Программа внеурочной деятельности по математике (6 класс)

Принято на педагогическом УТВЕРЖДАЮ

совете

Протокол № Директор МОУ СОШ № 42

2013г.

г. Ульяновска

___________ О.Ю. Куликов

«____»_____________2013 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

НАПРАВЛЕНИЕ: ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

«Занимательная математика»

6 КЛАСС

Программа разработана учителем математики первой квалификационной категории Понякшевой Татьяной Николаевной

Рассмотрено на заседании Согласовано

ШМО учителей математики заместитель директора

Протокол № МБОУ СОШ № 42 по УВР

От « » августа 2013г С.А. Куранова

Руководитель ШМО Е.А.Криушинская « » августа 2013

Пояснительная записка

Рабочая программа по курсу «Занимательная математика» разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, ООП ООО школы и «Примерных программ внеурочной деятельности. Начальное и основное образование». (Стандарты второго поколения) под редакцией В.А.Горского. - М.: Просвещение, 2011.) с учетом межпредметных и внутрипредметных связей, логики учебного процесса, задачи формирования у младших подростков умения учиться. Программа направлена на достижение планируемых результатов, реализацию программы формирования универсальных учебных действий.

Актуальность данной программы заключается в том, что в настоящее время наблюдается проявляющегося в снижении интереса учащихся к математике, уровня знаний, умений и навыков, логичности рассуждений, уровня математической культуры в целом. Возможным решением проблемы может быть организация внеклассной работы на уровне школ, что позволит приобщить к математике большое число учащихся, развить интерес к предмету, повысить общую математическую культуру. Всё это будет способствовать увеличению числа школьников с высоким уровнем знаний, уменьшению категории слабых учащихся. Многие школьники теряют интерес к изучению математики из-за трудностей в её усвоении, в силу различных способностей и имеющегося уровня знаний. При проведении внеклассных занятий максимально учитывая возможности и особенности каждого учащегося, можно создать условия, которые способствовали бы развитию интереса к предмету. В то же время внеклассные занятия с присущей им спецификой (более свободное распределение времени, меньшее количество учащихся, добровольное посещение, возможность корректировки программы и др.) позволяют создать комфортные условия для совершенствования математических знаний, разностороннего развития личности учащихся, их самореализации. Таким образом, приобретает актуальность совершенствование внеклассной работы по математике, внедрение в её процесс новых педагогических технологий.

Программа рассчитана на обучающихся шестого класса. Количество часов, выделенных на изучение курса 35 учебных недель в году, количество недельных часов - 1.

Цели программы:

• формирование пространственного мышления учащихся;

• пробуждение интереса к математике;

• воспитание коллективизма;

• развитие личностных достижений у учащихся

• • обучающие - развитие познавательного интереса к чему-либо, включение в познавательную деятельность, приобретение определенных знаний, умений, развитие мотивации к определенному виду деятельности и т.д.;

• • воспитательные - формирование общественной активности личности, гражданской позиции, культуры общения и поведения в социуме, навыков здорового образа жизни и т.д.;

• • развивающие - развитие личностных свойств: самостоятельности, ответственности, активности, аккуратности и т.д.; формирование потребности в самопознании, саморазвитии.

Задачи программы:
Обучающие

1. Формирование представлений о значимости математики

2. Приобретение знаний и умений быстро считать, приобретать навыки нестандартного мышления.

3. Применять эти знания на практике.

Воспитательные

1. Формирование уважительного, бережного отношения к историческому наследию, нравственных основ коллективизма;

2. Воспитание уважительного отношения к окружающим людям, усвоение общепринятых норм поведения;

3. Умение анализировать своё поведение и принимать правильное решение в различных жизненных ситуациях.

Развивающие

1. Способствование развитию у детей внимания, воображения, наблюдательности, памяти, воли, аккуратности .

2. Развитие кругозора учащихся.

