Учителю
ГОТОВИМСЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЕ (СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ И ОТВЕТАМИ ДЛЯ 8 классА)

ГОТОВИМСЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЕ (СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ И ОТВЕТАМИ ДЛЯ 8 классА)

Автор публикации: Максимова Н.М.

Дата публикации: 28.10.2015

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

ГОТОВИМСЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЕ

(СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ И ОТВЕТАМИ ДЛЯ 8 КЛАССА)

Составитель : учитель математики высшей категории школы № 2036

ВАО г Москвы

Максимова Н М

ЗАДАЧА № 1

Графики трёх функций y = ax+a, y = bx+b и y = cx+d имеют общую точку, причём a 6= b. Обязательно ли c = d? Ответ обоснуйте.

Решение

Ясно, что точка (-1, 0) принадлежит первым двум прямым. Так как a ≠ b, то эти прямые различны, значит, другой общей точки у них нет. Следовательно, точка (-1, 0) принадлежит и графику третьей функции, то есть 0 = - c + d.

ЗАДАЧА № 2 :.

Вершину A параллелограмма ABCD соединили отрезками с серединами сторон BC и CD.

Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол BAD:

острым, прямым или тупым.

тупой BAD Угол

Решение

Пусть N - середина ВС, М - середина CD, AN = 2AM.

Первый способ. Через точку М проведём прямую, параллельную ВС. Она пересекает АВ в точке K, а AN - в точке P. Тогда KP - средняя линия треугольника ВAN (рис. слева) и АР = ½ AN = AM. В равнобедренном треугольнике APM ∠AMP = ∠APM < 90°. Следовательно,
∠BAD > ∠PAD = 360° - (∠ABM + ∠DMP) - ∠APM = 180° - ∠APM > 90°.

Второй способ. Продлим отрезок АМ до пересечения с прямой ВC в точке L. Треугольники DAM и CLM равны по стороне и двум прилежащим углам (рис. справа). Следовательно, АМ = МL, тогда АL = 2АМ = АN. В равнобедренном треугольнике АNL ∠ ANL = ∠ALN < 90°. Угол ANL - внешний для треугольника AВN, значит, ∠AВN < ∠ANL < 90°. Значит, ∠ВАD = 180° - ∠AВN > 90°.

Ответ: ТУПОЙ

Задача № 3

Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника - в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника - во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?

Решение: Поскольку Митя не мог провести один и тот же день и в Смоленске и в Вологде, значит, месяц начинался во вторник (ведь иначе первый вторник и первый вторник после первого понедельника совпали бы). Аналогично заключаем, что и второй месяц должен начинаться во вторник. Это возможно только в случае, когда один месяц - февраль, а другой - март, причём год не високосный. Отсюда уже легко получить, что в Смоленске Митя был 1 февраля, в Вологде - 8 февраля, во Пскове - 1 марта, во Владимире - 8 марта. Ответ: В Смоленске - 1 февраля, в Вологде - 8 февраля, в Пскове - 1 марта, во Владимире - 8 марта.

ЗАДАЧА № 4.

Ученик за одну неделю получил 13 оценок (из набора 2, 3, 4, 5), среднее арифметическое которых - целое число. Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз. .

Решение. Допустим противное. Тогда каждую из оценок 2, 3, 4, 5 ученик получил не меньше трёх раз. Возьмём по три оценки каждого вида. Сумма 12 взятых оценок равна 42, а всех 13 оценок - 44, 45, 46 или 47, в зависимости от того, какова оставшаяся оценка. Но ни одно из чисел 44, 45, 46, 47 не делится нацело на 13.

ЗАДАЧА № 5

Эксперту предъявили 12 одинаковых на вид монет, среди которых, возможно, есть фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые - тоже, фальшивая монета легче настоящей. У эксперта есть чашечные весы и эталонные монеты: 5 настоящих и 5 фальшивых. Сможет ли он за 4 взвешивания определить количество фальшивых монет среди предъявленных?

Ответ. Сможет.

Решение. Очевидно, достаточно показать, что можно за два взвешивания определить количество фальшивых монет среди шести данных. Назовем эти шесть монет неизвестными. Берем три настоящие монеты и три фальшивые, взвешиваем их с неизвестными. Если весы в равновесии, то среди неизвестных монет ровно три фальшивых. Пусть вес эталонных монет больше. Тогда среди неизвестных монет 4, 5 или 6 фальшивых. Возьмём пять эталонных фальшивых и одну эталонную настоящую и взвесим их с неизвестными монетами. При равенстве мы получаем, что среди неизвестных монет ровно 5 фальшивых, если перевесят эталонные - 6 фальшивых, если перевесят неизвестные - 4 фальшивых. Случай, когда при первом взвешивании перевесили неизвестные монеты, рассматривается аналогично, но второе взвешивание производится с 5 эталонными настоящими монетами и одной эталонной фальшивой.

ЗАДАЧА № 6:

Взяли четыре натуральных числа. Для каждой пары этих чисел выписали их наибольший общий делитель. Получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, N, где N > 5. Какое наименьшее значение может принимать число N?

Ответ. 14

Решение. Число N может равняться 14, как показывает, например, четвёрка чисел 4, 15, 70, 84. Осталось показать, что N  14.

Лемма. Среди попарных НОД четырёх чисел не может быть ровно двух чисел, делящихся на некоторое натуральное k. Доказательство. Если среди исходных четырёх чисел есть не больше двух чисел, делящихся на k, то среди попарных НОД на k делится не более одного. Если же три из исходных чисел делятся на k, то все три их попарных НОД делятся на k.

