Разработка прототипов 10-12 для подготовки к ОГЭ по математике

ПРОТОТИП 10

1. Окружность вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата.

2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

3. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.

4. Найдите длину хорды окружности радиусом 13 см, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.

5. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 123°.

6. Центральный угол AOB, равный 60° , опирается на хорду АВ длиной 4. Найдите радиус окружности.

7. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO.

8. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 66°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

9. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.

10. Точка О - центр окружности, ∠ACB = 24° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB (в градусах).

11. В окружности с центром O AC и BD - диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

12. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

13. Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

14 В угол C величиной 79° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

15. Найдите ∠KOM, если градусные меры дуг KO и OM равны 112° и 170° соответственно.

16. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 39.

ПРОТОТИП 11

1. Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 6π, угол сектора равен 120°, а радиус круга равен 9. В ответ укажите число, деленную на π.

2. Площадь ромба равна 54, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

4. Сторона ромба равна 65, а диагональ равна 104. Найдите площадь ромба.

5. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

6. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

7. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей - , а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 150°. Найдите площадь ромба.

8. В трапеции ABCD AD = 3, BC = 1, а её площадь равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.

9. В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 2. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

10. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 92, а отношение соседних сторон равно 3:20.

11. Периметр квадрата равен 160. Найдите площадь квадрата.

12. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

13. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

14. Средняя линия трапеции равна 11, а меньше основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.

15. Периметр ромба равен 24, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.

16. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

17. В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен 60°, длина этой стороны равна 5. Найдите площадь прямоугольника, деленную на

18. Площадь параллелограмма ABCD равна 56. Точка E - середина стороны CD. Найдите площадь трапеции AECB.

ПРОТОТИП 12

1. На рисунке изображен ромб . Используя рисунок, найдите .

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена фигура. Найдите её площадь.

3. На рисунке изображен параллелограмм . Используя рисунок, найдите .

4. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

6. Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.

7. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

8. На рисунке изображена трапеция . Используя рисунок, найдите .

9. Найдите тангенс угла С треугольника ABC , изображённого на рисунке.

10. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

11. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.

12. Найдите тангенс угла AOB.