Обязательным требованием достижения поставленных задач является соблюдение следующих принципов:

• системность и последовательность занятий: 1 раз в неделю; обеспечение преемственности обучения;

• научность: соблюдение логики изложения материала в соответствии развития современных научных знаний;

• доступность: от легкого к трудному, от простого к сложному, от неизвестного к известному, использование методов соответствующих данному возрасту детей и их развитию;

• наглядность: использование наглядных пособий, иллюстраций, авторских работ, дополнительной научной и справочной литературы, ИКТ;

• деятельностный подход: использование проблемного материала, постановка проблемы, поиск решения проблемы с учителем и самостоятельно;

• активность и сознательность: понимаются цели и задачи учеником, ученик обучается самоанализу и самооценке, думает и действует самостоятельно, умение опираться не на авторитет учителя, а на доказательства и логику мышления;

• прочность знаний (завершённость обучения): завершение каждой темы итоговым занятием, призванным закрепить полученные знания и навыки, и подготовить учащихся к восприятию материала следующей темы, применение технологии сравнения, сопоставления, противопоставления;

• принципы уважительного отношения к детскому творчеству: представление свободы выбора, создание атмосферы раскованности и талантливости, умение педагога оценить художественные достоинства детских работ.

Формы и методы работы

• игровая;

• познавательная;

• просмотр презентаций и видеофильмов;

• проектная деятельность;

• конкурсы.

Основное содержание курса

Программа предполагает формирование у детей навыков нестандартного мышления. В течение изучения курса доказать учащимся, что математика как наука является отражением реальной действительности. Обучающиеся учатся мыслить нестандартно и применять рациональные приемы решения задач.

Структура курса

Занимательная математика - 35 часов

1.Делимость чисел - 11ч

Введение. Интересные свойства чисел. Из истории интересных чисел. Новый знак деления. Признаки делимости. Алгоритм Евклида. НОД, НОК и калькулятор. Использование принципа Дирихле при решении задач на делимость. Некоторые приемы устных вычислений.

Математические головоломки - 6 ч.

Пифагорейский союз. Софизмы. Числовые ребусы (криптограммы). Центральная и зеркальная симметрии. Новогоднее оригами. Конкурс художников.

Решение задач - 6 ч.

Как научиться решать задачи. Решение задач на совместную работу. Решение задач «обратным ходом». Старинный способ решения задач на смешение веществ. Прямая и обратная пропорциональности. Решение задач на движение.

Нестандартные задачи - 8 ч.

Возраст и математика. Житейские истории. Путешествия. Денежные расчеты. О правилах «фальшивых и гадательных». Как уравнять два выражения. Решение уравнений.

Математика и игра - 4 ч.

Математические аттракционы и истории. Игра «Математическое ралли». Игра «Звездный час дроби». Подведение итогов.

Результатами изучения курса являются умения:

• быстро считать, применять свои знания на практике, приобретать навыки нестандартного мышления.

• Научатся мыслить, рассуждать, анализировать условия заданий

• использовать рациональный способ решения задач;

• работать с чертежными инструментами;

• добросовестно выполнять обязанности учащихся школы;

• ставить перед собой цель и достигать ее самостоятельно или с помощью учителя;

• анализировать свою работу, исправлять ошибки, восполнять пробелы в знаниях из разных источников информации;

• создавать творческие работы, поделки, рисунки, доклады, фото-коллажи с помощью взрослых или самостоятельно;

• вести исследовательскую работу и участвовать в проектной деятельности самостоятельно или с помощью взрослых.

Предполагаемые результаты реализации программы

Результаты первого уровня (приобретение школьником социальных знаний, понимания социальной реальности и повседневной жизни): приобретение школьниками знаний логического мышления, необходимых при изучении математики; приобретение навыков нестандартного мышления. Результаты второго уровня (формирование позитивного отношения школьника к базовым ценностям нашего общества и к социальной реальности в целом): развитие ценностных отношений к труду, к другим людям, к своему здоровью и внутреннему миру.

Результаты третьего уровня (приобретение школьником опыта самостоятельного социального действия): школьник может приобрести опыт применять свои знания на практике; опыт общения в результате выполнения практических действий; опыт самоорганизации, организации совместной деятельности с другими детьми и работы в команде; опыт управления другими людьми и взятия на себя ответственности за других людей

Учебно- тематический план

(35часов)

№ п/п

Тема занятий

Количество часов

Делимость чисел

11

1

Введение.

Интересные свойства чисел

1

2

Из истории интересных чисел

1

3

Новый знак деления

1

4-5

Признаки делимости

2

6-7

Алгоритм Евклида

2

8-9

НОД, НОК и калькулятор

2

10

Использование принципа Дирихле при решении задач на делимость

1

11

Некоторые приемы устных вычислений

1

Математические головоломки

6

12

Пифагорейский союз

1

13

Софизмы

1

14

Числовые ребусы (криптограммы)

1

15

Центральная и зеркальная симметрии

1

16

Новогоднее оригами

1

17

Конкурс художников

1

Решение задач

6

18

Как научиться решать задачи

1

19

Решение задач на совместную работу

1

20

Решение задач на движение

1

21

Решение задач «обратным ходом»

1

22

Старинный способ решения задач на смешение веществ

1

23

Прямая и обратная пропорциональности

1

Нестандартные задачи

8

24

Возраст и математика

1

25

Житейские истории

1

26

Путешествия

1

27

Денежные расчеты

1

28

0 правилах «фальшивых и гадательных»

1

29

Как уравнять два выражения

1

30-31

Решение уравнений

2

Математика и игра

4

32

Игра «Звездный час дроби»

1

33

Игра «Математическое ралли»

1

34

Математические аттракционы и истории

1

35

Подведение итогов

1

Литература

1.Аллан Рей, Вилльямс Мартин. Математика на 5. - М., 1998. БалкМ., БалкГ. Поиск решения. - М., 1983. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике. - М., 1984.

2.Кинг Эндрю. Учим дроби. - М., 1998.

3.Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроке математики. - М., 1990.

4.Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. - М., 1988.

5.Никольская И.Л., Семенов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать.-М., 1989.

6.Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. - М., 1996.

7.Оникул ПР. 19 игр по математике. - СПб, 1999.

8.Остер Г. Ненаглядное пособие по математике. - М., 1992.

9.Петраков КС. Математические кружки. - М., 1987.

10.Предметные недели в школе. Математика. - Волгоград, 1997.

Раз, два, три - отвечай!: Математические развлечения для младших школьников. - М., 1993.

11.Смекалка для малышей: Занимательные задачи, загадки, ребусы, головоломки. - М., 1996.

12.Сухинин ИТ. Веселая математика. 1-7 класс. - М., 2003.

13.Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. -М., 1984.

14.Худодатова Л.М. Математика в ребусах, кроссвордах, чайнвордах, криптограммах. - М., 2002.

15.Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика. Задачи на смекалку. -М., 1996.

16.Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике. -М., 1996.

17.Анфимова Татьяна Борисовна. МАТЕМАТИКА. Внеурочные занятия 5-6 классы. ООО «Илекса» г. Москва,2012 г.

Календарно-тематическое планирование

№/п

Тема учебного занятия

Форма проведения

Метод обучения

Форма организации познавательной деятельности

Литература

Выражения и преобразования (6 часов)

1

Преобразования выражений с радикалами

лекция

Объяснительно иллюстративный

фронтальная

2

Преобразования выражений с радикалами

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

3

Преобразования степенных выражений

лекция

Объяснительно иллюстративный

фронтальная

4

Преобразования степенных выражений

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

5

Преобразования тригонометрических выражений.

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

6

Преобразования тригонометрических выражений.

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

Уравнения и неравенства (8 часов)

7

Иррациональные уравнения

лекция

Объяснительно иллюстративный

фронтальная

8

Иррациональные уравнения

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

9

Тригонометрические уравнения

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

10

Тригонометрические уравнения

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

11

Другие уравнения и неравенства. Системы уравнений

лекция

Объяснительно иллюстративный

фронтальная

12

Другие уравнения и неравенства. Системы уравнений

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

13

Другие уравнения и неравенства. Системы уравнений

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

14

Другие уравнения и неравенства. Системыуравнений

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

Текстовые и геометрические задачи. Задачи с развернутым ответом ( 11 часов)

15

Текстовые задачи

лекция

Объяснительно иллюстративный

фронтальная

16

Текстовые задачи

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

17

Планиметрия.

лекция

Объяснительно иллюстративный

фронтальная

18

Планиметрия.

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

19

Стереометрия.

лекция

Объяснительно иллюстративный

фронтальная

20

Стереометрия.

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

21

Решение задач уровня С

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

22

Решение задач уровня С

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

23

Решение задач уровня С

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

24

Решение задач уровня С

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

25

Решение задач уровня С

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

Функции и их свойства (10 часов)

26

Области определения функций

лекция

Объяснительно иллюстративный

фронтальная

27

Области определения функций

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

28

Множества значений функций

лекция

Объяснительно иллюстративный

фронтальная

29

Множества значений функций

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

30

Свойства функций. Четность, нечетность

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

31

Геометрический смысл производной

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

32

Геометрический смысл производной

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

33

Монотонность. Приложения производной

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

34

Графики функций.

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

35

Итоговое занятие

практикум

Частично-поисковый

индивидуальная

Занятие 1.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АТТРАКЦИОНЫ

И ИСТОРИИ

Поговорка - цветочек,

пословица - ягодка.

Владимир Даль.

Цель: в игровой форме обобщить материал, изученный в 5 классе. 1. «Карусель». Заполните свободные круги результатами вычислений.

2. «Качели». Заполните свободные квадраты результатами вычислений.

11,11

9,99

3 5

+1,1

3. «Весы». Заполните свободные места результатами вычислений.

6. «Под смешным названием ... жираф».

Жираф на 1,8 м выше слона. Африканский слон в 2 раза выше зубра; его масса в 10 раз больше, чем у жирафа. Масса индийского слона такая же, как у бегемота. Бегемот на 1,2 м ниже, чем индийский слон. Масса зубра составляет 25% массы бегемота. Вычислите высоту жирафа, бегемота, зубра и массу жирафа, индийского слона, зубра.

Животные

Высота

Масса

Африканский слон

4м

7,5 т

Жираф

Индийский слон

2,7 м

Бегемот

4 т

Зубр

7. Герои сказки А. Милна «Вини-Пух» решили пойти в кинотеатр. Помогите им найти места.

1

2

3

4

5

5 ряд

1

2

3

4

5

4 ряд

1

2

3

4

5

3 ряд

1

2

3

4

5

2 ряд

1

2

3

4

5

1 ряд

№ряда № места

Вини-Пух (6,2-4,7)-2= (0,22+ 0,36) ■ 5 =

Пятачок 1,5-4-0,125-8= 1,2:4:0,1 =

Тигра 4,2-2,2:11= 0,34:17-50 =

Кролик 0,23-125= 7: -1,1 :10 =

Занятие 2.

НОВЫЙ ЗНАК ДЕЛЕНИЯ

Кто хочет много знать,

тому надо мало спать.

Владимир Даль.

Цели: показать, что знаки деления обозначаются двоеточием и дробной чертой; вспомнить, как выделяется целая часть из неправильной дроби.

1. На витрине парами разложены шоколадки. Указана цена каждой пары. У Буратино всего 1/5 сольдо.

Хватит ли ему этого, чтобы купить хотя бы одну шоколадку?

1 ^1/₄ сольдо

1 сольдо

1^3/₄ сольдо

Ответ: денег Буратино не _

хватит.

2. Пришла Алиса в харчевню «Три пескаря», прочитала меню и спрашивает:

- Сколько стоит куриная ножка без бульона?

- Не знаю. Считай сама! - последовал ответ. Сколько же стоит куриная ножка без бульона? Меню:

Порция бульона с куриной ножкой - 2 7г сольдо; Полпорции бульона с куриной ножкой - 2 сольдо.

Ответ: 17г сольдо.

3. Если удачно переставить каждое слагаемое в виде разности двух дробей, то следующую сумму можно вычислить устно.

4. Восстановите числители и знаменатели.

5. Аня собрала 12 грибов. После того как она показала грибы маме, выяснилось, что 2/3 от 3/8 грибов - несъедобные. Сколько съедобных грибов?

Ответ: 9 грибов съедобных.

6. Маша несла в кузовке орехи, однако растеряла по дороге их некоторую часть. Придя домой, она нашла в кузовке только 17 орехов. При этом 75% от 8/9 всех орехов высыпались. Сколько орехов в кузовке было у Маши?

Ответ: 51 орех.

Занятие 3-4.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Мудрость в голове,

а не в бороде.

Владимир Даль.

Цель: показать, что многое о числе можно узнать из его внешнего вида.

1. На 2 делятся четные числа, т.е. числа, оканчивающиеся на четную цифру 0; 2; 4; 6; 8.

2. На 3 делятся... Стоп! Прежде выясним, какие числа делятся на 9, они уж точно делятся на 3.

аbсd - четырехзначное число

a + 10b + 100c + 1000d=999d + 99c + 9b + d + c + b + a=9(111d + 11c + b)+(d + c + b + a ).

Сумма цифр должна делиться на 9.

Задача: Какие числа делятся на 3, на 9, на 3 и 9?

2358711; 357; 17426.

3. На 4 делятся те числа, двузначное число окончания которого делится на 4.

.. .edcba - это число содержит (.. .еdс) ■ 100 + 10 в + а = (.. .ейс) ■ 4 х х 25 + (10 в + а). Число, составленное из двух последних цифр данного числа, должно делиться на 4.

4. Признак делимости на 8 сформулируйте и докажите сами.

5. На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 5 или 0.

6. На 6 делятся числа четные, сумма цифр которых делится на три.

7. Сформулируйте признак делимости на 10.

8. Какие числа делятся на 12?

9. Деление на 5 (50).

А:5 = А-2:10 А : 50 = А • 2 : 100. Разделите 235 : 5; 825:5; 430:5; 86020 : 50.

10. Деление на 25 (250).

А : 25 = А • 4 : 100 А : 250 = А • 4 : 1000.

Разделите: 1225 : 25; 725 : 25; 562 : 250; 456 :250.

11. Как разделить число на 125 (1250)?

12. На 11 делятся числа, если сумма цифр через одну равна сумме остальных цифр или если разность этих сумм делится на 11.

Пример:

13574 делится на 11, так как 1+5+4=10 и 3+7=10.

73975 делится на 11, так как 7+9+5=21; 3+7=10 и 21-10 =11.

13. На 7 (на 11 или на 13) делится число, если от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр, и разность делится на 7 (на 11 или на 13).

Пример: 946113.

946 - 113 = 833 = 700 + 70 +63 - делится на 7.

Занятие 5-6.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

Копни поглубже, найдешь погуще.

Владимир Даль.

Цель: показать один из способов нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК); связь между ними и числами, для которых находят НОД и НОК.

Историческая справка:

Способ нахождения НОД двух чисел без разложения на простые множители впервые был описан в книге «Начала» великим Евклидом, основателем аксиоматики в геометрии. Геометрию, изучаемую в школе, до сих пор называют евклидовой.

Найдите НОД (3075; 60).

3075 = 60-51 + 15,

60= 15∙4,

15 и есть искомый НОД.

Найдите НОД: (15456; 14041); (748; 561); (187; 493);

(3431; 876); (119; 35); (232; 68).

Алгоритм Евклида

Начало

Найти остаток от большего к меньшему

Большее число замени остатком и начинай сначала

Если остаток не не равен нулю, то иди по черной стрелке, иначе по белой

Меньшее число это НОД

Конец

Применение алгоритма Евклида при решении задач.

1. Имеются две деревянные палки длиной 119 см и 35 см. Как разделить их на одинаковые части, не имея под руками измерительных инструментов? Чему равны длины каждой такой части?

Решение: Найдем НОД (119; 35).

119: 35 = 3 (ост. 14).

35 : 14 = 2 (ост. 7).

14 : 7=2.

НОД (119; 35) = 7; 119-35-35-35=14; 14:2=7.

Ответ: 7 см.

2. Дима начертил в тетради прямоугольник со сторонами 232 мм и 68 мм и стал последовательно «отрезать» от него квадраты наибольшей величины.

Узнайте, какой длины была сторона последнего квадрата, который «отрезал» Дима?

Решение: 232 : 68 = 3 квадрата 68 на 68 (ост. 28);

68 : 28 = 2 квадрата 28 на 28 (ост. 12);

28: 12 = 2 квадрата 12 на 12 (ост. 4);

12:4 = 3 квадрата.

Ответ: 4 мм.

3. Маша с Мишей собирались в магазин купить тетради. Миша говорит:

- Я куплю тетрадей на 16 рублей 50 копеек.

- А я - на 20 рублей, - не уступает ему Маша.

- Ничего не выйдет. Посчитай.

Маша принялась делить 20 рублей на цену тетради. И правда, получился остаток 50 коп. Чему равна цена тетради?

Решение: 1) 20 - 0,5= 19,5 (руб.) - истратит Маша;

2) Найдем НОД (1950; 1650) = 150. Значит одна тетрадь стоит 1 руб. 50 коп. Ответ: 1 руб. 50 коп.

4. Мальчики решили купить в складчину мяч. Если они сложатся по 8 руб., то не хватит 2 руб. Они сложились по 9 руб., и 4 руб. осталось лишними.

Сколько было мальчиков, и сколько стоил мяч? Ответ: 6 мальчиков и 50 руб. стоит мяч.

Занятие 7-8.

НОД, НОК и КАЛЬКУЛЯТОР

Корень учения горек,

да плод его сладок.

Владимир Даль.

Цель: сформировать умение осуществлять перенос знаний и способов действия в новые ситуации; обобщать полученные результаты и делать выводы.

ПРАВИЛО: НОК(а; в) • НОД(а; в) = а ■ в.

1. У Незнайки - калькулятор. Малыш подбежал к Знайке и спрашивает:

- Куда нажимать, чтобы узнать НОД (60; 45)?

