Разработка занятия по математике на тему 'Иррациональные неравенства' (11 класс)

Тема занятия: Иррациональные неравенства

(изучение нового материала)

Цели педагога: создать условия учащимся

• для формирования представлений об основном методе решения иррациональных неравенств - методе возведения обеих частей в одну и ту же степень и сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем; о доказательстве неравенства методом от противного;

• овладения умением использовать для доказательства неравенства методы: с помощью определения, от противного.

Цели ученика: изучить тему «Иррациональные неравенства» и получить последовательную систему математических знаний, необходимую для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на профильном уровне. Для этого необходимо:

• иметь представление об основном методе решения иррациональных неравенств - методе возведения обеих частей в одну и ту же степень и сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем; о доказательстве неравенства методом от противного;

• овладение умением использования метода решения иррациональных неравенств - метода возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: проявлять познавательный интерес к изучению предмета.

Предметные: уметь использовать метод возведения обеих частей неравенства в одну и ту же степень.

Метапредметные результаты изучения темы (универсальные учебные действия): регулятивные: учитывать правило в планировании и контроле способа решения; познавательные: строить речевое высказывание в устной и письменной форме; свободная работа с текстом научного стиля; коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Сценарий занятия

Этап урока

Действия учителя

Действия ученика

1. Организационный момент.

Сообщить тему занятия, сформулировать цели занятия.

Тему записывают в тетрадь

2. Изучение нового материала (лекция).

Определение иррационального неравенства, метод решения.

Определение. Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные величины (или некоторые функции неизвестных величин) находятся под знаком радикала.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т.е. найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или её частях. При решении иррационального неравенства приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. При этом необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств каждый раз получалось неравенство, равносильное исходному на ОДЗ.

При решении иррациональных неравенств следует помнить, что при возведении обеих частей неравенства в нечётную степень всегда получается неравенство, равносильное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в чётную степень, то будет получаться неравенство, равносильное исходному и имеющее тот же знак лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Рассмотрим равносильность простейших иррациональных неравенств.

Иррациональные неравенства, содержащие корни в нечётной степени.

Пусть неравенство содержит корни в нечётной степени:

1. Неравенство вида , nN, равносильно неравенству .

2. Неравенство вида , nN, равносильно неравенству .

3. Неравенство вида , nN, равносильно неравенству .

4. Неравенство вида > , nN, равносильно неравенству .

Эти неравенства после возведения в нужную степень становятся рациональными и решаются методом интервалов.

Иррациональные неравенства, содержащие корни в чётной степени.

Рассмотрим решения неравенств, содержащих корни в чётной степени. Эти неравенства решаются более сложно, чем предыдущие.

1. Неравенство вида < , nN, равносильно системе

2. Неравенство вида , nN, равносильно системе

3. Неравенство вида > , nN, равносильно совокупности двух систем неравенств:

Конспектируют теоретический материал в тетрадь

3. Первичное закрепление

Примеры решения неравенств, содержащих корни в нечётной степени.

Рассмотрим примеры.

Пример 1 (записывает на доске с комментариями).

Решить неравенство .

Решение. Возведём обе части неравенства в третью степень, получим линейное неравенство Решая его получим

Ответ.

Пример 2 (контроль правильности решения и записи). Решить неравенство

Решение. Данное неравенство определено для всех х. Возведём обе его части в третью степень. Исходное неравенство тогда равносильно неравенству

Решая последнее неравенство, получим

Ответ.

Примеры решения неравенств, содержащих корни в чётной степени. Рассмотрим примеры решения некоторых конкретных иррациональных неравенств такого вида.

Пример 3 (записывает на доске с комментариями).

Решить неравенство .

Решение. Согласно пункту 2, это иррациональное неравенство равносильно системе или или

Из первых двух неравенств найдём, что .

Решая квадратное уравнение получим корни x₁=-1, x₂=5. Поскольку ветви параболы левой части уравнения направлены вверх, то решением неравенства будет множество.

Найдём пересечение полученных множеств, получим ;).

Ответ.;).