Применяя лемму к k = 2, получаем, что число N чётно. Применяя её же к k = 3, k = 4 и k = 5, получаем, что N не делится на 3, 4 и 5. Значит, N не может равняться 6, 8, 10 и 12.

ЗАДАЧА № 7 :

На стороне AC треугольника ABC выбрана точка D такая, что BD = AC. Медиана AM этого треугольника пересекает отрезок BD в точке K. Оказалось, что DK = DC. Докажите, что AM+KM = AB.

Решение. Обозначим через L точку, симметричную K относительно M. Тогда

AD = AC - CD = BD - DK = BK = CL.

Поскольку углы BDA и ACL равны как соответственные, а BD = AC по условию, треугольники BDA и ACL равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AB = AL = AM+ML = AM+KM.

Задача № 8

На окружности отметили 2013 точек и каждую соединили с двумя соседними. Также отметили центр окружности и соединили его со всеми остальными отмеченными точками. Можно ли покрасить 1007 отмеченных точек в красный, а остальные 1007 - в синий цвет так, чтобы каждая красная точка была соединена с нечётным числом синих, а каждая синяя - с чётным числом синих?

Ответ. Нельзя.

Решение. Допустим, центр окружности красный. Тогда на окружности 1006 красных и 1007 синих точек, и потому там найдутся две синие точки, стоящие рядом. Но тогда и следующая за ними по часовой стрелке точка должна быть синей - иначе найдётся синяя точка, соединённая с одной синей. Продолжая рассуждение, получаем, что все точки, отмеченные на окружности, должны быть синими - противоречие. Допустим, центр окружности синий. Тогда на окружности найдутся две красные точки, стоящие рядом. Но тогда и следующая за ними по часовой стрелке точка должна быть красной - иначе найдётся красная точка, соединённая с двумя синими. Продолжая рассуждение, получаем, что все точки, отмеченные на окружности, должны быть красными - снова противоречие.

ЗАДАЧА № 9 :

Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, причём прямая BE параллельна прямой CD и отрезок BE короче отрезка CD. Внутри пятиугольника выбраны точки F и G таким образом, что ABCF и AGDE - параллелограммы. Докажите, что CD = BE + FG.

Решение. Отметим на отрезке CD такую точку H, что CH = BE. Тогда BEHC - параллелограмм. Значит, отрезок EH параллелен и равен отрезку BC, а, тем самым, и отрезку AF. Следовательно, AFHE - параллелограмм. Теперь получаем, что отрезок FH параллелен и равен отрезку AE, а, тем самым, и отрезку GD. А это значит, что и FGDH - параллелограмм. Следовательно, DH = FG, откуда CD = CH + DH = BE + FG.

ЗАДАЧА № 10

На клетчатой доске размером 20142014 закрашено несколько (не меньше одной) клеток так, что в каждом квадратике размером 33 клетки закрашено чётное число клеток. Каково наименьшее возможное число закрашенных клеток? (М. Антипов)

Ответ. 1342.

Решение. Пример. Закрасим в первой вертикали доски вторую, третью, пятую, шестую, …, 2012-ую и 2013-ую клетки. Тогда в всех квадратах 33, примыкающих к левому краю доски, закрашено ровно по две клетки, а во всех остальных закрашенных клеток нет. Всего в этом случае закрашено 22013/3 = 1342 клетки.

Оценка. Пусть на доске закрашено меньше 1342 клеток. Назовём тройку горизонталей доски, идущих подряд, слабой, если в ней есть хотя бы две горизонтали, не содержащие закрашенных клеток. Покажем, что слабые тройки есть. В самом деле, разобьём все горизонтали доски, кроме первой, на тройки идущих подряд. Получим 671 тройку. Если среди них нет слабых, то в каждой содержится не меньше двух закрашенных клеток, и всего закрашено не меньше, чем 6712 = 1342 клетки - противоречие.

Заметим, что найдётся слабая тройка, в которой есть закрашенные клетки. Действительно, возьмём произвольную слабую тройку. Если в ней нет закрашенных клеток, то, двигая её в сторону одной из закрашенных клеток, мы рано или поздно наткнёмся на строку, где закрашенные клетки есть, и получим искомую тройку. Зафиксируем её, удалим из прямоугольника 20143, составленного из её горизонталей, три крайние правые клетки, а оставшийся прямоугольник 20133 разобьём на 671 квадрат 33. В каждом из этих квадратов либо две закрашенных клетки, либо ни одной. Если в каждом по две, то всего закрашено не меньше 1342 клеток - противоречие. Значит, найдётся квадрат без закрашенных клеток. Будем двигать его по горизонтали в сторону ближайшей закрашенной клетки. Когда в него впервые попадёт закрашенная клетка, получим квадрат, в котором закрашена ровно одна клетка - противоречие

ЗАДАЧА № 11

Дано 2014 попарно различных натуральных чисел таких, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что ни одно из данных чисел не может быть равно произведению шести попарно различных простых чисел.

Решение. Допустим противное: среди данных есть число a, равное произведению шести попарно различных простых. Из равенства ab/(a+b) = b - b²/(a+b) следует, что ab делится на a+b тогда и только тогда, когда b² делится на a+b. Поэтому если число a есть на доске, то его квадрат должен делиться на все числа вида a+b, где b - другое данное число. Но таких чисел 2013, а у числа a² только 3⁶ = 729 делителей (это следует из известной формулы для числа делителей, дающей в нашем случае результат (2+1)⁶, но в данном частном случае его нетрудно получить и непосредственно).

Замечание. Числа 2014 не могло оказаться даже среди 15 выбранных. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что все делители вида 2014+a больше 2014, а таких делителей у числа 2014² ровно (27-1)/2 = 13 < 14: все делители числа 2014², кроме 2014, делятся на пары дополняющих друг друга до 2014², и в каждой паре ровно один делитель больше 2014.

ЗАДАЧА № 12:

Найти двузначное число, зная, что число его единиц на 2 больше числа десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение: Пусть x - число десятков искомого числа; тогда x+2 - число единиц. Получаем уравнение (10x+(x+2)(x+(x+2))=144 , откуда x=2 и x=−3211

Ответ: 24

ЗАДАЧА № 13:

Ученику надо было умножить 78 на двузначное число, в котором цифра десятков втрое больше цифры единиц; по ошибке он переставил цифры во втором сомножителе, отчего и получил произведение, на 2808 меньшее истинного. Чему равно истинное произведение?

Решение: 1. Пусть цифра единиц истинного множителя есть x (x - целое число, меньшее 10); тогда цифра десятков есть 3x, а сам множитель равен 3⋅10x+x=31x . Ошибочно записанный множитель был 10x+3x=13x . Истинное произведение равно 78⋅31x , ошибочно полученное произведение есть 78⋅13x . По условию 78⋅31x−78⋅13x=2808 , откуда x = 2. Значит, истинный множитель равен 62, а истинное произведение равно 4836 Ответ: 4836

ЗАДАЧА № 14

Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти искомое двузначное число.

Решение: Пусть x - цифра десятков, y - цифра единиц искомого числа. Тогда само число равно 10x+y. Из условия следует, что x+y=12 и 10x+y+36=10y+x. Получаем систему двух уравнений, которую можно решить методом подстановки: выразить из первого уравнения x и подставить во второе полученное выражение. В результате, x=4 и y=8. Ответ: 48

ЗАДАЧА № 15:

При каких натуральных n число m=3n2+5n+2 : 2n+3 также будет натуральным?

Решение: Выделим целую часть рациональной дроби. Проще всего это сделать, если разделить числитель дроби на знаменатель "уголком". Получаем: m=3n2+14+54(2n+3) . Для того чтобы избавиться от дробей в целой части, умножим обе части равенства на 4: 4m=6n+1+52n+3 . Число 5 имеет делители ±1,±5 . Проверим случаи: а) 2n+3=−1 , тогда n=−2 - не является натуральным числом. б) 2n+3=1 , тогда n=−1 - не натуральное. в) 2n+3=−5 , тогда n=−4 - не натуральное. г) 2n+1=5 , тогда n=1 - натуральное, m=2 - натуральное. Ответ: 1

ЗАДАЧА № 16:

При каких натуральных n дробь 3n+5 : 5n+2 сократима?

Решение: Условие сократимости дает систему из уравнений: 5n+2=a⋅k и 3n+5=a⋅l , где a,k,l∈N,a≠1 . Из первого уравнения n=ak−25 . Подставим n во второе уравнение и получим, что 3⋅ak−25−5=al . Приведем подобные слагаемые. Тогда a(5l−3k)=19 . Так как справа стоит простое число 19, а слева произведение двух целых чисел, то или a=1,5l−3k=19 , или a=19,5l−3k=1 . Первый случай невозможен, так как это означает, что исходная дробь несократима. Значит, дробь сокращается на 19. Осталось выяснить, при каких n это выполняется. Из второго уравнения следует, что k=5l−13 . Далее выделим целую часть дроби: k=l+2l−13 . Так как l,k∈N , то 2l−13 должно быть целым, то есть 2l−1=3m,m∈N . Следовательно, l=3m+12=m+m+12 . Рассуждая аналогично, имеем, что m+1=2p,p∈N , значит, m=2p−1 . Итак, при m=2p−1 , p∈N , дробь 3n+55n+2 сократима. Однако в ответе нужно указать вид числа n . Так как m=2p−1 , то l=2p−1+2p−1+12=3p−1 . Значит, k=l+2l−13=5p−2 и n=ak−25=19p−8 Ответ: при n=19p−8 , p∈N

ЗАДАЧА № 17

Сумма квадратов крайних чисел четырехзначного числа M равна 58. Сумма квадратов средних цифр этого числа равна 68. Сумма числа M и числа 4536 равна числу, записанному теми же цифрами числа М, но в обратном порядке. Найдите число M.

Решение: Пусть число имеет вид abcd¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ . Тогда a2+d2=58 , c2+b2=68 . И a⋅1000+b⋅100+c⋅10+d+4356 =d⋅1000+c⋅100+b⋅10+a . Складывая числа в разряде единиц, слева получим два возможных варианта: d+6=a (если d+6<10 ) или d+6=10+a (если d+6≥10 ). В первом случае получаем, что (d+6)2+d2=58 и d=−3±20−−√ - не целое. Во втором случае: d=4+a и a2+(4+a)2=58 , откуда a=3 . Тогда d=7 . Аналогично c+3+1=b или c+3+1=10+b . В первом случае получаем, что c2+(c+4)2=68 и c=−2±30−−√ - не подходит. Во втором случае (b+6)2+b2=68 и b=2,c=8 . Ответ: 3287

ЗАДАЧА № 18

Подберите такие не равные нулю числа n и m, чтобы равенство (n·5n)n = m·59 было верным.

