Определение квадратного уравнения, его виды и способы решения

Определение квадратного уравнения, его виды и способы решения

Определение: квадратным уравнением называется уравнение вида

ax² + bx + c = 0,

где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

1) Если в квадратном уравнении ах² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах² + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах² + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах² = 0.

2) Квадратное уравнение называют приведённым, если его первый коэффициент равен 1.

Различные способы решения квадратных уравнений:

разложение левой части уравнения на множители; метод выделения полного квадрата; решение квадратных уравнений по формуле; решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета; графическое решение квадратного уравнения; решение квадратных уравнений способом «переброски»; решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки; решение квадратных уравнений с помощью номограммы; геометрический способ решения квадратных уравнений. В школьном курсе алгебры применяются способы решения квадратных уравнений: метод выделения квадрата двучлена; решение квадратных уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения; разложение квадратного уравнения на линейные множители; решение уравнений с использованием теоремы Виета; графический способ решения квадратных уравнений.

Подробно исследуем способы решения квадратных уравнений: решение уравнений способом «переброски»; применение свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Но прежде, чем исследовать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

• не имеют корней;

• имеют ровно один корень;

• имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен.

2.2. Решение уравнений способом «переброски».

Суть метода состоит в том, что корни квадратных уравнений ax² + bx + c = 0 и y² + by + ac = 0 связаны соотношением: х = .

Рассмотрим квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению у² + bу + ас = 0, равносильному данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ = y₁ / a и х₂ = y₂ / a. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему. Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.¹

Дано уравнение: 2х² - 11х + 15 = 0. Решим данное уравнение способом «переброски»

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение y² - 11y + 30 = 0. (D>0), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

у₁ + у₂ = 11 ; у₁ * у₂ = 30

у₁ = 5 ; у₂ = 6 вернемся к корням исходного уравнения х₁ = 5/2, x₁ = 2,5 и x₂ = 6/2, x₂ = 3. Ответ: 2,5; 3.

Дано уравнение √3x² - 5x - √12 = 0. Решим данное уравнение методом «переброски»

По методу «переброски» будем работать не с исходным, а с новым квадратным уравнением:

y² - 5y - √12 · √3 = 0;

y² - 5y - 6 = 0.

Находим числа, сумма которых равна 5, а произведение равно -6.

Легко видеть, что это будут числа 6 и -1. Тогда исходное уравнение будет иметь корни:

x₁ = 6/√3; x₂ = -1/√3.

В знаменателе уберем иррациональность. Получим:

x₁ = 2√3; x₂ = -√3/3.

Ответ: 2√3; -√3/3.

Рассмотренный метод очень эффективен при решении задач, он позволяет устно решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений, а не тратить время на вычисление дискриминанта. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

2.3. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение. Согласно теореме Виета

1. Если а + b + с = 0 (т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х₁ = 1, х₂ = .

Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x² + * x + = 0.

Согласно теореме Виета

x₁ + x₂ = - ,

x₁ x₂ = 1* .

2. Если а - b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x₁ + x₂ = - а + = -1 - c/a,

x₁ x₂ = - 1* ( - ),

т.е. х₁ = -1 и х₂ = - .²

Дано уравнение: 345х² - 137х - 208 = 0. Решим данное уравнение, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Так как а + b + с = 0 , (345 - 137 - 208 = 0), то

х₁ = 1, х₂ = . = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

Решим уравнение 2х² - 6х + 4 = 0 также, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Так как а + b + с = 0, 2 - 6 + 4 = 0, то

х₁ = 1; х₂ = = 4/2 = 2

Ответ: 1; 2.

Используя это свойство, решим уравнение 15х² - 8х - 7 =0.

Так как a + b + c=0, 15 - 8 - 7 =0, то

х₁ = 1; х₂ = = -7/15

Ответ: 1; -7/15.

Решим уравнение 2x² + 3x + 1 = 0 также, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Так как 3 = 2 + 1, (b = a + c), то

x₁ = -1 x₂ = (-c/a) = -1/2.

Ответ: -1; -1/2.

1 https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение.

2</<sup> https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение.