- Учителю
- Методика решения логарифмических и показательных уравнений
Методика решения логарифмических и показательных уравнений
Методика решения логарифмических
уравнений и неравенств.
Сатцаева Н.Е. МБОУ лицей г.Владикавказ
Решение простейших логарифмических уравнений связано с определением логарифма и основным логарифмическим тождеством вида:
, где
На основании определения логарифма решают задачи, в которых по данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определяется число и по данному числу и логарифму определяется основание. Приведу несколько примеров:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38..
Решения уравнений вышеприведённого характера обычно затруднений не вызывает, поэтому на их решениях останавливаться не будем.
В школе чаще всего встречаются уравнения, которые решаются либо непосредственным потенцированием, либо потенцированием с предварительным упрощением данного выражения, либо логарифмированием обеих частей уравнения.
Я хочу остановиться подробно на решение каждого из видов.
Первый вид
Желательно, чтобы учащиеся, не приступая к решению, нашли там, где это возможно, область допустимых значений функции, стоящей в левой части уравнения.
При наличии предварительного исследования проверку делать не обязательно. Если же исследование не проводится, то проверка решения необходима.
В данном примере является корнем уравнения.
В качестве упражнений можно предложить следующие задачи:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. log
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17. (9)
Второй вид
является корнем данного уравнения. Проверка может быть проведена с целью обнаружить ошибку в ходе решения, если такая окажется.
Задачи для упражнений.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. (4)
11. (4)
12. (100;0,01)
13.
Третий вид
Эти уравнения решаются логарифмированием обеих частей.
Чаще всего этот способ применяется для уравнений, в которых показатель степени содержит логарифмы. Например: для решения уравнения прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, что сделать можно, так как x>0, ибо среди компонентов имеется lgx, который существует только при x>0.
;
Ответ: 100.
Примерные упражнения.
Разобрав решения основных видов показательных и логарифмических уравнений, следует в порядке повторения рассмотреть уравнения с усложнёнными условиями. Например, такие:
1.
сгруппировав члены и вынося за скобки общие множители, получим
Так как и
то
Ответ: 100.
2.
Потенцируя обе части уравнения, получим:
Решая полученное уравнение и используя замену, получаем
и
Ответ: 2; 4.
3.,
Ответ: 10;
4. ,
Заменяя и потенцируя, получим:
получаем
Первый корень посторонний, так как
Решением будет
5.
пусть , имеем
Используя замену, получим По свойству показательных функций равенство
невозможно; корень посторонний.
Ответ: 9.
6.
На основании определения логарифма имеем:
Ответ: 3
7.
Заменяя , получим
Ответ: 1.
Решение логарифмических неравенств следует предлагать учащимся после выяснения свойств логарифмической функции, так как их решения часто основываются на свойстве монотонности логарифмической функции.
Разберём несколько примеров.
1.
Так как обе части неравенства - числа положительные, то возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство.
заменим 1 через , получим систему неравенств:
Первое неравенство вытекает из определения логарифма, а второе - из свойств монотонного возрастания логарифмической функции при основании , большем единицы
( в нашем случае -2). Эта система равносильна системе
а) Если , т.е. то
Решения нет.
б) Если , т.е. , то
Ответ:
2. , заменяем ,
получим систему неравенств:
что равносильно неравенству:
и
Ответ: ,
3.
4.
при любом х, значит,
Ответ:
5. Приведя к общему знаменателю, после упрощения получим:
;
при любом х, т.к.
D=1-4=-3<0; a=1>0. Значит,
т.е. при
Ответ:
6. ;
;
Ответ:
7. Т.к. , получим
Ответ:
8. Это уравнение равносильно системам:
Ответ:
Рассмотрим решение более сложных неравенств.
1.
Ответ:
2.
Ответ:
3. Найти область определения функции:
.
Ответ:
4.
Ответ:
5.
13