Решение. Таких пар чисел бесконечно много.

Покажем одно из самых естественных решений. Нам нужно, чтобы 5 59 2 nn × n = m× . Если n = 3, то

5 59 2 n = . Теперь вычислим m: m = 33 = 27 . Пара n = 3, m = 27 является решением.

Покажем, как можно получить другие решения. Возьмем произвольное n. Например, n = 6.

Тогда в левой части равенства мы получаем: 66 ×536 , следовательно, m = 66 ×527 .

ЗАДАЧА № 19:

В подводном царстве живут осьминоги с семью и восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда врут,

а те, у кого 8 ног, всегда говорят правду. Однажды между тремя осьминогами состоялся такой

разговор.

Зеленый осьминог: «У нас вместе 24 ноги».

Синий осьминог: «Ты прав!»

Красный осьминог: «Глупости, Зелёный говорит ерунду!»

Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)

Ответ. У Зеленого осьминога 7 ног, у Синего осьминога 7 ног, у Красного осьминога 8 ног.

Решение Из условия задачи следует, что количество ног и правдивость высказываний связаны

однозначно. Синий и Красный осьминоги про слова Зеленого осьминога произнесли

противоречащие друг другу фразы. Значит, кто-то из них сказал правду, а кто-то ложь. А это, в

свою очередь, означает, что у кого-то из них 7 ног. Таким образом, слова Зеленого осьминога -

ложь (в противном случае у каждого из трех осьминогов должно быть по 8 ног, иначе общее

количество ног меньше 24). Подведем итоги: Зеленый осьминог сказал ложь, у него 7 ног; тогда

Синий осьминог сказал ложь, у него 7 ног, а Красный осьминог сказал правду, у него 8 ног.

ЗАДАЧА № 20:

Фирма изготавливает лимонный напиток, разбавляя лимонный сок водой. Сначала фирма

производила напиток, содержащий 15% лимонного сока. Через некоторое время генеральный директор отдал указание снизить содержание лимонного сока до 10%. На сколько процентов

увеличится количество производимого лимонного напитка при тех же объёмах поставок лимонов?

Ответ. На 50%.

Решение.

1 способ. Содержание лимонного сока в напитке после указания генерального директора

снизилось в полтора раза. Значит, из тех же лимонов можно приготовить в полтора раза больше

лимонного напитка. Иными словами, количество производимого лимонного напитка увеличится в

полтора раза или на 50%.

2 способ. Пусть х - количество производимого напитка до указания генерального директора. Тогда

количество лимонного сока в этом напитке - 0,15·х. Пусть теперь у - количество производимого

напитка после указания генерального директора. Тогда количество лимонного сока в этом напитке

- 0,1·у. Так как подразумевается, что количество лимонного сока не изменилось, получаем

равенство 0,15·х = 0,1·у. Умножив обе части этого равенства на 10, получим: у = 1,5·х; или: у = х +

0,5·х. Значит, количество производимого напитка увеличилось на 50%.

ЗАДАЧА № 21

Все натуральные числа, сумма цифр в записи которых делится на 5, выписывают в порядке

возрастания: 5, 14, 19, 23, 28, 32, … Чему равна самая маленькая положительная разность между

соседними числами в этом ряду? Приведите пример и объясните, почему меньше быть не может.

Ответ. Наименьшая разность равна 1, например, между числами 49999 и 50000.

Решение Разность меньше 1 быть не может, так речь идет про разность различных натуральных

чисел.

Понятно, что если два соседних числа отличаются только в разряде единиц, то разность между

ними равна 5 (например, 523 и 528). Значит, нужно, чтобы числа отличались и в других разрядах.

Можно попробовать взять большее число круглым, тогда числа будут отличаться минимум в двух

разрядах. Возьмем, например, 50, предыдущее число 46, а разность равна 4. Если взять 500, то

предыдущее число 497 и разность равна 3. Осталось подобрать такое число нулей, чтобы разность

была равна 1.

ЗАДАЧА № 22

На стандартном тетрадном листе в клетку нарисован угол (см. рисунок). Найдите его величину,

не используя измерительные инструменты. Ответ обоснуйте.

Ответ. 45°.

Решение. Соединим две «крайние» точки отрезком (как на

рисунке). Получившийся треугольник - равнобедренный, так как

две его стороны АВ и ВС являются диагоналями трёхклеточных

прямоугольников. Диагональ АВ делит угол прямоугольника с

вершиной В на два угла, дополняющих друг друга до прямого.

Треугольники ADB и CEB равны по двум катетам, значит, равны

их соответствующие углы. И значит, угол CBE дополняет угол

ABE до прямого. Таким образом, треугольник АВС -

равнобедренный и прямоугольный. Его углы А и С при основании

АС равны по свойству равнобедренного треугольника и имеют

величину 45° по теореме о сумме углов треугольника.

Комментарий. Если соединить точку В с серединой АС, мы также получим равнобедренный

прямоугольный треугольник. Рассуждения аналогичны.

ЗАДАЧА №23

На координатной плоскости есть точки, координаты (x;y) которых удовлетворяют уравнению

y(x +1) = х2 -1. Например, одна из них - точка с координатами (1;0). Изобразите все точки,

координаты (x;y) которых удовлетворяют этому уравнению.

Ответ. См. рисунок.

Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:

y(x +1) = (х -1)(x +1);

y(x +1)- (x -1)(x +1) = 0;

(x +1)(y - x +1) = 0. Отсюда х = -1 или у = х - 1. Таким образом, все

точки с координатами, удовлетворяющими уравнению,

представляют собой совокупность двух прямых: прямой,

параллельной оси ординат и проходящей через точку (-1;0) и

прямой, являющейся графиком функции у = х - 1 (см. рисунок).

ЗАДАЧА 24:

Назовём хорошими прямоугольниками квадрат со стороной 2 и прямоугольник со сторонами 1 и 11. Докажите, что любой прямоугольник с целочисленными сторонами, большими 100, можно разрезать на хорошие прямоугольники.

РЕШЕНИЕ : Прямоугольник 2n×2m разрежем на квадраты 2×2. Прямоугольник (2n+1)×2m сначала разрежем на прямоугольники 11×2m и (2n−10)×2m, потом первый разрежем на прямоугольники 1×11, а второй - на квадраты 2×2. Наконец, прямоугольник (2n+1)×(2m+1) сначала разрежем на прямоугольники 11×(2m+1), (2n−10)×11 и (2n−10)×(2m−10), затем два первых прямоугольника разрежем на прямоугольники 1×11, а последний прямоугольник - на квадраты 2×2.

ЗАДАЧА № 25:

В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. На продолжении стороны BC за точку C отметили точку N так, что 2BN=AB+BC. Пусть BS - биссектриса треугольника ABC, M - середина стороны AC, а L - такая точка на отрезке BS, что ML∥AB. Докажите, что 2LN=AC.

РЕШЕНИЕ : Продлим BN за N и BL за L на отрезки NN′=BN и LL′=BL соответственно. Так как M - середина AC и ML∥AB, прямая ML содержит среднюю линию MK треугольника ABC. Поскольку L - середина BL′, эта прямая содержит также среднюю линию LK треугольника BCL′; итак, CL′∥LM∥AB. Поэтому ∠CL′B=∠L′BA=∠L′BC, откуда CL′=CB. Далее, CN′=BN′−BC=2BN−BC=BA и ∠N′CL′=∠CBA. Значит, треугольники N′CL′ и ABC равны, и потому AC=N′L′=2LN.

ЗАДАЧА № 26

Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6. Докажите что и n делится на 6.

Решение. Если сумма нескольких чисел делится на шесть, то и сумма их остатков при делении на шесть тоже будет делится на 6. Простое число, большее пяти, может иметь при делении на 6 только остатки 1 или 5 (иначе это число будет делиться на 2 или 3). Следовательно, квадрат любого простого числа, большего чем 5, имеет при делении на 6 остаток 1. Так как сумма этих остатков равна количеству чисел n, значит n делится на 6

Задача № 27 :

Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6. Докажите что и n делится на 6.

Петя и Вася сделали в тире по 5 выстрелов. Первыми тремя выстрелами они выбили поровну, а последними тремя Петя выбил в три раза больше очков, чем Вася. На мишени остались пробоины в 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2 очков. Куда попал каждый из них третьим выстрелом? Приведите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.

Ответ. Третьим выстрелом Петя выбил 10, а Вася - 2 очка.

Решение. Последними тремя выстрелами Вася не мог выбить больше, чем 9 очков (иначе Петя бы выбил последними тремя выстрелами не меньше 30). Меньше 9 очков Вася тоже выбить не мог, так как наименьшая сумма за три выстрела 2+3+4 = 9. Следовательно, Вася выбил 2, 3 и 4 очка а Петя 10, 9 и 8 очков (других вариантов набрать 27 очков тремя выстрелами нет). Значит первыми двумя выстрелами мальчики выбили 9, 8, 5 и 4 очка. При этом Петя третьим выстрелом выбил не меньше, чем 8, а Вася - не больше, чем 4 очка. Так как сумма очков после первых трех выстрелов была равной, значит, первыми двумя выстрелами Петя выбил по крайней мере на четыре очка меньше, чем Вася. Единственная возможность - Вася выбил 9 и 8, а Петя 5 и 4 очка, следовательно, третьим выстрелом Вася выбил 2, а Петя 10 очков. Задача № 29 :

Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством. Рассмотрите два случая:
1) требуемая дата еще не наступила,
2) требуемая дата уже прошла.
Ответ обосновать.

Ответ. 1) 20 февраля 2002 2) 29 ноября 1192 года.

Решение.
Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году.

пункт (1): в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца.

Пункт (2): Чтобы дата была как можно ближе к 2001 году, необходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, то есть 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года - 11 (соответственно, месяц - ноябрь). Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. девять, тогда четвертой (так как в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата-палиндром 29.11.1192. Задача № 30 :

В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны. Докажите, что AD+BC = AB+CD.

Решение.
Впишем четырехугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами, параллельными диагоналям (EF AC и EH BD) - смотри рисунок. Пусть L - точка пересечения прямых DC и EF, а M - точка на прямой HG такая, что LM FG . Тогда ABLC - параллелограмм, следовательно, AB = CL. Так как GM = FL = EB = HD и AH = CG, то \triangle AHD = \triangle CGM , следовательно, AD = CM. В силу неравенства треугольника BM BC+CM = BC+AD . Но BM = DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL = DC +CL = DC+AB. Следовательно, AD+BC DL = DC +CL = DC+AB, что и требовалось доказать.

Задача № 31 :

Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они пересекались ровно в семи различных точках.

