- Учителю
- Исследовательская работа 'Музыка и математика'
Исследовательская работа 'Музыка и математика'
Министерство общего и профессионального образования
Ростовской области
муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школы № 8
Музыка и математика
Выполнила: Лебедь Диана,
ученица 5 а класса.
Руководитель: Голубова
Наталья Валерьевна,
учитель математики.
Волгодонск, 2015
Содержание
-
Введение 3
-
Связь между музыкой и математикой 3
-
Практическая часть
3.1Создание математической модели музыкального фрагмента 5
3.2Транспонирование мелодии с помощью математической модели. 7
3.3Исследование дат рождения 8
-
Заключение 11
-
Список литературы 12
ВВЕДЕНИЕ
«Музыка есть таинственная арифметика души;
Она вычисляет, сама того не подозревая»
Г.Лейбниц.
Актуальность: На одном из занятий кружка, когда я сказала, что у меня не очень хорошие способности по математике, моя учительница спросила о моих успехах по сольфеджио. Услышав мой ответ, что по сольфеджио у меня хорошие успехи, Наталья Валерьевна сказала, что и по математике должно быть хорошо. Я задумалась над тем, что услышала. Действительно, мне нравятся уроки математики, люблю решать задачи. Нравится музыка и игра на фортепиано, пение. Неужели такие две совершенно разные области как математика и музыка взаимосвязаны? В своей работе я выдвинула следующую гипотезу: любое музыкальное произведение можно представить, как некую математическую модель.
Цель: на примере музыкальных произведений выявить взаимосвязь между музыкой и математикой.
Задачи:
1.Выяснить, были ли в истории попытки связать музыку с математикой.
2. Провести свое исследование по установлению связи между музыкой и цифрами, рассмотрев музыкальные произведения как математическую модель.
3. Переложить числа (даты рождения одноклассников) на музыку. Установить связь между звуками и способностями личности.
Объект исследования: музыка и математика.
Методы исследования:
1.Изучение, обработка и анализ документов.
2.Метод исследования музыкального произведения.
3.Метод проблемно-поисковой ситуации.
СВЯЗЬ МЕЖДУ МУЗЫКОЙ И МАТЕМАТИКОЙ
Музыка и ее первый звук родились одновременно с творением мира, как утверждали древние мудрецы.
В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера "Диссертация о звуке", написанная в 1727 году: "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков".
Свое отношение к математике и музыки ученые высказывались в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". На что Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики".
История знает массу людей, талант которых многогранен и способности к одному роду занятий как бы дополняют способности к другому. Леонардо да Винчи был скульптором, художником, архитектором, инженером; пел, преподавал пение и был первым, кто изучил природу вокального искусства.
Александр Сергеевич Грибоедов, русский писатель и дипломат, был еще композитором, пианистом и органистом. Михаил Иванович Глинка прекрасно рисовал. Эйнштейн играл на скрипке... Дети, обучающиеся музыке, обычно обнаруживают способности и тягу к другим видам искусства, потому что, помимо когнитивных способностей, музыка развивает эмоции, улучшает личностные качества.
Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета - музыку и математику. Музыка, как одно из видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.
Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Он был не только философом, но и математиком, и теоретиком музыки. Родился Пифагор около 570 года до нашей эры на острове Самосее. Пифагор основал науку о гармонии сфер, утвердив ее, как точную науку. Известно, что пифагорейцы пользовались специальными мелодиями против ярости и гнева. Они проводили занятия математикой под музыку, так как заметили, что она благотворно влияет на интеллект. Он учился музыки в Египте и сделал ее предметом науки в Италии. Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Одним из достижений Пифагора и его последователей в математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента - лиры. Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» неодинаковые. Он - неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз нужно перенастраивать. Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт ( его первый труд - "Compendium Musicae" в переводе "Трактат о музыке" ) , Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д'Аламбер, Даниил Бернулли и другие.
Вывод. «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимосвязях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая и духовная деятельность человека. Что между ними размещается все, что человечество создало в области наук и искусства» - писал Г. Нейгауз. Изучив работы ученых, мною было установлено, что в прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку, как один из объектов изучения математики. Таким образом, многие учёные в древности считали, что гармония чисел является сродни гармонии звуков и дополняет друг друга, музыку и математику.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
Создание математической модели музыкального фрагмента.
Рассмотрим фрагмент польки А. Спадавеккиа «Добрый хук» из кинофильма «Золушка». Попробуем сделать математическую модель : каждой ноте соответствует номер ступени. Цифра 1 - I ступень, 2 - II ,3 - III, 4 - IV, 5 - V ,6 - VI ,7 - VII, 8 - I, 9 - II ,10 - III. Переложили ноты на числа и получили при этом такой ряд чисел:
Правая рука: 3553 l 455 l 466 l 531 l 3553 l 455 l 3653 l 1 II
Левая рука 1535 l 2545 l 2545 l 1535 l 1535 l 2545 l 2545 l 351 II
Черта между цифрами служит тактовой четой, то есть делит их на такты, так как сделано в произведении.
В музыке есть понятие - устойчивые ступени, на которых строится тоническое трезвучие (Т5/3): 1, 3, 5 ступени.
Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность:
Правая рука
Левая рука
1 такт
3+5+3+5=16
1+5+3+5=14
2 такт
4+5+5=14
2+5+4+5=16
3 такт
4+6+6=16
2+5+4+5=16
4 такт
5+3+1=9
1+5+3+5=14
5 такт
3+5+3+5=16
1+5+3+5=14
6 такт
4+5+5=14
2+5+4+5=16
7 такт
3+6+5+3=17
2+5+4+5=16
8 такт
1
3+5+1=9
Наблюдаем, что в произведении есть повторяющиеся группы чисел и для левой руки: 16,14,16,9,16,14,17,1 и для правой руки 14,16,16,14,14,16,16,9 - это 14,16.
Ритм - один из важнейших элементов музыки. Ритм - чередование длительностей. Рассмотрим ритм 3/4, музыканты называют его размером. В такте могут встречаться такие чередования длительностей:
1.
3.
2.
7.
6.
5.
4.
В музыке существуют и другие размеры ,
Рассмотрим ритм, размер чередования длительностей: 1/2 I 1/4 1/4 I 1/8 1/8 1/ 8 1/8 II
Правая рука
Левая рука
1 такт
1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
2 такт
1/8+1/8+1/4=2/8+1/4=4/8
1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
3 такт
1/8+1/8+1/4=2/8+1/4=4/8
1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
4 такт
1/8+1/8+1/4=2/8+1/4=4/8
1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
5 такт
1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
6 такт
1/8+1/8+1/4=2/8+1/4=4/8
1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
7 такт
1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
1/8+1/8+1/8+1/8=4/8
8 такт
1/2
1/8+1/8+1/4=2/8+1/4=4/8
Сумма длительностей в каждом такте равна размеру 2/4=1/2=4/8.
Найдем сумму длительностей всех нот музыкальной фразы: 4/8+4/8+4/8+4/8+4/8+4/8+4/8+1/2=28/8+1/2=7/2+1/2=8/2=4
Сумма всех длительностей в музыкальной фразе равна целому числу.
Значит, зная ступени, длительности нот, размер я могу записать эту пьесу в любой другой тональности или от другой ноты, т. е. транспонировать.
Транспонировние. «Плясовая».
Проставив ступени и записав длительности нот, я получила математическую модель пьесы, чтобы не перепутать октавы я поставила стрелочки, но можно было у каждой ступени указать номер октавы.
1.Последовательность ступеней 1512 321 21# 7 1 2 5 11 1624 321 5#6#7122 11
2.Размер 2/4 и длительности: 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/8 1/8 1/4 1/4 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/4 I /16 1/16 1/16 1/16 1/8 1/8 1/4 1/4
3. Сложила устойчивые ступени, получила последовательность 8,4,7,2,1,4,6,2. Повторение чисел есть , 4 повторяется через 3 цифры и 2 повторяется через 3 цифры.
Правая рука
1 такт
1+5+2=8
2 такт
3+1=4
3 такт
1+1+5=7
4 такт
1+1=2
5 такт
1
6 такт
3+1=4
7 такт
5+1=6
8 такт
1+1=2
Затем записала гамму от ноты фа и проставила номера ступеней:
Проставила ступени в каждом такте и записала мелодию.
В своей исследовательской работе я выдвинула гипотезу о том, что любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель.
По изложенному в работе способу перевода из нот в числовой ряд следует, что моя гипотеза верна, так как способов перевода может быть несколько. В работе я рассмотрела два способа: запись мелодии по ступеням и сложение устойчивых ступеней, запись ритмического рисунка с помощью дробей. Данная модель помогла транспонировать мелодию в другую тональность.
Исследование дат рождения
Следуя теории Пифагора, числа обладают абсолютной властью над всеми событиями, над всеми живыми существами, а значит, числа правят музыкой. В своих работах он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону (математике) и вследствие этого восстанавливает в организме человека гармонию.
Нумерология - паранаука о числах. Нумерология имеет еще одно распространенная название - магия чисел. В нумерологии все слова, имена, числа можно свести к единичным разрядам (однозначным человеком), которые соответствует оккультным характеристикам, влияющим на жизнь человека. Это значит, что каждому числу, согласно нумерологии, соответствует определенные свойства, образы и понятия. Нумерологию используют для определенного характера человека, его природных способностей для выявления сильных и слабых сторон его личности, а также для определения характера человека, его природных способностей, для выявления сильных и слабых сторон его личностей, а также для определения подходящих профессии, места проживания и многих других факторов.
Даты рождений - это ряд чисел. Попробуем установить связь между числами и музыкой.
Мною были исследованы даты рождений 12 учащихся 5а класса, в котором я обучаюсь. Как известно дата - набор цифр. Мы предложим даты на ноты. В таблице, где знак «- », мелодия звучала негармонично, а значит, диссонанс. А если мелодично, то знак « + » - это консонанс. Каждой ноте мы присвоили номер ступени. До - 0, ре -1, ми - 2, фа - 3, соль - 4, ля - 5, си - 6, до- 7, ре - 8, ми - 9.
