Конспект урока по алгебре Решение задач при помощи квадратных уравнений

План-конспект урока по алгебре в 8 классе

Учителя математики МБОУ «Гимназии №1 им. К.Д.Ушинского»

Совер Татьяны Юрьевны

Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Тип урока: урок изучения нового материала, первичного закрепления знаний и формирования умений и навыков.

Учебник: Алгебра 8, авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

Оборудование: тетради, учебники, интерактивная доска, карточки для выполнения групповой работы.

Цель урока: развить умение решать задачи с помощью квадратных уравнений: выявлять связи между величинами, составлять уравнения, подводить итог, развить познавательный интерес при решении задач и уравнений.

Задачи урока:

• образовательная: познакомить с применением способа решения задач с помощью квадратных уравнений; сформировать умения составлять алгоритмы решения задач с помощью квадратных уравнений; развивать вычислительные навыки для решения квадратных уравнений

• развивающая: развитие внимания, логического мышления, памяти, кругозора учащихся;

• воспитательная: способствовать развитию любознательности и творческой активности обучающихся, договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности;

• практическая: обучение навыкам поискового чтения из текста с извлечением информации для составления уравнения

Универсальные учебные действия:

• Личностные - осознание учащимися важности составления уравнений для решения задач, умение оценивать себя.

• Познавательные - умение извлекать нужную информацию из прочитанного текста.

• Коммуникативные - через диалоги умение слушать и грамотно излагать свое мнение.

• Регулятивные - взаимный контроль, самоконтроль (анализ, причины ошибок), контроль со стороны учителя.

Планируемый результат:

Знать:

• алгоритм решения квадратных уравнений;

• алгоритм решения задач на составление уравнений;

Уметь:

• применять алгоритм решения задач на составление квадратных уравнений на практике,

• применять удобный способ решения квадратных уравнений

• использовать различные источники знаний,

• работать с карточками различного содержания,

• работать в группах, индивидуально.

Используемые технологии: уровневой дифференциации, проблемно поисковой, групповые, ИКТ.

Ход урока:

«Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы»

Герберт Спенсер

Организационный момент

Проверка учителем домашнего задания (учащиеся отвечают по тетрадям).

Формулировка учителем целей урока.

Актуализация знаний.

Фронтально повторить:

1. Какое уравнение называют квадратным?

2. Какие виды квадратных уравнений вы знаете? Чем они отличаются?

3. Что такое корень уравнения?

4. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

5. Формула дискриминанта квадратного уравнения.

6. Формула дискриминанта квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.

7. Формула корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.

8. Формула корней квадратного уравнения.

Устная работа.

На мультимедийной доске выведено задание:

1) Назовите коэффициенты квадратного уравнения a, b и c. И определите тип данного квадратного уравнения (полное или неполное)

А. 3х²+2х=0

Б. -6х+7- х²=0

В. 8х-5х² =7

Г. -6- 3х²=-2х

Д. -0.5х+ 4.3х²=-0.2

2) Определите сколько корней имеет квадратное уравнение:

Уравнение

D=b² - 4ас

Количество корней

х² −15х +32=0

D=

х² - 5х + 3=0

D=

-3х² −3х +1=0

D=

−5х² +2х+7=0

D=

3х² +х=5

D=

9х²+8х+5=0

D=

Работа по изучению нового материала.

С помощью квадратных уравнений решаются многие математические, физические, технические задачи. На экран выводится пример первой задачи. Происходит коллективная работа класса под руководством учителя: обсуждение алгоритма решения задачи, что дано в задаче, что обозначим за х, повторение теоремы Пифагора, анализ составленного уравнения, обсуждение полученных результатов.

Задача 1. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.

Решение: Пусть меньший катет равен х см, тогда больший катет равен (х+4) см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е.

х² +(х+4) ²=20² .

Упростим это уравнение:

2х² +8х+16=400,

2 х² +8х - 384=0,

х² +4х - 192=0.

Решив полученное квадратное уравнение, найдем, что

х₁=-16, х₂ = 12.

По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т.е. число 12 - меньший катет. Тогда больший катет будет 16 см.

Ответ: 12 см, 16 см.

Задача 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60м?

Решение: из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенное вертикально вверх тело окажется через t(с), может быть найдена по формуле

, где V₀ (м/с) - начальная скорость, g - ускорение свободного падения, приближенно равно 10 м/с². Подставив значения h и V₀ в формулу, получим

60=40t-5t².

Отсюда 5t²-40t+60=0,

t² - 8t+12=0.

Решив полученное уравнение, найдем, что t₁=2, t₂ = 6.

На экране дан график зависимости h от t, где h= 40t-5 t². Из графика видно, что тело, брошенное вертикально вверх, в течение первых 4 с поднимается вверх до высоты 80м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после броска. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня. Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

Физкультминутка

Учитель предлагает учащимся сделать перерыв на физкультминутку.

Поднимитесь на ноги, станьте в проходы. Потянитесь вверх и сделайте глубокий вдох. Задержитесь наверху и задержите дыхание на 3 секунды. Выдох, руки вниз и наклон вниз. Повторить 2 раза.

Встаньте ровно. Расслабьтесь. Закройте глаза. Поводите глазами вверх, вниз, влево, вправо. Откройте глаза.

Улыбнитесь друг другу. И с хорошим настроением продолжим работу.

Закрепление пройденного материала.

Работа у доски. Решает «сильный» ученик с подробным объяснением, остальные решают у себя в тетрадях. Учитель контролирует решение. По учебнику № 559, 560, 562, 563, 568.

Подведение итогов.

Рефлексия:

Учитель: С каким настроением вы уходите с урока?

Ученики поднимают сигнальные карточки.

</

Домашнее задание: из учебника: п. 23 № 561, 564, 566, 569

Минута психологической разгрузки

В истории арифметики и алгебры большое значение имеют труды Мухаммеда ал-Хорезми. Он написал книгу, посвященную решению уравнений, которая называлась «Книга о восстановлении и противопоставлении.» Книга начинается с введения чисел, далее идет представление главной темы первого раздела книги- решения уравнений Все представленные уравнения являются линейными или квадратными и состоят из чисел, их квадратов и корней. Интересно отметить, что во всех книгах Аль-Хорезми, математические вычисления фиксируются исключительно при помощи слов,- ни один символ, таким образом, им не использовался Преобразование выполняется посредством двух операций- ал-джабр и ал- мукабала. Слово « ал-джабр» Ал-Хорезми употребляется в значении «восполнение» для обозначения процесса перенесения слагаемых из одной части уравнения в другую термин « ал-мукалаба» означает « противопоставление» и используется для обозначения процесса сокращения равных членов в обеих частях уравнения. От слова «ал-джабр» возникло слово « алгебра»

В развитии алгебры как науки большую роль сыграла книга английского физика и математика Исаака Ньютона «Всеобщая арифметика» изданная в1707 году. В предисловии к своей книге он писал, что алгебраическим путем решаются очень трудные задачи, решение которых было бы тщетно искать при помощи одной арифметики»

В своей «Всеобщей арифметике» Ньютон называет буквы, знаки действий, алгебраические выражения и уравнения языком алгебры. Ньютон оказал огромное влияние на последующее развитие алгебры. После него авторы учебников уже рассматривали алгебру как общую арифметическую дисциплину, математики занимающуюся изучением и дальнейшим развитием численных методов решения алгебраических уравнений.