- Вычти из числа 60 число 45, - объяснил Знайка и спросил: Сколько получилось?

- Пятнадцать, - ответил Незнайка.

- Теперь, - продолжил Знайка, - замени большее число этой разностью. НОД (60; 45) = НОД (15; 45). Понял?

- Понял! - обрадовался Незнайка. - Только дальше не знаю, как надо.

- Так же: замени большее число разностью, - сказал Знайка.

- Знаю! Знаю! - закричал Незнайка. - Буду искать НОД (15; 30), а потом заменю разностью, и получится НОД (15; 15). А теперь как?

Чему равен НОД(15; 15)?

Найдите НОД (90; 54); НОД (969; 418).

2. У художника Тюбика - два числа. Он разложил их на множители и, найдя НОД, нарисовал его в виде кружка. Произведение множителей первого числа, которые вошли в НОД, изобразил пятиугольником, а второго числа - шестиугольником.

Первое число Второе число

?

Затем Тюбик стал думать, что получится, если НОК умножить на НОД. Думал, а сам рисовал.

Как же вычислить НОК, зная НОД?

Найдите НОК (90; 54); НОК (969; 418).

3. Одним воскресным днем Вини-Пух с Пятачком, похлебавши меда, возвращались от Кролика. Тут медвежонку пришла в голову мудрая мысль: если ежедневно ходить к Кролику в гости вдвоем, то мед у него скоро кончится.

- Давай, - говорит Вини-Пух, - я буду ходить в гости каждый шестой день, а ты - каждый восьмой. Так и стали делать. И все-таки в один прекрасный день друзья встретились у Кролика за миской меда.

Какой это был день недели?

Решение: НОК (6; 8) = 24.

Ответ: Вини-Пух и Пятачок встретились через 24 дня, в среду.

4. 4 • 9 • Д = 6 •О •10.

Треугольником прикрыто двузначное число, кругом - однозначное. Найти эти числа.

Решение: 36 • А, = 60 • О.

Разделим обе части равенства на 12. 3 • А = 5 • О. Двузначное число должно оканчиваться нулем или 5. 1)3- 10 = 5-6. 2)3-15 = 5-9.

Ответ: 10 и 6; 15 и 9.

Занятие 9.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИНЦИПА

ДИРИХЛЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ДЕЛИМОСТЬ

За спрос, что за показ,

денег не берут.

Владимир Даль.

Цели: вспомнить суть принципа Дирихле; показать, как он применяется при решении задач на делимость.

Задача: Докажите, что из любых 12 натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 11.

Решение: При делении на 11 остатки: 0 123456789 10.

Всего остатков 11.

Нам дано 12 чисел, значит, среди них найдутся два числа, которые при делении на 11 дадут одинаковые остатки. Пусть это числа айв. Тогда а = 11 • к + с. в = 11 • р + с.

а - в = 11к + с - 11р - с = 11(к - р). Значит, разность делится на 11.

Теорема: Пусть р - натуральное число. Из любых р + 1 натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на р.

Доказательство: При делении на р остатки: 0123456789 ... р - 1. Всего р остатков.

Нам дано р + 1 число, значит, найдутся два таких числа с одинаковыми остатками, а =рк + с

в = рх + с

а-в = рк + с-рх-с =р(к-х)

Разность делится на р.

1. В строку вписано 5 натуральных последовательных чисел. Докажите, что либо одно из них делится на 5, либо сумма нескольких стоящих рядом чисел делится на 5.

Решение: При делении на 5 остатки: 0 1 2 3 4. Значит, одно из пяти чисел имеет остаток 0, а значит, делится на 5.

2. В строку вписано р натуральных чисел. Докажите, что либо одно из них делится нар, либо сумма рядом стоящих чисел делится на р.

Решение: При делении на р остатки: 01234567. ..р-1. Среди р чисел может быть такое, которое делится на р без остатка.

Занятие 10.

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ УСТНЫХ

ВЫЧИСЛЕНИЙ

Невелика капля, а камень точит.

Владимир Даль.

Цель: показать приемы устных вычислений, помогающие при решении задач.

Умножение

1. На 11.

а) сумма числа десятков и единиц меньше 10: 36; 3 + 6 = 9; 9<10;

36-11 =396.

б) сумма числа десятков и единиц больше 10:

39; 3 + 9=12; 12>10; 12-10 = 2;

39-11=429;

3+1.

2. На 111. 25- 111 =2775.