Пример 4 (контроль правильности решения и записи)

Решить неравенство

Решение. Найдём ОДЗ данного неравенства. Это множество тех х, когда
Поскольку корнями левой части являются точки х₁ = 1 и х₂ = 5 и графиком левой части неравенства является парабола, ветви которой направлены вниз, то решением будет отрезок .

На ОДЗ исходное неравенство равносильно совокупности двух систем

Когда правая часть исходного неравенства неотрицательна, мы возводим в квадрат обе части, а когда правая часть отрицательна, то это неравенство верно для любого х из ОДЗ.

Решим сначала вторую систему этой совокупности. Имеем

Решением этой системы будет множество.

Решим первую систему совокупности. Имеем

Левая часть первого неравенства этой системы имеет корни х₁=3 и х₂=23/5, поэтому его решением будет множество . В пересечении с решением второго неравенства, мы получим промежуток .

Объединяя решения совокупности систем, получим .

Ответ..

Решение иррациональных неравенств более сложного вида.

Рассмотрим решение неравенств более сложного вида.

Пример 5. (контроль правильности решения и записи)

Решить неравенство

Решение. Найдём ОДЗ данного неравенства или Тогда ОДЗ будет множество

Решим сначала уравнение Корнями первого сомножителя являются точки х₁ = -1, х₂ = 3, а корнем второго - точка х₃ = 1. Значения х₂ = 3 и х₃ = 1, входящие в ОДЗ неравенства, обязательно должны войти в ответ.

Решим строгое неравенство . Поскольку второй сомножитель всегда неотрицателен, то неравенство будет выполняться, если . Решая его, получим Возьмём пересечение этого множества и ОДЗ, получим решение строгого неравенства на ОДЗ:

Поскольку точки х₂ = 3 и х₃ = 1 входят в ОДЗ неравенства, то мы их включим в ответ:

Ответ.

Пример 6 (записывает на доске с комментариями)

Решить неравенство

Решение. Найдём ОДЗ данного неравенства из решения системы

Решая её получим множество .

Поскольку на ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому, возведя левую и правую части этого неравенства в квадрат и приведя подобные члены, получим равносильное неравенство

Поскольку при или правая часть неравенства отрицательна, а левая часть неотрицательна, то неравенство справедливо при всех x.

Если , то для всех обе части неравенства (1) неотрицательны. Возведя обе части этого неравенства в квадрат и приведя подобные члены, получим неравенство

Решением этого неравенства будет множество В пересечении с отрезком [5/2; 5], мы получим промежуток (3; 5].

Объединяя множества решений, соответствующие двум рассмотренным случаям, получаем решение исходного неравенства (3; +∞).

Ответ. (3; +∞).

Пример 7. (записывает на доске с комментариями)

Решить неравенство

Решение. Областью допустимых значений данного неравенства будет множество
[-1; +∞). На этом множестве неравенство равносильно совокупности двух систем

Решим первую систему совокупности. Рассмотрим решение второго неравенства этой системы

или или или

Поскольку пересечение множеств решений первого и второго неравенств этой системы пусто, то у этой системы решений нет.

Решим вторую систему. Решением первого и второго неравенства этой системы будет множество

Решим последнее неравенство второй системы. Для этого приведём его к виду

Поскольку каждое слагаемое правой части этого неравенства больше соответствующего слагаемого левой части, то оно справедливо для всех х из ОДЗ. Поэтому решением второй системы будет множество [-1;+∞).

Ответ. [-1; +∞).

Записывают в тетрадь

На доске и в тетради

Записывают в тетрадь

На доске и в тетради

На доске и в тетради

Записывают в тетрадь

Записывают в тетрадь

4. Итог урока. Рефлексия

• Что нового узнали на уроке?

• Чему научились?

• Оцените свою работу на уроке.

Отвечают на вопросы

Список литературы

[1] Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1987.

[2] Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. М.:МГУ, 1994.

[3] Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Математика. М.: Русское слово, 2001.

[4] Михайлова Ж.Н. Алгоритмы - ключ к решению задач по алгебре. 10 - 11 классы. М.: Просвещение, 2009.