Проектная работа на тему 'Старинные математические задачи' (7 класс)

Проектная работа

Старинные математические задачи

Выполнили учащиеся 7 класса

Руководитель: Заугарова В.А.

Цели и задачи проекта.

1. Развитие творческого потенциала учащихся.

2. Развитие информационной культуры.

3. Формирование самостоятельности в сфере исследовательской деятельности.

4. Формирование умения решать старинные задачи разных стран.

5. Закрепление знаний по математике.

6. Повышение интереса к математике.

Содержание проекта

1. Задачи Древнего Египта.

2. Задачи Вавилона.

3. Задачи Древнего Китая.

4. Задачи Древней Индии.

5. Задачи Древней Руси.

Пояснительная записка

Выбор темы данного проекта обьясняется тем, что учащиеся имеют большой интерес к задачам древности, способам их решения. Позволяет показать связь истории и математики. Работа носит обучающий, практический характер.

Задачи Древнего Египта

Наиболее древние письменные математические тексты датируются примерно началом II тыс. до н. э. математические документы сохранились только в Египте, Вавилоне, Китае и Индии.

Около пяти тысяч лет назад при фараоне Джосере был признан богом мудрости великий врачеватель, государственный деятель и первый известный нам по имени математик Имхотен.

Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали на стенах храмов или на папирусах.

Еще IX тыс. лет назад они решали практические задачи по арифметике, алгебре и геометрии.

Задача 1.

У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа из этого ряда и их сумма?

Задача 2.

Найти приближенное значение для числа π, приняв площадь круга равной площади квадрата со стороной диаметра круга.

Задачи Вавилона

В древнем Вавилоне математика зародилась задолго до нашей эры. Вавилонские памятники в виде глиняных плиток (всего около 50000, причем из них примерно лишь 150 с текстами математичес- ких задач и 200 с числовыми таблицами) с клинописными надписями хранятся в различных музеях мира. В этих текстах мы находим достаточно удобные способы решения ряда практических задач, связанных с землемерием, торговлей и строительством.

Вавилоняне были основоположниками астрономии, создали шестидесятеричную систему счисления, решали уравнения второй степени, некоторые виды уравнений третей степени.

Задача 3. О глиняной табличке.

Площадь А, состоящая из суммы площадей двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет уменьшенные на две трети стороны другого квадрата. Каковы стороны квадратов?

Задача 4

Разделить прямой угол на три равные части.

Задачи Древней Греции

Если от математики Древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и таблицами, то в Древней Греции рождается наука математика, основанная на строгих доказательствах. Этот важнейший скачок в истории относится к VI-V вв. до н. э.

Задача 5. «Суд Париса»

Один из древнейших мифов содержит сказание троянского царевича Париса…Однажды на свадьбе богиня раздора Эрида подбросила собравшимся гостям яблоко с надписью «прекраснейшая». Из-за этого яблока возник спор между богиней мудрости и справедливой войны Афиной, богиней любви и красоты Афродитой и сестрой и супругой Зевса Герой. Они обратились к царю и отцу богов и людей Зевсу, чтобы он решил, кому должно достаться яблоко. Зевс отправил богинь на гору к Парису, который пас там там свои стада. Парис должен был решить, какая из богинь самая прекрасная. Каждая из богинь старалась склонить юношу на свою сторону: Афина предлагала ему мудрость и военную славу, Афродита- красивейшую женщину на земле в жены. Гера- власть и богатство. Как Парис определил р из богинь, можно узнать, решив старинную задачу.

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения.

Афродита. Я самая прекрасная. (1) Афина. Афродита не самая прекрасная (2) Гера. Я самая прекрасная. (3) Афина. Афродита не самая прекрасная. (4) Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, какая из них самая прекрасная. Парис предложил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?

Задача 6. Задача Дидоны.

В древнем мифе рассказывается, что Тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Финикию, после многих приключений оказалась в Северной Африке. Король нумидийцев Ярт обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Хитрая Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген. Участок какой формы окружила Дидона веревкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь?

Задача 7. О школе Пифагора.

