, … не различаются между собой.

Эмпирические распределения 1, 2, 3, … различаются между собой.

Критерий позволяет проверить все три варианта гипотез.

Графическое представление критерия

Проиллюстрируем пример с выбором правой или левой дорожек на пути из точки А в точку Б. На рис. 4.4 частота выбора левой дорожки представлена левым столбиком, а частота правой дорожки - правым столбиком гистограммы. На оси ординат отмеряются относительные частоты выбора, то есть частота выбора той или иной дорожки, отнесенные к общему количеству наблюдений. Для левой дорожки относительная частота, которая называется также частостью и составляет 19/70, а для правой дорожки 51/70, то есть 0,73.

Если бы обе дорожки выбирались равновероятно, то половина испытуемых выбрали бы правую дорожку, половина - левую. Вероятность выбора каждой из дорожек составила бы 0,50.

Мы видим, что отклонения эмпирических частот от этой величины довольно значительны. Возможно, различия между эмпирическим и теоретическим распределением окажутся достоверными.

На рис. 4.5 фактически представлены две гистограммы, но столбики сгруппированы так, что слева сопоставляются частоты предпочтения левой дорожки в выборе нашего наблюдателя (1) и в выборе Т.А. Доброхотовой и Н.Н. Брагиной (2), а справа - частоты предпочтения правой дорожки в этих двух выборках.

Мы видим, что расхождения между выборками очень незначительны. Критерий , скорее всего, подтвердит совпадение двух распределений.

Ограничения критерия

1.Объем выборки должен быть достаточно большим: . При критерий дает весьма приближенные значения. Точность критерия повышается при больших .

2.Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: . Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод , не накопив определенного минимального числа наблюдений. Если , например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется обращений. Таким образом, если количество разрядов задано заранее, как в данном случае, минимальное число наблюдений определяется по формуле

3.Выбранные разряды должны «вычерпывать» все распределения, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопоставляемых распределениях.

4.Необходимо вносить «поправку на непрерывность» при сопоставлении распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значений уменьшается.

5.Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду.

Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.

Главное же «ограничение» критерия - то, что он кажется большинству исследователей пугающе сложным.

Попытаемся преодолеть миф о непостижимой трудности критерия . Чтобы оживить изложение, рассмотрим шутливый литературный пример.

Шутливый пример

В гениальной комедии Н.В. Гоголя «Женитьба» у купеческой дочери Агафьи Тихоновны было пятеро женихов. Одного она сразу же исключила из рассмотрения, потому что он был купеческого звания, как и она сама. А из остальных она не знала, кого выбрать: «Уж как трудно решиться, так просто рассказать нельзя, как трудно. Если губы Никанора Ивановича да приставить к носу Ивана Кузьмича, да взять сколько-нибудь развязности, как у Балтазара Балтазарыча, да, пожалуй, прибавить к этому дородности Ивана Павловича, я бы тогда тотчас решилась. А теперь поди подумай! Просто голова даже стала болеть. Я думаю, лучше всего кинуть жребий» (Гоголь Н.В., 1959, с. 487). И вот Агафья Тихоновна положила бумажки с четырьмя именами в ридикюль, пошарила рукою в ридикюле и вынула вместо одного - всех!

Ей хотелось, чтобы жених совмещал в себе достоинства всех четверых, и, вынимая все бумажки вместо одной, она бессознательно совершила процедуру выведывания средней величины. Но вывести среднюю величину из четверых людей невозможно, и Агафья Тихоновна в смятении. Она влюблена, но не знает в кого. «Такое несчастное положение девицы, особливо еще влюбленной».

Вся беда в том, что ни Агафья Тихоновна, ни ее тетушка, ни сваха Фёкла Ивановна не были знакомы с критерием ! Именно он мог бы им помочь в решении их проблемы. С его помощью можно было бы попробовать установить, в кого больше влюблена Агафья Тихоновна. Но для этого нам не нужно измерять губы Никанора Ивановича или нос Ивана Кузьмича, или объем талии дородного экзекутора Ивана Павловича; не нужно нам и пускаться на какие-нибудь опасные эксперименты, чтобы определить, насколько далеко простирается развязность Балтазара Балтазаровича. Мы эти их достоинства принимаем как данность потому лишь, что они нравятся Агафье Тихоновне. Мы принимаем их за разряды одного и того же признака, например, направленности взгляда Агафьи Тихоновны: сколько раз она взглянула на губы Никанора Ивановича? На нос Ивана Кузьмича? Благосклонно взирала на дородного Ивана Павловича или развязного Балтазара Балтазаровича? Внимательная сваха или тетушка вполне могла бы этот признак наблюдать. Допустим, за полчаса смотрин ею зафиксированы следующие наблюдения.

Агафья Тихоновна:

сидела с опущенными глазами 25 минут;

благосклонно смотрела на Никанора Ивановича 14 раз;

благосклонно смотрела на Ивана Кузьмича 5 раз;

благосклонно смотрела на Ивана Павловича 8 раз;

благосклонно смотрела на Балтазара Балтазаровича 5 раз.

Представим это в виде таблицы.

Теперь нам нужно сопоставить полученные эмпирические частоты с теоретическими. Если Агафья Тихоновна никому не отдает предпочтения, то данное распределение показателя направленности ее взгляда не будет отличаться от равномерного распределения: она на всех смотрит примерно с одинаковой частотой. Но если достоинства одного из женихов чаще притягивает ее взор, то это может быть основанием для матримониального решения.

Гипотезы

Распределение Взглядов Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами отличается от равномерного распределения.

Теперь нам нужно определить теоретическую частоту взгляда при равномерном распределении. Если бы все взгляды невесты распределялись равномерно между 4-мя женихами, то, по-видимому, каждый из них получил бы по 1/4 всех взглядов.

Переведем эти рассуждения на более формализованный язык. Теоретическая частота при сопоставлении эмпирического распределения с равномерным определяется по формуле:

, где - количество наблюдений; - количество разрядов признака.

В нашем случае признак - взгляд невесты, направленный на кого-либо из женихов; количество разрядов признака - 4 направления взгляда, по количеству женихов; количество наблюдений - 32.

Итак, в нашем случае:

Теперь мы будем сравнить с этой теоретической частотой все эмпирические частоты.

На рисунке сопоставления эмпирических частот с теоретической представлены графически. Похоже, что области расхождения достаточно значительны, и Никанор Иванович явно опережает других женихов. Иван Павлович еще может на что-то надеяться, но для Ивана Кузьмича и Балтазара Балтазаровича отставка, по-видимому, неизбежна.

Однако для того, чтобы доказать неравномерность полученного эмпирического распределения, нам необходимо произвести точные расчеты. В методе они производятся с точностью до сотых, а иногда и до тысячных долей единицы.

АЛГОРИТМ 13

Расчет критерия

1.Занести в таблицу наименования разрядов и сопоставляющие им эмпирические частоты (первый столбец).

2.Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец).

3.Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.

4.Определить число степеней свободы по формуле: , где - количество разрядов признака. Если , внести поправку на «непрерывность».

5.Возвести в квадрат полученные разности, и занести их в четвертый столбец.

6.Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать в пятый столбец.

7.Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обозначить как .

8.Определить по Табл. IX Приложения 1 критические значения для данного числа степеней свободы .

Если меньше критического значения, расхождения между распределениями статистически недостоверны.

Если равно критическому значению или превышает его, расхождения между распределениями статистически достоверны.

Расчет критерия при составлении эмпирического распределения взгляда Агафьи Тихоновны между женихами с равномерным распределением

Может показаться, что удобнее суммировать все возведенные в квадрат разности между эмпирическими и теоретическими частотами, а затем уже эту сумму разделить на . В данном случае это возможно, так как для всех разрядов одинакова. Однако позже мы увидим, что так бывает не всегда. Нужно быть внимательными или, экономя свое внимание, просто взять за правило всякий раз вычислять до суммирования.

Необходимо также всякий раз убеждаться в том, что сумма разностей между эмпирическими и теоретическими частотами (сумма по третьему столбцу) равна нулю. Если это не так, это означает, что в подсчете частот допущена ошибка.

Алгоритм вычислений, таким образом, выражается формулой:

, где - Эмпирическая частота по - тому разряду признака; - теоретическая частота; - порядковый номер разряда; - количество разрядов признака.