2 + 5

3. На 5.

348-5 = 348:2- 10= 1740.

4. На 25.

36 • 25 = 36 : 4 • 100 = 900.

5. На 125.

874 • 125 = 874 : 8 • 1000 = 109250.

6. На 9.

254 • 9 = 254 • (10 - 1) = 2540 - 254 = 2286.

7. На 99.

324 • 99 = 324 • (100 - 1) = 32400 - 324 = 32076.

8. На 999.

546 • 999 = 546 • (1000 - 1) = 546000 - 546 = 545454.

Занятие 11.

КОНКУРС ХУДОЖНИКОВ

Глаза страшат, а руки делают.

Владимир Даль.

Цель: перейти от умения правильно строить точки и определять их координаты к умению творить. Елочка:

(0;5) (-2;3) (-1;3) (-3;1) (-2; 1) (-4;-1) (-3;-1) (-5;-3) (-4;-3). (-6;-5) (-1;-5) (-1;-7) (1;-7) (1;-5) (6;-5) (4;-3) (5;-3) (3;-1). (4;-1) (2; 1) (3; 1) (1;3) (2; 3) (0; 5). Астрономия на координатной плоскости:

1. У древних греков существовал миф о созвездиях Большой и Малой Медведиц. Всемогущий бог Зевс решил взять в жены прекрасную нимфу Калисто, одну из служанок богини Афродиты, вопреки желанию последней. Чтобы избавить Калисто от преследований богини, Зевс обратил Калисто в Большую Медведицу, ее любимую собаку - в Малую Медведицу и взял их на небо.

Малая Медведица: (6; 6) (3; 7) (0; 8) (-3; 6) (-5; 7) (-6; 3) (-8; 5).

Большая Медведица: (-15; -7) (-10; -5) (-6; -6) (-3; -6) (-1; -10) (6; -6).

2. В незапамятные времена у царя эфиопов Цефея была красавица жена - царица Кассиопея. Однажды Кассиопея похвасталась своей красотой в присутствии нереид - жительниц моря. Обидевшись, завистливые нереиды пожаловались богу моря Посейдону, и он напустил на берега Эфиопии страшное чудовище - Кита. Чтобы откупиться от Кита, опустошавшего страну, Цефей вынужден был по совету оракула отдать на съедение чудовищу свою любимую дочь Андромеду. Ее приковали к прибрежной скале. Каждую минуту Андромеда ожидала, что из морской глубины вынырнет Кит и проглотит ее.

В это время герой Древней Греции Персей совершал один из своих подвигов: он проник на уединенный остров на краю света, где обитали три страшные женщины - горгоны, с клубками змей на голове вместо волос. Взгляд горгоны превращал в камень все живое. Воспользовавшись сном горгон, Персей отсек голову одной из них по имени Медуза. Из ее тела выпорхнул крылатый конь Пегас. Две другие горгоны, проснувшись, хотели броситься на Персея, но он вскочил на крылатого Пегаса и, держа голову Медузы, полетел домой.

Пролетая над Эфиопией, Персей заметил прикованную к скале Андромеду. К ней уже направлялся Кит, вынырнувший из морской пучины. Персей вступил в смертельный бой с чудовищем. Одолеть Кита удалось лишь после того, как на него упал взгляд Медузы. Кит окаменел, превратившись в небольшой остров. Персей расковал Андромеду, привел ее к Цефею и женился на ней.

Цефей: (0; 5) (-1;4) (-2; 1) (1;-1) (6;-1) (3; 2).

Кассиопея: (-5; 0) (-3; 2) (-1;0) (1; 0) (3;-2).

Персей: (-5;-3) (-2;-2) (0;-1) (2;-2) (4;-1) (5;0) (6; 2) (1; 1) (1;3).

Андромеда: (-2; 9) (0; 7) (1;4) (2;-2) (-2;-1) (-2; 5) (-4; 4).

Пегас: (11; -7) (9; -6) (10; -5) (7; -1) (4; -1) (2; 0) (-4; 0) (0; 3) (6; 1) (9; 2).

Кит: (11; -7) (9; -6) (10; -5) (7; -1) (4; -1) (2; 0) (-4; 0) (0; 3) (6; 1) (9; 2).

Занятие 12.

ПИФАГОРЕЙСКИЙ СОЮЗ

На хотенье есть терпенье.

Владимир Даль.

Цель: показать, что число - это некоторый символ, определяющий многое в жизни человека.