Пифагор Самосский (ок. 570- ок.500 г. до н. э.)- древнегреческий математик и филосов. Основал пифагорейский союз (школу). Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел). В школе возникло представление о шарообразности Земли.

Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. Охотно скажу тебе, о Поликрат,- отвечал Пифагор. Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?

Задача 8.

Всякое нечетное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов.

Задача 9.

Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами?

Задача 10.

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж , старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись» Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Задача 11. Герона Александрийского.

Из под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за один день,- второй- за два дня, третий- за четыре дня. Сколько времени наполнят бассейн все четыре источника вместе?

Задача 12. Древнеримская задача (II в.)

Некто, умирая, завещал: « Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2:3 имения, а жене - остальная часть. Если, же родится дочь, то ей , а жене ». Родилась двойня - сын и дочь. Как разделить имение?

Задачи Древнего Китая

Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхе относиться к началу II тыс. до н. э. Сохранились обозначения цифр на гадальных костях животных XIII в. до н. э. Среди важнейших достижений китайской математики отметим: введение отрицательных чисел, десятичных дробей, методов решения систем линейных уравнений, уравнений высоких степеней. В Китайских рукописях содержатся наиболее ранние сведения о магических (волшебных) квадратах (V в. до н.э.).

Задача 13.

Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3X3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу 15.

Задача 14. Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятерками, то остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей.

Задачи Древней Индии

Задача 15.

Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, горьким, вяжущим, кислым, соленым, сладким. Друг, скажи каково число их разновидностей?

Задача 16.

Прекрасная дева с блестящими очами, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на 3:4 этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1:3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10, дает число 2.

Задачи Древней Руси

Задача 17.

Три торговца, не желая отбивать друг у друга покупателей, решили продавать свои апельсины по одинаковой цене. У одного торговца было 50 апельсинов, у другого 30, у третьего только 10. Торговцы условились, что цену можно изменить, лишь бы продажа одновременно производилась у всех трех торговцев по одной и той же цене. Когда весь товар был распродан, то оказалось, что каждый из торговцев выручил за свои апельсины одинаковую сумму, а именно 50 копеек. Как и по какой цене они должны были продать апельсины?

Задача 18.

Сельский виноторговец призвал трех своих сыновей и велел поделить им поровну между собой 7 полных бочонков с вином, 7 таких же бочонков, наполненных вином поровну, и 7 таких же бочонков, но пустых. Как сыновья могут поделить вино и бочонки, чтобы каждому досталось и одинаковое количество вина, и одинаковое число бочонков, если переливать вино из одного бочонка в другой нельзя?

Задача 19.

На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Хозяин двора и его сын вышли на двор, посмотрели на живность и пошли в поле. По дороге сын и спрашивает: «Папа, сколько у нас на скотном дворе гусей и сколько поросят?» - «А вот угадай-ка сам. Если считать по головам, то на дворе 25 голов, а если по ногам, то 70 ног». Сколько было гусей и сколько поросят?

Задача 20.

Хозяйка в продолжение поста накопила два горшка масла: один в 8 фунтов, другой в 3 фунта, а третий горшок в 5 фунтов остался у нее

пустым. Перед праздником хозяйке понадобилось одолжить 6 фунтов масла соседке. Как она это сделала, если меркой могли служить только те же три горшка?

Задача 21.

Дед, отец и сын встретили во время прогулки знакомого, который спросил, сколько каждому из них лет. «Нам 131 год и 10 месяцев», - ответил за всех дед и важно зашагал вперед. Тогда их знакомый, продолжая интересоваться их возрастом, спросил отца: «Ну скажите же, сколько вам лет?»- «Мне вместе с сыном 57 лет и 2 месяца,- ответил отец,- а сын на 19 лет и 10 месяцев моложе меня». Так знакомому и не пришлось узнать, сколько лет каждому из них. Сколько лет деду, отцу и сыну?

Решения задач

1. 7; 49; 343; 2401; 16807; 19607.

2.По условию задачи

.

3. 30 и 10.

4. Пусть требуется разделить прямой угол ABC на три равные части. Для этого древние вавилоняне на отрезке AD стороны BA строили равносторонний треугольник BED. Тогда угол CBE будет составлять одну треть данного прямого угла. Остается только разделить пополам угол DBE, и задача будет решена.

