Конспект урока 'Решение квадратных уравнений по формуле'

Тема урока: Решение квадратных уравнений по формуле.

Цель урока: ознакомить учащихся с выводом формулы корней квадратного уравнения, научить решать квадратное уравнение с помощью формулы, знать ее вывод; уметь определять количество корней в зависимости от знака дискриминанта Д = в²- 4 ас; развивать логическое мышление учащихся.

Оборудование урока: 1. Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - 19-е изд. - М.: Просвещение, 2013. - стр. 116 - 123.

2. Электронное приложение к учебнику Алгебра - 8.

3. Таблица № 5 «Решение квадратных уравнений по формуле».

Литература: 1. Учебник. Алгебра - 8

2. Алгебра. 8 класс. Часть I: Поурочные планы по учебнику «Алгебра. 8 класс» / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2001/Сост. Д.Ф. Айвазян. - Волгоград: Учитель - АСТ, 2003.

3. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса.

План урока

1. Организующее начало урока.

2. Проверка домашнего задания.

3. Объяснение новой темы.

4. Закрепление изученного материала.

5. Итог урока.

6. Домашнее задание.

Ход урока.

Учитель. Ребята, давайте повторим пройденный материал. Вспомните, пожалуйста, выделение квадрата двучлена из уравнения

ах² + вх + с = 0 (1)

( К доске вызывается один ученик).

Остальные выполняют

математический диктант с последующей проверкой.

1. Запишите квадратное уравнение, у которого старший коэффициент 4, второй коэффициент - 16, свободный член 15.

2. Запишите приведенное квадратное уравнение, второй коэффициент и свободный член которого равны - 2.

3. В квадратных уравнениях укажите коэффициенты а, в и с

5х² - 8х + 4 = 0, 8х² - 0,6х - 1 = 0,

- 5х² + 4 = 0, 2х² - 3х = 0, -5,8х² = 0.

4. Запишите неполное квадратное уравнение старший коэффициент которого - 3, свободный член 9.

Проверяется домашняя работа.

Объяснение темы.

- Итак, на прошлом уроке мы решали квадратное уравнение с помощью выделения квадрата двучлена и пришли к следующему равенству:

в ² в² - 4ас

х + - = -----. (2)

2а 4а²

Уравнение (2) равносильно уравнению (1).

Число его корней зависит от знака дроби в² - 4ас

-----.

4а²

Так как а = 0, то 4а² - положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком ее числителя, т.е. выражения в² - 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ах² + вх + с = 0 ( «дискриминант» по-латыни - различитель ). Его обозначают буквой D, т.е.

D = в² - 4ас.

Запишем уравнение в виде в ² D

х + - = --- .

2а 4а²

Рассмотрим теперь различные возможные случаи в зависимости от D .

1) Если D > 0, то

___ ___

в √ D в √ D

х + - = - -- или х + - = ---,

2а 2а 2а 2а

___ ___

в √ D в √D

х = - - - -- или х= - - + ---,

2а 2а 2а 2а

__ __

- в - √ D - в +√D

х = --- или х = ---- .

2а 2а

Таким образом, в этом случае уравнение имеет два корня:

___ __

- в - √ D - в +√D

х₁ = --- и х₂ = ---- .

2а 2а

Принята следущая краткая запись:

- в ± √ D

х_1,2 = --- , где D = в² - 4ас.

2а

2) Если D = 0, то уравнение примет вид:

в ² в

х + - = 0. Отсюда х + - = 0

2а 2а

в х = - - .

2а в

В этом случае уравнение (1) имеет один корень - - .

2а

Формулой корней квадратного уравнения можно пользоваться и в этом случае. Действительно. При D = 0 эта формула принимает

__

вид: - в ± √0 в

х = --- , откуда х = - ---.

2а 2а D

3) Если D < 0, то значение дроби - отрицательно и

4а²

поэтому уравнение в ² D

х + - = - , а следовательно, и уравнение

2а 4а²

(1) не имеют корней.

Таким образом, в зависимости от дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня ( при D > 0 ), один корень ( при D = =0 ) или не иметь корней ( при D < 0 ).

Записи в тетрадях учащихся:

ах² + вх + с = 0, D = в² - 4ас

___

- в ± √ D

1) D > 0, х_1,2 = ---

2а

2) D = 0, в х = - - .

2а

3) D < 0, уравнение корней не имеет.

При решении квадратного уравнения по формуле целесообразно поступать следующим образом:

1. вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2. если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Решим квадратные уравнения с помощью дискриминанта. Откройте учебники, решаем № 534(а, в, д, ж).

а) 3х² - 7х + 4 = 0, D =49 - 4·3·4 = 49 - 48 = 1> 0 - 2 корня,

__ __

7 + √1 8 4 1 7 - √1 6

х = --- = - = - = 1 -, х = ---- = - = 1.

2·3 6 3 3 2·3 6

1

Ответ: 1 - , 1.

3

На доске решение в)

в) 3х² - 13х + 14 = 0, D=169 - 4·3·14=169 - 168 = 1 > 0- 2 корня,

___{___} __

13 +√1 14 7 1 13 - √1 12

х = --- = - = - = 2 -, х = ---- = - = 2.

2·3 6 3 3 2·3 6

1

Ответ: 2 - , 2.

3

Пункт д) решение на доске.

д) 5у ²− 6у + 1 = 0, D=36 -4·5·1=36 -20 = 16 > 0- 2 корня,

6 + 4 10 1 6 - 4 2

у = --- = - = - = 1, у = --- = - =0,2.

2·5 10 1 2·5 10

Ответ: 1; 0,2.

ж) у² - 10у - 24 = 0, D=100 - 4·24·1=100 +96 = 196 > 0- 2 корня,

10 +14 24 12 10 -14 -4

у = --- = - = - = 12, у = --- = - = -2.

2·2 1 1 2·1 2

Ответ: 12 ; -2.

№ 535 (б, г); №537 (а)

Итог урока. 1) Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

2. Напишите формулу корней квадратного уравнения.

Выставляю оценки особо отличившимся на уроке учащимся.

Откройте дневники, записывайте домашнее задание.

п. 21, № 536 (а,г,д,е); № 555.Прочитать на странице 249 учебника

« Исторические сведения о квадратных уравнениях».

Урок окончен, отдыхайте.