УРОК 'Теорема Виета' (8 класс)

Дата: 19.08.15г

Предмет: алгебра

Тема урока: Теорема Виета.

Класс: 8

Цель урока:

• научить применять теорему Виета и обратную ей теорему в различных ситуациях при решении квадратных уравнений.

Задачи:

• Образовательные: познакомить учащихся с одним из способов решения квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды квадратных уравнений, закрепить навыки решения уравнений;

• Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать. Установить связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, формировать у учащихся навыков применения теоремы Виета и теоремы обратной теореме Виета;

• Воспитательные: формировать навыки исследовательской работы, воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: проектор, компьютер, карточки с дифференцированными заданиями, индивидуальная карточка ученика.

Тип урока: Урок усвоения новых знаний

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.

Ожидаемый результат:

Научиться применять теорему Виета и обратную ей теорему в различных ситуациях при решении квадратных уравнений и формирование навыков исследовательской работы

Структура урока:

1. Организационный момент; (2 мин)

2. Актуализация опорных знаний - устная работа («Интервью»), с помощью которой ведётся повторение пройденного материала с последующей постановкой цели; (3 мин)

3. Исследовательская работа в группах по 4-5 человека; (5 мин)

4. Изучение нового материала - рассматривается ещё один способ решения квадратных уравнений - теоремой Виета. (15 мин)

5. Закрепление изученного материала. (Работа в парах 5 мин)

6. Практическое применение полученных знаний. «Решите сами!» (Индивидуальная работа 5 мин)

7. Тест (Работа в группах 5 мин)

8. Подведение итогов урока. (3 мин)

9. Домашнее задание. (1 мин)

10. Рефлексия. (1 мин)

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин);

2. Устная работа. «Интервью» (3 мин);

Фронтальный опрос:

1. Какое уравнение называется квадратным?

2. Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

3. Какое уравнение называют неполным?

4. Какое уравнение называют приведенным?

5. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

6. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

7. Какое выражение называют дискриминантом?

8. В каком случае квадратное уравнение имеет два корня?

9. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D = 0?

10. В каком случае квадратное уравнение не имеет решения?

(Деление учащихся по цвету стикеров на три группы)

3. Исследовательская работа (в группах 5 мин).

Решите уравнения и заполните таблицу:

Уравнение

а

в

с

x₁

x₂

x₁+x₂

x₁ · x₂

x²-7x+12=0

x²+5x+6=0

x²+10x-39=0

x²-8x-33=0

х² + 3х + 2 = 0

Ответы:

Уравнение

а

в

с

x₁

x₂

x₁+x₂

x₁ · x₂

x²-7x+12=0

1

-7

12

3

4

3+4=7

3*4= 12

x²+5x+6=0

1

5

6

-3

-2

-3+(-2)= -5

-3*(-2)= 6

x²+10x-39=0

1

10

-39

-13

3

-13+3= -10

-13*3= -39

x²-8x-33=0

1

-8

-33

-3

11

-3+11= 8

-3*11 = -33

х² + 3х + 2 = 0

1

3

2

-2

-1

-2+(-1)= -3

-2*(-1)= 2

Проанализируем результаты.

• Назовите вид квадратных уравнений, записанных в таблице. (Все уравнения приведенные.)

• Ребята, я попрошу вас сравнить произведение корней с коэффициентами уравнения. Какую особенность вы подмечаете?

• Сравните сумму с коэффициентами уравнения

• Какую закономерность вы заметили?

• Какое утверждение можно сформулировать?

(Сумма корней приведенных уравнений равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком Произведение корней приведенных квадратных уравнений равно свободному члену.)

4. Изучение нового материала (15 мин).

Формулировка прямой теоремы Виета и её доказательство Теорема Виета: Если х₁ и х₂ - корни уравнения x² +px+q=0, то справедливы формулы:

х₁ +x₂ =-p

x₁ *x₂ =q

Верна также и обратная теорема Виета:

Обратная т. Виета: Если числа p, q, x₁,x₂ таковы, что x₁ +x₂ =-p, x₁ *x₂ =q ,

то x₁ и x₂ - корни уравнения x² +px+q=0

Немного о биографии Франсуа Виета

Франсуа Виет (1540-1603)-создатель буквенного исчисления, крупнейший французский математик XVI века. Юрист по образованию, Виет увлекался астрономией и занимался усовершенствованием тригонометрических таблиц. Виет был советником короля Генриха III, которому помог в расшифровке переписки его врагов с испанским двором, он раскрыл тайну шифра, состоявшего из 500 знаков. Свои алгебраические идеи Виет изложил в сочинении «Введение в аналитическое искусство», в котором предложил преобразовать алгебру в мощное математическое исчисление. Виет ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры, он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Его часто называют: «ОТЦОМ АЛГЕБРЫ».

