Конспект урока по теме: 'Арксинус. Решение уравнений sin t=a' (10 класс)

Арксинус. Решение уравнения sin t =a

Урок математике в 10 классе

Автор: Шудраков Николай Николаевич

Учитель математики МБОУ СШ №12

Цель урока: сформировать у учащихся понятие арксинуса; вывести общую формулу решения уравнения sin t = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;

Оборудование: компьютер, проектор, экран, плакат «Числовая окружность», раздаточный материал, презентация «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»

Литература:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. М: Мнемозина, 2013.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник. М: Мнемозина, 2013.

3. Математика. Подготовка к ЕГЭ: секреты оценки заданий повышенного и высокого уровней сложности. Решения и комментарии: учебно-методическое пособие / Е.Н.Васильева, Л.С. Ольховая. - Ростов-на-Дону: Легион, 2014.

Ход урока

1. Организационный этап (1 минута)

Приветствие. Проверка присутствующих в классе.

2. Краткое повторение изученного материала, актуализация опорных знаний (5 минут)

Повторение способов решения уравнения вида sin t = a, (де а - действительное число), с помощью числовой окружности.

• Решим уравнения: sin t = .

Используем геометрическую модель - числовую окружность на координатной плоскости (рисунок 1), получаем пару решений данного уравнения:

Рисунок 1

Введение проблемной ситуации: Любое ли тригонометрическое уравнение вида sin t = a можно решить с помощью числовой окружности? Как решать уравнение sin t = .

3. Оглашение темы урока и постановка целей (1 минута)

Сегодня мы с вами узнаем, как решать подобные уравнения, и как записывать решения подобных уравнений.

Тема сегодняшнего урока: «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»

Сегодня на уроке мы введем понятие арксинуса; выведем общую формулу решения уравнения sin t = a; выработаем алгоритм решения данного уравнения.

4. Изучение нового материала (26 минут)

Давайте попробуем решить уравнение sin t = .

С помощью числовой окружности (рисунок 2) получим:

t = t₁ + , t = t₂ + .

где t₁ - длина дуги АМ, а t₂ - длина дуги АР (так как АР=АС-РС, АС=π, а РС=АМ, получаем что t₂ = π- t₁ ).

Рисунок 2Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arcsin а. Читается: арксинус а («arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t₁ и t₂ записываются следующим образом:

t₁ = arcsin , t₂ = π - arcsin ..

Теперь с помощью этого символа корни уравнения sin t = а можно записать так:

Давайте попробуем ответить на вопрос: «Что же означает arcsin а ?»

Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.

• Решим уравнение sin t = - .

Рисунок 3С помощью числовой окружности (рисунок 3) и символа arcsin а получим:

Ответим на вопрос: «Что же означает arcsin ( - ) ?»

Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен ( - ) и которое принадлежит четвёртой четверти числовой окружности.

Сформулируем определение арксинуса в общем виде:

Если , то arcsin а - это такое число из отрезка , синус которого равен а.

Итак:

Заметим два обстоятельства:

1. Дуги АМ и АL равны по длине и противоположны по направлению, значит (рисунок 4)

2. АК=АС+СК=АС+ LА=

Рисунок 4=АС-АL=π- arcsin ( - )

Обобщим полученные выше решения и запишем:

Если , то уравнение sin t =a имеет две серии решений:

Существует три частных случая, когда решения записывают более простым соотношением, они записаны на форзаце вашего учебника (рисунок 5).

Рисунок 5

Рассмотрим примеры на вычисление арксинуса.

Пример 1. Вычислите arcsin .

Решение:

Пусть

Значит, поскольку и Итак, arcsin=

Пример 2. Вычислите arcsin . .

Пример 3. Вычислите arcsin 0.

Отметим, что для любого а справедлива формула:

Две полученные выше формулы для решения уравнения можно объединить в одну общую формулу для решения уравнения sin t =a :

5. Обобщение изученного материала

Итак, давайте составим алгоритм решения уравнения вида sin t =a :

• составить общую формулу;

• вычислить значение arcsin a;

• подставить найденное значение в общую формулу

Пример 4. Решите уравнение sin t =.

Решение:

Составим общую формулу решения:

Вычислим значение арксинуса:

=

Подставим найденное значение в формулы решений:

или

Пример 5. Решите уравнение sin t =.

Пример 6. Решите уравнение sin t =.

Пример 7. Решите уравнение sin t = - 1,2.

6. Домашнее задание

§16, с. 92 - 98. (изучить теоретический материал).

№ 16.2 (в,г),16.5 (в,г), 16.6 (в,г)

7. Итоги урока

Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арксинуса; вывели общую формулу решения уравнения sin t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.

Спасибо за урок!