Решение :
Три возможных ответа изображены на рисунке 1. Можно показать, что других конфигураций из пяти прямых, пересекающихся ровно в семи различных точках, нет.

Задача № 32 :

Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?

Ответ: 50.

Решение :
Каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющихся у него пулек оставалось прежним (одну использовал и одну получил от отца). Каждый раз, когда мальчик промахивался, число имеющихся у него пулек уменьшалось на 2 (одну использовал и одну отобрал отец). Это значит, что сын за 55 выстрелов промахнулся 10 : 2 = 5 раз, стало быть, попал 55 - 5 = 50 раз.

Задача № 33 :

Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

Ответ : от сгущенки.

Решение :
По условию

3м + 4с + 2в > 2м + 3с + 4в,

откуда

м + с > 2в. (*)

По условию же

3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в,

откуда

2с > м + в.

Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с > м + 3в, откуда с > в.

Задача 34

Два совершенно одинаковых катера,
имеющих одинаковую скорость в стоячей воде,
проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние
(по течению) и возвращаются обратно (против течения).
В какой реке на эту поездку потребуется больше времени:
в реке с быстрым течением или
в реке с медленным течением?

Решение Пусть скорость катеров v км/ч,
скорость течения в первой реке v₁ км/ч,
а скорость течения во второй реке v₂ км/ч.
Пусть v₁>v₂ .
Если обозначить расстояние, проходимое в одном направлении катерами, через S ,
то время, затраченное первым катером на весь путь,

t₁=S/(v+v₁)+S/(v-v₁)=2Sv/(v²-v₁²),

а время, затраченное вторым катером,

t₂=2Sv/(v²-v₂²).

Поскольку числители у обоих выражений одинаковы,
то большей будет дробь с меньшим знаменателем,
а так как знаменатели есть разности с равными уменьшаемыми,
то знаменатель меньше у первой дроби,
у которой вычитаемое v₁² больше.

Ответ

Больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым течением.

Задача 35

Найти скорость и длину поезда,

если известно,
что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с

и затратил 25 с,
чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.

Решение Пусть x (м) - длина поезда,

y (м/с) - его скорость.

Тогда x/y=7 и (x+378)/y=25 ,

откуда x=147 (м), y=21 (м/с).

Скорость можно определить сразу:
для проезда мимо платформы поезду потребовалось 25-7=18 (с).
Следовательно, его скорость
378:18=21 (м/с),
длина его 21· 7=147 (м).

Ответ

21 м/с, 147 м.

Задача № 36 :

В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую. За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Ответ : 4.

Решение : Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.

Задача № 37 :

У даты 12.04.1961 (то есть 12 апреля 1961 года) сумма цифр равна 24. Найдите ближайшую дату после 01.01.2008, у которой сумма цифр равна: а) 35; б) 7.

Ответ : а) 29.09.2049; б) 03.01.2010.

Решение : а) Наибольшая сумма цифр числа равна 11 для 29-го числа. Наибольшая сумма цифр месяца равна 9 для сентября, то есть для 09. Значит, наибольшая сумма цифр в текущем году будет у даты 29.09.2008. Она равна 30, что меньше 35. Следовательно, надо менять и год. Последняя цифра года не более 9, и если мы сохраняем первые две цифры, то придется цифру десятилетий увеличить до 4.

б) Для 2008 года сумма цифр года уже больше 27, поэтому год придется изменить. Ближайший год в будущем с меньшей суммой цифр - 2010-й. Соответственно, ближайшая подходящая дата 03.01.2010. Задача № 38 :

Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел.

Ответ : 55.

Решение : Чтобы произведение было точным квадратом, нужно, чтобы каждый простой множитель входил в него в четной степени. В произведение 8 · 9·...· 17 в нечетной степени входят 2, 7, 11, 13 и 17. Значит, мы обязаны вычеркнуть сомножители 11, 13 и 17. А вот чтобы «убить» лишние простые множители 2 и 7, хватит одного вычеркнутого сомножителя 14. Итого сумма вычеркнутых чисел равна 11 + 13 + 14 + 17 = 55. Задача № 39 :

На гранях кубика расставлены 6 различных чисел от 6 до 11. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 36, во второй - 33. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 10?

Ответ : 8.

Решение : Cумма чисел на всех гранях равна 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 51. При первом броске сумма на верхней и нижней гранях равна 51 - 36 = 15, при втором - 51 - 33 = 18. Значит, на третьей паре противоположных граней сумма равна 51 - 15 - 18 = 18. Сумму 18 можно получить двумя способами: 11 + 7 или 10 + 8. Значит, на парах граней с суммой 18 напротив 11 находится 7, а напротив 10 - 8. Задача № 40 :

В конкурсе участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные - правильный. Число правильных ответов у Пети равно 10 - меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов у Васи равно 13 - больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов было в конкурсе?

Ответ : 14 .

Решение : Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4. Поскольку Петя дал 10 верных ответов, Вася - 13, а остальные трое - от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем 10 + 13 + 3·11 = 56, и не больше, чем 10 + 13 + 3·12 = 59. Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно 56: 4= 14

Задача № 41 :

Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого - контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася - за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой - наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

Ответ : 18

Решение :Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42 - 18 = 24, он затратит 18·3 + 24·9 = 270 мин. При этом Васе, наоборот, достанется проехать 24 участка, а пробежать 18, на что уйдет 24·3 + 18·11 = 270 мин - то же самое время. Если же Петя проедет меньшее число участков, то его время (и, соответственно, время команды) увеличится. Если Петя проедет большее количество участков, то увеличится время Васи (и время команды).