Пример.

Решим уравнение: х² + 2х - 3 = 0.

Какое это уравнение?

Как это уравнение можно решить?

Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

Можно его решить устно?

Ответ: Можно, по теореме Виета.

Какие же корни?

х₁ +x₂ =-p -3 +1 = - 2

x₁ *x₂ =q -3 *1 = - 3

Ответ: -3 и 1.

(Работа на постерах)

Первая группа - полные квадратные уравнения

Вторая группа - неполные квадратные уравнения

Третья группа - приведенные квадратные уравнения

5. Закрепление изученного материала (5 мин).

Найдите для каждого уравнения соответствующие корни, пользуясь теоремой Виета:

а) x²-7x+10=0 и x₁=-4 x₂=7

в) x²+12x+32=0 и x₁= 3 x₂= -6

с) x²+3x-18=0 и x₁=2 x₂= 5

д) x²+10x+25=0 и x₁=-8 x₂=-4

е) х²-3х-28=0 и x₁=-5 x₂=-5

6. Решите сами! (Индивидуальная работа)

Задание

А

Найдите сумму и произведение корней уравнения, не решая его, ответ объясните:

1. х² + 5х - 6 = 0 ответ: -6; 1

2. х² - 7х -18=0 ответ: 9; -2

3. х² - 7х + 10 = 0 ответ: 5; 2

4. х² + 9х +14= 0 ответ: -7; -2

В

Составьте уравнения, корнями которого являются числа:

1. 2; 4 ответ: х² - 6х + 8 = 0

2. 3; 7 ответ: х² - 10х + 21 = 0

3. 5; ответ: х² - 10х + 25 = 0

4. -2; 10 ответ: х² - 8х - 20 = 0

С

Зная один из корней, найти другой:

• х² + 10х - 11 = 0 , х₁= 1 ответ: х₂ = -11

• х² - х -6=0 , х₁=-2 ответ: х₂ = 3

• х² -25х +100 = 0 , х₁=5 ответ: х₂ = 20

7. Тест (5 мин).

Тренировка в группах: (Виет умел работать с шифровками!)

Тест по теме «Теорема Виета» (учитель проверяет по шифру)

Вариант 1:

1) х²-4x+3=0

Т -{1;3}; Е - {3;-4}; А -{-3;-1};

2) х²-12x+11=0

А - {-11;-1}; Е - {1;11}; М - {8;-3};

3) x²+5x+4=0

А - {1;4}; М - {-4;-1}; Т - {9;20};

4) При каком значении р один из корней уравнения x²-px+9=0 равен 1? Найти второй корень.

Е - {р=1; x₂=4}; Т - {р=10; x₂=-9}; А - {p=10; x₂=9}.

Ответ: ТЕМА

Вариант 2:

1) x²-8х+7=0

И - {-1; 7}; В - {1;7}; Т - {-8;-1};

2) x²+3x+2=0

И - {-2;-1}; Е - {2;3}; В - {-1;2};

3) x²-16x+15=0

Т - {5;10}; Е - {1;15}; В - {-5; 20}.

4) При каком значении p один из корней уравнения x²-px+6=0 равен 1? Найти второй корень.

В - {р=-2; x₂=4}; Е - {p=1; x₂=10}; Т - {p=7; x₂=6}.

Ответ: ВИЕТ

8. Подведение итогов урока (3 мин).

- Что нового узнали на уроке?

- Понравился ли урок?

- Что понравилось на уроке?

- Что не понравилось?

- Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?

9. Домашнее задание: № 438 № 450 № 452 (1 мин).

Творческое задание: составить рекламу ДИСКРИМИНАНТ или ТЕОРЕМА ВИЕТА;

10. Рефлексия (1 мин).