У каждого человека получилось по мелодическому ряду:
№
ФИ
Дата
Нотная последовательность
увлечения
1
Борцов Евгений
18.06.2003
_
акробатика
2
Горяинова Надежда
26.09.2003
_
литература, биология
4
Калачева Дарья
04.01.2003
_
особых увлечений нет, успехи в точных науках
5
Кирман Алина
05.09.2003
_
спорт, точные науки, танцы
10
Макарова Марина
26.12.2002
_
точные науки, танцы
6
Козлова Татьяна
08.03.2003
+
спорт, танцы
7
Лебедь Диана
11.10.2003
+
музыка
8
Малашенко Виктор
08.09.2003
+
конструирование, хорошо поет
9
Плотников Петр
07.08.2003
+
Хорошо поет, конструирование, точные науки
3
Жукова Арина
21.09.2003
+
художественная школа
После того, как мы переложили даты рождения на мелодию, попробуем установить связь между звучанием даты рождения и способностями человека.
I Группа (дети, у которых мелодии благозвучные):
№
ФИ
Дата
Нотная последовательность
увлечения
6
Козлова Татьяна
08.03.2003
+
спорт, танцы
7
Лебедь Диана
11.10.2003
+
музыка
8
Малашенко Виктор
08.09.2003
+
конструирование, хорошо поет
9
Плотников Петр
07.08.2003
+
Хорошо поет, конструирование, точные науки
3
Жукова Арина
21.09.2003
+
художественная школа
II группа (дети, у которых мелодии звучали «резко»):
№
ФИ
Дата
Нотная последовательность
увлечения
1
Борцов Евгений
18.06.2003
_
акробатика
2
Горяинова Надежда
26.09.2003
_
литература, биология
4
Калачева Дарья
04.01.2003
_
особых увлечений нет, успехи в точных науках
5
Кирман Алина
05.09.2003
_
спорт, точные науки, танцы
10
Макарова Марина
26.12.2002
_
точные науки, танцы
Методом опроса я выяснила, чем каждый ученик увлекается.
Дети класса творческие люди на это влияют их даты рождения. В первой группе, музыкальный ряд звучал мелодичнее, большинство детей с творческими наклонностями: некоторые из них занимаются в художественной школе или танцами. Данная группа детей обладает творческими способностями, косвенно или напрямую связана с музыкой.
Во второй группе, где музыкальный звучал «резко», надо отметить, что очень «резко, даже безобразно» звучащих не было, большинство детей занимаются изучением точных наук, техническим моделированием, предпочитают занятия спортом.
Следует отметить, что в исследуемой группе оказались те, кто по тем или иным причинам ничем не увлекаются и не занимаются в каких либо секциях. Предполагаю, что возможно, они имеют эти склонности, но они ещё не реализовали их.
Вывод: большее количества учащихся класса имеют творческие способности. Возможно, именно с этим связанно активное участие класса во всех школьных мероприятиях, свободно организуем классные вечера, концерты для родителей.
Мои исследования оказались интересны не только мне, но и одноклассникам.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В результате проделанной работы мною были выполнены поставленные задачи. Рассмотрела связь ритмов и чисел, дробей и длительностей нот. Работа над этой темой позволила выявить много интересной информации о закономерностях, которые встречаются в музыке и математике. Построила математическую модель музыкального произведения полька «Добрый жук» из к/ф « Золушка». Установила связь между датами и ступенями, переложила даты рождений одноклассников на музыку. Но для утверждения того, что звучание даты рождения определяет определенный тип особенностей человека, необходимо большее количество исследуемых.
Возможность перевода нот в числовой ряд подтверждает мою гипотезу. Математика - царица наук, тесным образом перекликается с музыкой. Несомненно, математика пронизывает музыку.
Выполняя работу, я отметила, что в мелодии постоянно происходит чередование сильных и слабых долей, чередование тактов, где сильных долей больше с тактами, где меньше или только одна сильная доля, что музыкальная фраза заканчивается 1 ступенью. Если проанализировать больше произведений и более сложные музыкальные формы, то вероятно можно выявить еще закономерности. Также мне пришла идея попробовать одну и ту же последовательность нот записать в разных ритмических рисунках, а может и придумать свою композицию, например, по «красивой» числовой последовательности.
Список литературы:
1. Деплан И. Я. Мир чисел. М.: «Просвещение», 2005
2.Дэвид Филипс. Нумерология и открытие внутреннего "Я". Полное практическое руководство. СПб: София, 2007, 256с.
3. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с.
4. Холопов Ю. Н. Консонанс и диссонанс // Музыкальный энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1990.
5. Сольфеджио 2 класс
6. Энциклопедия для детей. Т. 7. Искусство. Ч. 1. - Э68-е изд., испр./Глав. Ред. М.Д. Аксенова. - М..6 Аванта +, 2006 - 688 с.: ил.
7. Энциклопедический словарь юного математика. М.; «Педагогика» 1985г
12. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Музыка /авт. А.С. Кленов. Под общей ред. О.Г. Хинн. - М.: ООО Фирма «Издательство АСТ», 2010. - 46
Интернет ресурсы:
1.
2.
3.
4.
5.