Достаточно обозначить число проезжаемых Петей участков через x и решить уравнение

x·3 + (42 - x)·9 = (42 - x)·3 + 11x.

Задача 42

Решить уравнение в целых числах:

(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 30

Решение: Преобразовав данное уравнение, получим:

3(x - y)(y - z)(z - x) = 30 или
(x - y)(y - z)(z - x) = 10.

Значит, целые числа
(x - y), (y - z), (z - x) - делители числа 10,
сумма этих делителей равна нулю.
Не трудно убедиться,
что таких делителей у числа 10 нет.

Задача 43

Вычислительное устройство вычитает из каждого трехзначного числа
сумму кубов его цифр.
Какое число нужно ввести в устройство,
чтобы результат оказался максимальным?

Решение:

Пусть ввели некоторое трехзначное число .
Тогда устройство выдаст число

(100a + 10b + c) - (a3 + b3 + c3) = a(100 - a2) + b(10 - b2) + c(1 - c2).

Результат будет наибольшим
тогда и только тогда,
когда каждое слагаемое максимально,
то есть при
a = 6, b = 2, c = 0 или c = 1.

Ответ: 620 или 621.

Задача № 44 :

График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.

Решение :
Данный график образует с осью абсцисс такой же угол в 45, как и биссектриса первого и третьего координатных углов. Значит, ее угловой коэффициент равен 1. Поскольку при x = 0 значение функции равно 3, то искомая функция есть y = x + 3. Задача 45 :

Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собираетс менять?

Решение : Если у туриста было X рублей, то в банке ОГОГО он получит за них (X - 7000) / 3000 тугриков, а в банке ЙОХОХО X / 3020 - 1 тугриков. Решая уравнение ( x - 7000 ) / 3000 = X / 3020 - 1, получаем X = 604000 (руб.). Задача 46 :

Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B - C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Решение : Если A = 0, то либо B = 0, либо B - C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A не 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B не 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A = B . Отсюда следует, что B > 0. Значит, B положительно, а A - отрицательно.

Задача 47:

Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A, а суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу B? Если да, то как? Если нет, то почему?

Решение : Покажем, что расставить числа требуемым образом нельзя. Допустим, это удалось. Обозначим через X число, стоящее в центральном кружочке. Все остальные числа стоят в кружочках, образующих два пятиугольника. Поэтому X + 2B = 1 + ......+ 11 = 66, откуда X = 66 - 2B. Значит, число X должно быть четным. Теперь сложим все суммы чисел, стоящих на выходящих из центра отрезках. Получится 5A. При этом число X будет сосчитано пять раз, а все остальные - по одному разу. Поэтому 5A = 4X + (1 + ........... + 11) = 4X + 66 (*). Значит, число 4X + 66 должно делиться на 5. Этому условию среди чисел от 1 до 11 удовлетворяют только числа 1, 6 и 11, и при этом только число 6 четно. Следовательно, X = 6. Подставляя найденное значение X в уравнение (*), находим, что A = 18. Стало быть, на каждом из пяти выходящих из центра отрезков сумма двух чисел, стоящих там вместе с числом X, должна равняться 18 - 6 = 12. Получается, что на одном отрезке должны стоять числа 1 и 11, 2 и 10, 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Заметим, что три из пяти перечисленных пар состоят из нечетных чисел, а две - из четных. Поэтому в вершинах каждого из двух пятиугольников должны стоять три нечетных и два четных числа. Это означает, что число B должно быть нечетным. Но из доказанного выше равенства X = 66 - 2B при X = 6 получаем B = 30. Противоречие.

Задача 48

Последовательность строится по следующему закону.
На первом месте стоит число 7,
далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1.
Какое число стоит на 2000 месте?

Решение: Вычислим несколько первых членов последовательности:
7; 14; 17; 20; 5; 8; 11; 5; … - число 5 повторилось.
Значит, у последовательности есть период длины 3: числа 5; 8; 11 далее будут повторяться.
На пятом месте - пятерка, тогда для любого k > 0 на (3k + 2)-м месте также будет пятерка.

Так как 2000 = 3 x 666 + 2,
то 2000-м месте стоит число 5.

Задача 49

Решите в натуральных числах уравнение
zx + 1 = (z + 1)².

Решение: При x = 1 или z = 1 уравнение решений не имеет.

Раскроем скобки и преобразуем равенство к виду z (zx-2 - 1) = 2.

Так как z и x не меньше 2, то левая часть уравнения неотрицательна.

При x = 2 корней нет.

При x ? 3 левая часть положительна, а если при этом z ? 3, то левая часть уравнения будет больше правой (также нет корней).

Остается случай z = 2, тогда x = 3.

Задача 50

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
составляют всевозможные семизначные числа, в которых каждая цифра
участвует только один раз.
Доказать,
что сумма этих чисел делится на 9.

Решение: Сопоставим каждому такому числу x
число 8888888 - x,
оно также состоит из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
и каждая цифра используется один раз.

Сумма чисел в каждой паре 8888888.

Всего таких чисел 7!,
значит таких пар 7! / 2.
Значит вся сумма равна 7! х 4444444.

Число 7! делится на 9,

значит и сумма чисел делится на 9.

Задача № 51 :

В каждой вершине n-угольника стоит одно из чисел +1 или -1. На каждой стороне написано произведение чисел, стоящих на концах этой стороны. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Докажите, что
1) n - четно,
2) n делится на 4.