С

A

D

E

В

5. Пусть Парис предложил, что Афина изрекла истину. Тогда она прекраснейшая из богинь, и по предложению утверждение (4) ложно. Мы приходим к противоречию, т.к. Гера не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Афина. Таким образом, исходное предложение ложно. Если Парис предложит, что истину изрекла Гера, то она прекраснейшая из богинь, и по предложению (2) ложно. Мы снова приходим к противоречию, т. к. Афродита не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Гера. И это исходное предложение ложно. Если Парис наконец предложит, что Афродита изрекла истину, то Афродита прекраснейшая из богинь. Отрицания утверждений (2), (3), (5) истинны и показывают, что Афродита - прекраснейшая из богинь.

6. Среди всех плоских фигур данного периметра максимальную площадь имеет круг. Это замечательное свойство круга было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшейся веревкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.

7. Среди 28 учеников школы Пифагора математикой занимались 14, музыкой - 7, пребывали в молчании - 4 и было еще 3 женщины.

8. - 1) = 2k - 1 - нечетное число.

9. Пусть у каждой из грации было по x плодов и они отдали каждой из муз по y плодов. Тогда по условию задачи должно быть x - y = 3y или x = 12y, т. е. у каждой грации до встречи с музами число плодов было кратно 12.

10 . Если x - груз мула, то (x-1) - груз осла, увеличенный на единицу, а следовательно, первоначальный груз осла был (x-2). С другой стороны x+1 в два раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т. е. x-3. Таким образом, x+1 = 2(x - 3) x=7 - груз мула, x-2=5 -груз осла.

11. дня.

12. Имение следует разделить между сыном женой и дочерью пропорционально числам 4:2:1.

13. 4 9 2

3 5 7

8 1 6

14. 23 + 105t.

15. 23 разновидности.

16. Применив метод инверсии (правило обращения), получим;

1) 2 10 = 20; 2) 20 - 8 = 12 3) = 144;

4) 144 + 52 = 196; 5) 6) 14 = 21;

7) 21; 8) 147 = 84; 9) 84 : 3 = 28.

17. Сначала торговцы решили продавать свои апельсины по 5 копеек за каждые 7 штук. Первый торговец продал 7 апельсинов и выручил 35 копеек. Второй торговец продал 7 апельсинов и выручил 20 копеек. Третий торговец продал 7 апельсинов и выручил 5 копеек. После этого у первого торговца остался 1 апельсин, у второго - 2 апельсина, у третьего - 3 апельсина. Оставшиеся апельсины торговцы решили продать по 15 копеек за штуку. Первый торговец выручил 15 копеек, а всего 15 + 35 = 50 копеек. Второй торговец выручил 30 копеек, а всего 20 +30 = 50 копеек. Третий торговец выручил 45 копеек, а всего 45 + 5 = 50 копеек.

18. Каждый из сыновей должен получить по 7 бочонков. Все же вино можно представить себе так: 7 полных бочонков равны 14 полным наполовину бочонкам, плюс 7 полных наполовину бочонков, т.е. всего 21 полный наполовину бочонок. Следовательно, каждый из сыновей должен получить по 7 полных наполовину бочонков вина. Это можно сделать следующим образом:

Полных Полных Пустых

бочонков наполовину бочонков

бочонков

1 сын 2 3 2

2 сын 2 3 2

3 сын 3 1 3

19. Так как голов 25, всех гусей и поросят 25 штук. Если бы на дворе гулял только одни гуси, то у них было бы 50 ног. На самом деле ног у всех обитателей скотного двора 70. Следовательно, «лишние» 20 ног принадлежат гулявшим на дворе поросятам, у каждого из которых на 2 ноги больше, чем у гуся. Значит, поросят было 20 : 2 = 10, а гусей 25 - 10 =15.

20. В 5-фунтовый горшок хозяйка доложила масла из 8-фунтового горшка, в котором осталось такое количество масла, которое требовалось.

21.Деду-74 года и 8 месяцев, отцу-38 лет и 6 месяцев, сыну-18 лет и 8 месяцев.