В данном случае:

Для того, чтобы установить критическое значение , нам нужно определить число степеней свободы по формуле: , где - количество разрядов.

В нашем случае

По Табл. IX Приложения 1 определяем:

Построим «ось значимости». Ясно, что чем больше отклонения эмпирических частот от теоретической, тем больше будет величина . Поэтому зона значимости располагается справа, а зона незначимости - слева.

К сожалению, на основании этих данных тетушка не сможет дать Агафье Тихоновне обоснованного ответа:

.

Ответ: принимается. Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

5.Выводы по эксперименту

Одна из труднейших задач проведения эксперимента - подведение итогов. Выводы по эксперименту, прежде всего, должны быть ориентированы на выдвинутую с самого начала гипотезу. Они должны подтверждать гипотезу или противоречить ей. В первом случае следует кратко воспроизвести основные данные, свидетельствующие в ее пользу, во втором случае - дать объяснение, попытаться выявить причину основных расхождений, и, в случае принятия объективных данных, опровергающих гипотезу, изменить ее в соответствии с ними. Второе, что очень важно учесть при подведении итогов, - требование о том, чтобы выводы были соизмеримы с экспериментальной базой и собранными данными, т.е., чтобы выводы не были «глобальными», выходящими за пределы поставленных задач и области конкретных исследований.

Хотя исследователя важно предупредить о необходимости избегать развернутых выводов, тем не менее, нельзя не отметить, что при подлинно научной экспериментальной проверке какой-либо исследовательской проблемы с учетом связи ее с рядом других факторов, в эксперимент оказываются втянутыми и эти факторы, и ряд дополнительных связей. Поэтому данные и выводы по эксперименту в известной степени могут и должны затрагивать и их. Исследователь поэтому может высказать некоторые предположения о связи данной области с пограничными зонами, но все же больше он должен говорить о необходимости продолжения дальнейших исследований в этих областях с изучением дополнительных влияний или влияния тех факторов, которые были учтены еще в недостаточной мере. Делая выводы, исследователь должен еще раз оговорить условия эксперимента, которые могли повлиять на степень надежности тех данных, по которым делаются выводы, и подчеркнуть, что эксперимент не универсальный метод, которым следует пользоваться для разработки данного аспекта, и дать оценку его роли и места в системе других методов, использовавшихся им при ведении исследований по проблеме. Если результаты эксперимента (и данные, полученные с помощью других методов ведения исследования) свидетельствуют о том, что следует ставить вопрос о необходимости внедрения тех или иных проверявшихся средств, методов и приемов обучения, исследователь, завершая свое исследование, может наметить пути осуществления внедрения.

Таким образом, заключительный этап обработки данных эксперимента включает:

1.Соотнесение выводов с общей и частной гипотезой.

2.Четкое ограничение области, на которою могут быть распространены полученные выводы.

3.Высказывание предположений о возможности их распространения на некоторые пограничные области и указание основных направлений дальнейших исследований в этой и смежной областях.

4.Оценку степени важности выводов в зависимости от чистоты условий эксперимента.

5.Оценку роли и места эксперимента в системе других применявшихся в данном исследовании методов.

6.Практические приложения о внедрении в практику результатов проведенного исследования.

6.Контрольная работа

Задание 1

Используя критерий Пирсона при уровне значимости проверить гипотезу про нормальное распределение генеральной совокупности, если из неё получена следующая выборка:

1. 23 45 32 24 45 25 47 41 35 33 24 46 44 34 33 36 37 24 28 30 43 33 29 37 38

35 36 27 24 29 38 36 41 40 37 38 41 38 36 32 25 29 36 47 36 33 35 27 26 38 41

45 47 35 27 46 41 40 37 38 33 35 39 22 23

2. 112 145 160 134 156 115 119 128 121 135 160 144 145 123 125 145 160 155

156 157 146 134 117 128 130 128 112 147 156 147 124 135 137 139 151 137 123 146 160 146 160 143 154 137 139 129 146 157 150 151 128 139