Решение : На каждой стороне написано либо число 1, либо -1, а так как сумма равна нулю, то сторон обоих типов поровну. Обозначим это количество за m, тогда общее число сторон равно n = 2m (то есть четно). Если на стороне написано -1, тогда на концах написано -1 и +1, всего таких сторон m. Пусть есть еще k сторон, на обоих концах которых написано +1, тогда всего на концах всех сторон написано m+2k единиц, при этом каждую вершину на которой написано +1 посчитали дважды. Значит, m+2k - четное число, то есть и m четное, следовательно, n = 2 m делится на 4.

Задача № 52 :

В стране Мульти-пульти выпущены в обращение банкноты в 43 сантика. Малыш и Карлсон, имея только такие банкноты, зашли в кафе. Карлсон заказал 5 стаканов газировки и 16 пирожков и заплатил за них без сдачи. Малыш заказал 3 стакана газировки и 1 пирожок. Докажите, что сколько бы ни стоили газировка и пирожки, Малыш тоже может расплатиться без сдачи (все цены в стране Мульти-Пульти - целые числа).

Решение : Пусть газировка стоит A сантиков, а пирожок B сантиков. Тогда 5 A + 16 B делится на 43. Тогда и 15 A + 48 B делится на 43, следовательно, 15 A + 48 B - 43 B = 15 A + 5 B = 5(3A+B) делится на 43. Так как 5 взаимно просто с 43, на 43 должен делиться второй множитель, то есть число 3A+B. А это и есть сумма, которую должен заплатить Малыш.

Задача № 53 :

В XIX-XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца - сын. Как известно, последнего русского царя, погибшего в Екатеринбурге в 1918 году, звали Николаем. Найдите порядок правления этих царей.

Ответ :Павел Петрович, Александр Павлович, Николай Павлович, Александр Николаевич, Александр Александрович, Николай Александрович.

Решение : В списке нет царя по имени Петр, следовательно, Павел Петрович был первый из этих царей. Других Павлов нет, следовательно, братья Александр Павлович и Николай Павлович правили сразу после Павла Петровича, сменив на троне один другого. Таким образом, последний царь был Николай Александрович (других Николаев нет). Александр Николаевич не мог править после последнего царя, значит, он унаследовал трон после Николая Павловича, который, следовательно, правил после своего брата Александра Павловича. Тогда наследником Александра Николаевича и отцом Николая Александровича мог быть только Александр Александрович.

Задача 54

. Дано трехзначное число ABB. Если перемножить его цифры, то получится двузначное число АС, а если перемножить цифры АС, то получится С. Найдите исходное число.

Ответ. 144.

Решение. Так как А*С=С, то А=1 или С=0.

Первый случай: А=1. Тогда А*В*В=В2=1С, но есть только один квадрат между 10 и 20 - это 16, т.е. С=6. Откуда В=4. Т.е. исходное число 144: А=1, В=4, С=6.

Второй случай: С=0. Тогда А*В*В=А0=10А. Т.к. А - первая цифра, то А.0, можем сократить на А. Получим В2=10 - нет решения. Таким образом, ответ единственный.

Задача 55

Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. Когда поезд отъезжал, каждый из них насчитал еще несколько скамеек, причем один из них насчитал в три раза больше, чем другой. А сколько насчитал третий?

Ответ. 7 скамеек.

Решение. Очевидно, что тот, кто до остановки проехал большую часть перрона, насчитал большее число скамеечек. Пусть первый насчитал 15 скамеек, второй 12, третий 7. Так как первый насчитал на 3 скамейки больше, чем второй, то, когда поезд будет отъезжать, второй увидит эти 3 скамейки, т.е. насчитает на 3 скамейки больше, чем первый. Аналогично третий насчитает на 8 скамеек больше, чем первый, и на 5 скамеек больше, чем второй. Раз кто-то насчитал в 3 раза больше, чем другой, то разница между насчитанными ими скамейками - четное

число (3x-x=2x). В нашем случае разность насчитанных скамеек четна только между первым и третьим и она равна 8. Значит, первый насчитал 8:2=4 скамейки, тогда второй 4+3=7 скамеек.

Замечание. Можно было обойтись и без четности. Пусть первый насчитал x скамеек. Тогда второй x+3, а третий x+8. А дальше составить всевозможные пары и решить получившиеся три уравнения (один насчитал в три раза больше, чем другой в паре): 3x=x+3, 3x=x+8, 3(x+5)=x+8. Только одно из них имеет целое решение.

Задача №56

Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?

Ответ. 7,5 м..

Указание. Пусть v(м/час) - скорость машин до знака, u (м/час) - скорость машин после знака. Вторая машина проедет знак позже первой на 10/v(час). За это время первая машина проедет 10u/v(метров) =106/8 =7.5 метров. Этот интервал и будет сохраняться после знака

Задача № 57:.

В шестизначном числе зачеркнули одну цифру и получили пятизначное. Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число.

Решение. Заметим, что зачёркнута была последняя цифра, т.к. в противном случае после вычитания последняя цифра числа была бы нулевой. Пусть y- последняя цифра исходного числа, x- пятизначное число после зачёркивания. Тогда полученное число равно 10x+y-x = 9x+y=654321. Деля это число на 9 с остатком (и учитывая, что y не превосходит 9), получим остаток y=3 и частное x=727 02.

Ответ. 727 023.

⇧

⇩