Урок алгебры и начал анализа в СПО. Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Подготовлено преподавателем ГБОУ СПО "Колледж связи №54" Балакший Т.В.

Урок алгебры и начал анализа в СПО.

Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цель урока: сформировать навыки решения тригонометрических уравнений различного типа.

Задачи урока.

1. Образовательные:

- закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;

- создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

- установление межпредметных связей.

2. Воспитательные:

- воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

3. Развивающие:

- формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

- развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке:

- индивидуальная, фронтальная, парная.

Методы обучения:

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации: таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема

на партах учащихся: опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, листы учета знаний, лист бумаги для проведения теста и копирка.

1. Организационный момент.

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

2. Повторение теории.

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

3).Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

Учитель: «Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений, повторим основные формулы».

3. Выполнение теста.

Работа выполняется на заранее приготовленных карточках, затем проводим самопроверку.

Вариант 1 ответы

1) Каково будет решение уравнения ?

a)

2) При каком значении a уравнение sin x=aимеет корни?

b)

3) Какому промежутку принадлежат значения ?

c).

4) Каким будет решение уравнения ?

d).

5) ^{Решите уравнение}

e).

6)

f).

7) ^{Решите уравнение}

k).

l)

Вариант 2 ответы

1) Каково будет решение уравнения ?

a).

2) При каком значении a уравнение имеет корни?

b).

3) Какому промежутку принадлежат значения ?

c).

4) Какой формулой выражается решение уравнения ?

d).

5)

e).

6) Решите ^{уравнение}

f).

7)

k).

l)

Учащиеся меняются карточками. Преподаватель диктует ответы. Учащиеся проверяют ответы ставят оценку.

Выполняется работа над ошибками.

4. Устная работа.

Учитель: «Исправьте ошибки на доске и подумайте об их причинах».

Уравнение

Ответ с ошибкой

Правильный ответ

Нет корней

6. Историческая справка о развития тригонометрии, решении тригоно- метрических уравнений

Выступление ученика.

7. Новый материал

Рассмотрим тригонометрические уравнения сводящиеся к простейшим. Разделим их на три типа:

I тип уравнения сводящиеся к квадратным.

II тип однородные уравнения первой степени

III тип однородные уравнения первой степени

I тип. Рассматриваю вмести с учащимися .

Это уравнения, которые после введения нового неизвестного , где - одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные .

Пример 1. Решим уравнение

Введем новое неизвестное , тогда данное уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t:

Уравнение имеет два корня и . Следовательно, множество всех решений данного уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений и . Решая каждое из этих уравнений, находим, что множество решений :

, , .

Пример 2. Решим уравнение

Имеющее новое неизвестное . Данное уравнение превращается в рациональное уравнение с неизвестным t:

,

Имеющее два решения ,.

Значит, множество решений данного уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений:

, .

Решая каждое из этих простейших тригонометрических уравнений, находим, что множество решения состоит из двух серий решений.

.

В следующем примере рассмотрим тригонометрическое уравнение при решении которого используются некоторые тождественные преобразования.

Пример 3. Решим уравнение

Применяя основное тригонометрическое тождество , перепишем уравнение в виде

Введем новое неизвестное , тогда уравнение превращается в квадратное с неизвестной t:

Уравнение имеет два корня ,. Поэтому множество решений уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений и . Решение первого состоит из двух этих серий. Второе уравнение не имеет решений , следовательно, решение уравнений состоит из двух серий:

, .

II тип: однородные уравнения первой степени.

Это уравнения вида:

,

где A,B и C - данные числа и .

Рассмотрим первый случай:

Так как , то, разделив обе части уравнения на число , перепишем уравнение в виде

где

Так как , то можно подобрать такой угол , что и . Тогда изначальное уравнение можно записать в виде , или в виде

.

Если подобрать такой угол , что и , то изначальное уравнение можно записать в виде

.

Таким образом, решения уравнения (изначального) сводиться к решению простейшего уравнения.

Пример 4. Решим уравнение

.

Разделив обе части уравнения на число , перепишем его в виде

Так как и , то уравнение изначальное можно записать в виде

Все решения этого уравнения, а значит, и уравнения изначального, задаются формулами , откуда получаем, что уравнение имеет одну серию решений .

Рассмотрим второй случай: .

,

где A,B - данные числа и .

В этом случае уравнение сводится к однородному. Решается методом деления на или . Далее сводим к уравнению относительно или .

Пример 5. Решим уравнение

.

Разделим на , получим

,

.

Это простейшее тригонометрическое уравнение . Все решения этого уравнения, а значит, и уравнения изначального, задаются формулами , откуда получаем, что уравнение имеет одну серию решений .

Данное уравнение ,это уравнение III типа, рассмотрим следующее уравнение относящиеся к этому типу.

Пример 6. Решим уравнение

Основной метод решения таких уравнений это деление на или . Далее уравнение сводится к квадратному относительно или . Однако не всегда возможно пользоваться общим методом решения.

Тогда получаем

В данном уравнение необходимо вынести за скобку , тогда не происходит потеря решений.

Следовательно, множество всех решений данного уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений и .

Решая каждое из этих уравнений, находим, что множество решений :

, .

8. Задания на усвоения новых знаний.

Делаются по образцу, и помощью учителя.

Студенту раздаются следующие карточки.

Карточка 1

1.

Карточка 2

1.

Карточка 3

1.

Карточка 4

1.

Карточка 5

1.

Карточка 6

1.

Карточка 6

1.

Карточка 7

1.

9. Подведение итогов урока.

Учитель: «Сегодня на уроке мы повторили решение простейших тригонометрических уравнений, решали уравнения различными методами,».

в журнал.

Приложение № 1. Опорный конспект - системно-обобщающая схема по решению тригонометрических уравнений.