3. 1 3 4 5 4 6 7 2 4 7 8 2 6 3 4 8 9 2 5 6 7 8 9 2 4 6 7 8 9 1 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 3 8 4 8 2 1 4 5 6 6 6 7 7 3 4 4 8 5 5 6 7 4 3 4 6 5 3 3 2

4. 47 47 49 40 50 51 52 53 57 49 45 46 45 48 50 51 52 55 58 48 49 42 46 48 50 52 51 57 58 51 52 57 46 49 43 48 49 50 58 51 49 43 48 45 47 50 56 55 50 48 43 46 54 53 52 56 49 46 48 54 52 51 58 59 54 57 58 52 58 56

5.345 302 356 342 341 300 325 324 350 324 311 346 301 325 350 345 311 315 324 328 345 346 341 321 322 321 318 319 311 315 321 347 350 325 318 301 305 315 306 347 303 308 316 329 308 315 350 327 301 302

6. 73 95 82 74 95 75 97 91 85 83 74 96 94 84 83 86 87 74 78 80 93 83 79 87 88 85 86 77 74 79 88 86 91 90 87 88 91 88 86 82 75 79 86 97 86 83 85 77 76 88 91 95 97 85 77 86 91 90 87 88 83 85 89 72 73

7. 612 645 660 634 656 615 619 628 621 635 660 644 645 623 625 645 660 655 656 657 646 634 617 628 630 628 612 647 656 647 624 635 637 639 651 637 623 646 660 643 654 637 639 629 646 657 650 651 628 639

8. 10 13 14 15 14 16 17 12 4 7 8 2 6 3 4 8 9 12 5 6 17 8 9 12 4 16 7 18 9 11 4 5 5 5 15 5 15 5 5 6 13 8 4 8 2 11 4 5 6 16 16 7 17 13 4 4 8 5 5 6 17 4 3 14 6 15 3 13 12

9. 27 27 29 30 30 31 32 33 37 29 25 26 25 28 30 31 32 35 38 28 29 22 26 28 30 32 31 37 38 31 32 37 26 29 23 28 29 30 38 31 29 23 28 25 27 30 36 35 30 28 23 46 44 43 42 46 44 46 48 34 32 31 38 39 34 37 38 32 38 36

10. 375 332 356 342 371 330 325 324 350 324 361 346 351 355 350 345 371 345 354 328 345 346 341 321 322 321 348 369 351 345 351 347 350 325 368 341 345 345 362 347 353 358 356 329 348 345 350 337 331 362

11. 5 3 4 5 4 6 7 2 4 7 8 7 6 3 4 8 9 8 8 6 7 8 9 2 4 6 7 8 9 7 4 5 5 3 9 8 5 9 7 6 3 8 4 8 6 7 4 5 6 6 6 7 7 3 4 9 8 5 5 6 7 4 9 4 6 9 3 9 2

12. 12 45 10 34 56 15 19 28 21 35 60 44 45 23 25 45 60 55 56 57 46 34 17 28 30 28 12 47 56 47 24 35 37 39 51 37 23 46 60 43 54 37 39 29 46 57 50 51 28 39

13. 423 445 432 424 445 425 447 441 435 433 424 446 444 434 433 436 437 424 428 430 443 433 429 437 438 435 436 427 424 429 438 436 441 440 437 438 441 438 436 432 425 429 436 447 436 433 435 427 426 438 441 445 447 435 427 446 441 440 437 438 433 435 439 422 423

14. 21 23 24 25 24 26 27 22 24 27 28 22 26 23 24 28 29 22 25 26 27 28 29 22 24 26 27 28 29 21 24 25 25 25 25 25 25 25 25 26 23 28 24 28 22 21 24 25 26 26 26 27 27 23 24 24 28 25 25 26 27 24 23 24 26 25 23 23 22

15. 41 40 49 40 50 51 58 53 67 69 45 46 48 68 60 51 52 65 68 48 49 62 46 48 60 52 51 57 58 61 52 67 46 49 63 48 49 50 58 51 49 63 48 45 67 50 66 55 50 48 63 46 54 53 52 66 49 46 48 64 52 51 68 59 54 67 58 52 60 56

Задание 2

Описать критерий. В описании каждого критерия сохраняется следующая последовательность изложения:

- назначения критерия;

- описание критерия;

- гипотезы, которые он позволяет проверить;

- графическое представление критерия;

- ограничения критерия;

- пример или примеры.

1. 8. Критерий Розенбаума 2. 9. Критерий Манна-Уитни

3. 10. Критерий Фишера 4. 11. Критерий Вилкоксона

5. 12. Критерий знаков 6. 13. Критерий Пирсона

7. 14. Критерий Колмогорова-Смирнова 15. Критерий Фридмана

7.Приложение

7.1.Таблицы

7.2.Темы рефератов

1.Методы и способы обучения

2.Методы педагогического исследования

3.Модульное обучение

4.Оптимизация процесса обучения

5.Интесификация процесса обучения

6.Классификация методов обучения

7.Приемы и способы обучения

8.Методы обучения по источнику знаний

9.Методы обучения по характеру логики познания

10.Методы обучения по уровню самостоятельной разумной деятельности

11.Принципы и методы обучения математике

12.Инновационные методы обучения

13.Законы распределения случайных величин

14.Особенности обработки ограниченного числа опытов

15.Оценки для математического ожидания и дисперсии

16.Доверительный интервал

17.Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

18.Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

19.Критерий Розенбаума

20.Критерий Манна-Уитни

21.Критерий Джонкера

22.Критерий Фишера

23.Критерий Крускала-Уоллис

24.Критерий Пирсона

25.Задачи проверки статистических гипотез

26.Критерий Колмогорова

27.Критерий Вилкоксона

28.Критерий знаков

7.3.Вопросы к зачету

1.Методология педагогического исследования

2.Технология и процедура педагогического исследования

3.Методы педагогического исследования

4.Наблюдение

5.Эксперимент

6.Метод вопросов

7.Тестирование

8.Этапы проведения эксперимента

9.Выводы по эксперименту

10.Основные методы количественной оценки педагогических явлений. Классификация методов.

11.Комбинаторика. Основные формулы

12.Основные понятия теории вероятностей

13.Дискретные случайные величины. Характеристики ДСВ

14.Непрерывные случайные величины. Характеристики НСВ

15.Выборка. Основные характеристики выборки

16.Предмет математической статистики. Статистическое оценивание

17.Интервальные оценки параметров распределения

18.Статистическая гипотеза. Статистическая проверка гипотез

19.Оценивание параметров распределения

20.Критерий Манна-Уитни

21.Критерий Розенбаума

22.Критерий знаков

23. - критерий Пирсона

24.Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов

Литература

а) основная:

1. Боровков А. А. Теория вероятностей : Учеб. пособие для мат. и физ. спец. Вузов / A. А. Боровков - 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Наука, 1886. - 431 с.

2. Виленкин Н. Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей / Н. Я. Виленкин. - М.: Просвещение, 1976. - 48 с.

3. Грабарь И. И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы / И. И. Грабарь, К. А. Краснянская. - М.: Педагогика, 1977. - 136 с.

4. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе / Л. М. Фридман. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

5. Фридман Л. М. Как научиться решать задачи: пособие для учащихся / Л. М. Фридман, Е. Н. Турецкий - 2- изд. - М.: Просвещение, 1984. - 175 с.

6. Эрдниев П. М. Обучение математике в школе. Укрупнение дидактических единиц / П. М. Эрдниев, Б. Л. Эрдниев. - М.: Столетие, 1996. - 320 с.

Якиманская И. С. Психологические основы математического образования. - М.: Academia, 2004. - 187 с.

б) дополнительная:

1. Марченко Л. В. Элементы математической логики [Текст] : Метод. указания к проведе-нию практич. занятий / Л.В. Марченко ; ДВГУПС. Каф."Высш. математика". - Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2002. - 34 с. (39 экз.)

2. Москинова Г. И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях [Текст] : Учеб. пособие / Г. И. Москинова. - М. : Логос, 2002. - 240 с. (1 экз.)

3. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: в 2 т. / Ф. Клейн. - М. : Наука, 1987. - Т. 1: Арифметика. Алгебра. Анализ. - 432 с.

4. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: в 2 т. / Ф. Клейн. - М. : Наука, 1987. - Т. 2: Геометрия. - 416 с.