Подготовка к ОГЭ. 'Углы на клетках'

Углы на клетках

-1-

Как построить прямой угол по клеткам? Очень просто! - скажете вы. - Отметим точку, вершину угла, от неё чертим вправо или влево луч, затем ещё один луч вверх или вниз. Угол между горизонталью и вертикалью - прямой. А можно и по диагоналям соседних клеток.

Всё верно. А если один из лучей уже построен и он не горизонтальный, не вертикальный и не проходит по диагоналям клеток? Как начертить второй луч, чтобы угол между ними был прямым?

Найдём узел сетки, через который проходит начерченный луч. На нашем рисунке до такого узла от начала луча нужно пройти 3 клетки ВЛЕВО и 1 клетку ВНИЗ. Поэтому чтобы получился прямой угол, надо от начала луча отсчитать 1 клетку ВЛЕВО и 3 клетки ВВЕРХ. Почему? Обозначим упомянутые нами точки - А, В и О. Построим векторы ОА и ОВ. Координаты вектора ОА равны (-3; -1), вектора ОВ (-1; 3). Их скалярное произведение равно 0, поэтому они перпендикулярны.

Можно отсчитывать клетки и так: 1 клетку ВПРАВО и 3 клетки ВНИЗ. Тогда вектор ОВ имеет координаты (1; -3), при этом скалярное произведение векторов ОА и ОВ также равно 0.

Вывод. Векторы с координатами (a; b) и (-b; a), или (a; b) и (b; -a), - перпендикулярны.

Рассмотрим несколько задач, связанных с умением находить прямой угол на рисунке.

№ 1. Найти угол АВС на рисунке.

Решение. На первом рисунке угол АОС построен на диагоналях соседних клеток. На втором рисунке векторы ОА и ОС имеют координаты соответственно (3; -4) и (4; 3). Поэтому на первом и втором рисунках центральный угол АОС - прямой, а вписанный угол АВС, опирающийся на ту же дугу, равен его половине, то есть 45°. На третьем рисунке угол АОС - половина прямого, то есть 45°, а угол АВС соответственно равен 22,5°.

№ 2. Три квадрата расположены так, как показано на рисунке. Чему равен угол между прямыми АС и ВD?

Решение. Отрезок ВD переместим параллельно вниз на одну клетку. Появляется отрезок АМ, равный ВD. Угол между прямыми АС и ВD равен углу между АС и АМ на втором рисунке. Соединим отрезком точки С и М. Получается, что угол АМС - прямой и АМ = МС. Треугольник АСМ прямоугольный равнобедренный, поэтому искомый угол равен 45°.

№ 3. Найти тангенс угла, изображенного на рисунке.

Решение. Выделим на этом рисунке узлы сетки - точки А и С. Рассмотрим треугольник АВС. Заметим, что он является прямоугольным, к тому же катет ВС в 2 раза больше катета АС. Отсюда следует, что тангенс угла В равен 1:2 = 0,5.

-2-

Правильный треугольник и описанная около неё окружность, построенные на клетках, несут в себе много интересных свойств. Известно, что радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной а, равен , а радиус вписанной в него окружности - , то есть в два раза меньше. Отсюда следует, что хорда, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через его середину, является стороной правильного треугольника. Другими словами, острый вписанный угол, опирающийся на хорду, перпендикулярную радиусу и проходящую через его середину, равен 60°, а центральный угол и тупой вписанный угол, опирающиеся на эту хорду, - 120°.

Рассмотрим несколько примеров задач, решаемых на основе этого свойства.

1. Угол АВС на рисунке равен 60°, так как хорда АС проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему.

2. Угол АВС на рисунке является половиной угла в 60° из предыдущей задачи и равен 30°.

3. Угол АВС на следующем рисунке равен 120°. При этом четырёхугольник АВСО является ромбом и его острый угол равен 60°.

-3-

Полезным при решении задач на клетках является знание углов правильных многоугольников. Рассмотрим правильный шестиугольник и правильный восьмиугольник. Около них описаны окружности. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°, угол между диагоналями-диаметрами равен 60°, угол между двумя соседними диагоналями, исходящими из одной вершины, равен 30°, меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне, а с другими соседними сторонами - угол 30°. Каждый угол правильного восьмиугольника равен 135°, угол между соседними диагоналями-диаметрами равен 45°.

Найдите на следующих рисунках градусные меры отмеченных углов.

Мясникова Т.Ф.