Урок по математике для 8 класса по теме «Метод вспомогательной окружности»

Проект урока геометрии 8 класс

«Метод вспомогательной окружности»

Учитель: Е. Д. Рязанова

Дата проведения:17.04.2013

Тема урока: «Метод вспомогательной окружности».

Тип урока: урок решения ключевой задачи.

Учебная задача: совместно с учащимися выделить метод вспомогательной окружности, обсудить условия его применения для решения задач.

Диагностируемые цели:

ученик

воспроизводит суть метода вспомогательной окружности;

понимает, для решения каких задач можно использовать метод вспомогательной окружности;

какие признаки в задаче задают вспомогательную окружность;

распознаёт вспомогательную окружность по известным признакам.

Методы обучения: метод эвристической беседы; индуктивно-дедуктивный метод.

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная.

Средства обучения: записи на доске, ИКТ (презентация).

Ход урока

1. Мотивационно-ориентировочная часть (презентация)

- Обсудим домашнее задание.

Задача.

Как правило, с первым пунктом учащиеся справляются самостоятельно, а доказательство второго равенства вызывает значительные сложности. Организуем поиск доказательства.

− Чтобы доказать равенство углов СDК и САК, равенство какой другой пары углов достаточно установить? (Достаточно установить равенство )

− Что общего в расположении этих углов? (Отрезок НК.)

На доске:

− Какую похожую ситуацию напоминает нам фрагмент чертежа с рассматриваемыми углами при вершинах В и D и отрезком НК? (Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.)

− Что мы про них знаем? (Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.)

− Через какие точки должна проходить желаемая окружность? (Через точки Н, D, В и К.)

− Вершинами какого четырёхугольника являются эти точки? (НDВК.)

− Каким должен быть данный четырёхугольник по отношению к желаемой окружности? (Он должен быть вписанным в неё.)

На доске:

…

− Когда можно вписать четырёхугольник в окружность? (Если сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна 180⁰, то его можно вписать в окружность.)

− Давайте искать, есть ли такая пара углов. (Да, это углы НКВ и НDB, т.к. АК и СD - высоты треугольника.)

− Проведите доказательство равенства .

Самостоятельно в тетрадях.

DВКН:

DВКН - вписанный (признак)

2. Содержательная часть

− Что помогло решить задачу? (Окружность.)

− Было ли о ней заявлено в условии задачи? (Нет.)

− С такой ситуацией мы уже сталкивались, когда в условии задачи не было речи об объекте, но он, появившись, как тайный помощник, помогал решить задачу очень быстро. Как правило, такой объект мы называли вспомогательным, и уже использовали вспомогательные равные треугольники, вспомогательную площадь, вспомогательные подобные треугольники… . Сегодня мы познакомились со вспомогательной окружностью. Следовательно, есть смысл выделить новый метод решения задач с помощью окружности.

Учащиеся делают записи в тетрадях:

− Тема урока. Метод вспомогательной окружности.

Суть метода. Для доказательства равенства углов можно попытаться доказать существование окружности, в которой эти углы были бы вписанными, опирающимися на одну и ту же дугу.

− Конечно, для решения этой задачи нам не хватило опыта отыскания такой окружности. Поэтому важно понять, какие внешние признаки в условии или на чертеже способствуют появлению такой окружности.

Далее обсуждаем с учащимися ситуации, в которых четыре точки могут принадлежать одной окружности. При этом делаем схематично чертёж.

Записи на доске и в тетрадях.

«Признаки» вспомогательной окружности

- Какие признаки способствовали появлению окружности в данной задаче? (Два прямых угла, опирающиеся на один и тот же отрезок.)

О - центр

- Какое условие следует потребовать от углов 1 и 2, если они не прямые? (Их сумма должна быть равна 180⁰.)

О - центр

или

- Рассмотрим ситуацию, когда вершины прямых углов (точки С и D) лежат по одну сторону от отрезка, на который опираются эти углы. Докажем, что А, В, С, D на одной окружности.

- Через сколько точек вне одной прямой всегда можно провести окружность? (Через три точки.)

- Как расположены А, В и D по отношению к О? (Равноудалены от точки О.)

- Почему СО и DО равны? (СО и DО - медианы прямоугольных треугольников с общей гипотенузой.)

- Верно. Значит, положение точек С^' и С" невозможно.

Вершины прямых углов лежат по одну сторону от отрезка, на который опираются эти углы.

О - центр

При этом

только острый

- Выясним, могут ли углы при вершинах С и D быть равными, но не прямыми, чтобы А, В, С, D принадлежали одной окружности.

Попробуйте это доказать методом от противного. (Если А, В и D лежат на одной окружности а С не принадлежит ей, т.е. занимает положение точки С", то точка Х, как пересечение АС" с окружностью, является вершиной угла, равного углам С и D. При этом по свойству внешнего угла треугольника. Следовательно, вершина С не может занимать положение точки . Аналогично следует доказать, что она не может занимать положение точки С^'.)

- Возвращаясь к третьему чертежу, какими могут быть углы ? (только острый, .)

Вершины равных углов лежат по одну сторону от отрезка, на который опираются эти углы.

О - центр .

− Вернёмся к чертежу домашней задачи. Получив сегодня на уроке некоторый опыт, попробуйте отыскать на чертеже другие вспомогательные окружности, назвав четыре точки, через которые они проходят.

Ученики называют четвёрки точек, доказывая их принадлежность одной окружности, учитель фиксирует некоторые ответы на доске.

1. А, D, К, В.

2. Н, М, В, К.

3. А, D, Н, М.

4. С, D, М, В…

На данном чертеже таких окружностей шесть. Все окружности учитель демонстрирует через проектор.

3. Рефлексивно - оценочная часть

− Для чего сегодня на уроке мы применили вспомогательную окружность? (Для доказательства равенства углов.)

− При решении каких задач нам приходится доказывать, что углы равны? (Для доказательства равенства или подобия треугольников, параллельности прямых, для признания луча биссектрисой угла, для признания равнобедренности треугольника, …. .)

−Таким образом, метод вспомогательной окружности имеет очень широкое применение при решении задач разной тематики. Если, конечно, он упрощает решение задачи. Поэтому, желаю Вам успеха в его освоении и хочу закончить урок словами мудреца, который сказал:

Домашнее задание.

Указать ещё две пары подобных треугольников,

аналогичных данным.