Историческая справка:

Крепкого телосложения юношу судьи одной из первых в истории олимпиад не хотели допускать к спортивным состязаниям, так как он не вышел ростом. Но он не только стал участником Олимпиады, но и победил всех противников. Такова легенда...

Этот юноша был Пифагор - знаменитый математик.

Вся его жизнь - легенда, точнее, наслоение многих легенд. Он родился на острове Самос, у берегов Малой Азии. Всего 5 км водной глади отделяли этот остров от большой земли. Юношей Пифагор покинул родину. Он прошел по дорогам Египта, 12 лет жил в Вавилоне, где слушал речи жрецов, открывавших перед ним тайны астрономии и астрологии, затем несколько лет - в Италии. Уже в зрелом возрасте Пифагор переселяется на Сицилию и там, в Кротоне, создает удивительную школу, которую назовут пифагорейской.

Они были трудолюбивы и аскетичны - Пифагор и его ученики.

Вот заповеди пифагорейцев:

• Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.

• Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать.

• Не пренебрегай здоровьем своего тела.

• Приучайся жить просто и без роскоши.

• Прежде чем лечь спать, проанализируй свои поступки за день. Пифагор не записал своего учения. Оно известно в пересказах

Платона и Аристотеля. Они считали, что учение Пифагора сродни магии. Дело в том, что для пифагорейцев числа были наполнены мистическим содержанием, они преклонялись перед гармонией чисел.

Четные числа, допускающие раздвоения, казались им более разумными, олицетворяли некоторое положительное начало. Число 4 олицетворяло здоровье, гармонию, разумность. 3 и 12 считались счастливыми, а 666 - число зверя, дьявола.

Пифагором и его учениками были подмечены следующие закономерности:

1. Сумма любого числа из последовательных нечетных чисел, начиная с 1, есть точный квадрат: 1 + 3 + 5 + ... + 2п - 1 = n².

2. Всякое нечетное число, кроме 1, есть разность двух последовательных квадратов: (р +1 )² -р² = 2р+1- формула нечетного числа.

3. Тройка натуральных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих условию а² + Ь = с², называется пифагоровой. Тройка 3,4,5-единственная пифагорова тройка, состоящая из последовательных натуральных чисел.

р² + (р-1)² = (р+1)², р² + р² -2р + 1 =р² +2р +1, р²-4p=0, р=0 или р=4. Тройка: -1; 0; 1 нам не подходит.

4. ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПИФАГОРОВЫХ ТРОЕК:

а = х²-у²,в = 2ху, с = х²+у².

Задача: На вопрос, сколько учеников посещают его школу, Пифагор ответил: «Половина изучают математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме этого еще три женщины».

Сколько учеников в школе Пифагора?

Ответ: 28 человек.

Занятие 13.

СОФИЗМЫ

Правильно понятая ошибка -

это путь к открытию.

И.П. Павлов.

Цели: показать, что софизмы способствуют повышению строгости рассуждений и содействуют более глубокому уяснению понятий и методов математики; разбор софизмов развивает логическое мышление, прививает навыки правильного мышления.

Историческая справка.

Софизм - это умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах используются «запрещенные» действия.

Какие «запрещенные» математические действия вы знаете?

1. 2р = 200коп.

Возведем равенство в квадрат: 4 р = 40000 коп. = 400 руб. В чем ошибка?

Ответ: в квадрат возводят одноименные величины.

2. 35+10-45=42+12-54

5(7+2-9)= 6(7+2-9) разделим на выражение в скобке.

5=6. В чем ошибка?

Ответ: делить на 0 нельзя.

3. 4 : 4=5 : 5

4(1:1)=5(1:1) разделим на выражение в скобке.

4=5. 2 • 2=5. В чем ошибка?

Ответ: нельзя выносить общий множитель из частного.

4. х=1/3; 3*=1.

Представим: 3х=15х-12х, 1=5-4,

15х-12х=51, 15х-5=12х-А.

5(3x-1)=4(3x-1) разделим на выражение в скобке.

5=4, 5=2 • 2.

Ответ: на 0 делить нельзя.

5. в=а (а≠0, в≠0), ав= а2,

2 2 2

ав-в=а - в ,

в(а-в)=(а-в) (а+в) разделим на (а-в), в=а+в.

Ответ: Так как а=в, то а-в=0, значит, мы делили на 0.

Занятие 14.

ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ (КРИПТОГРАММЫ)

Попытка не пытка,

а спрос не беда.

Владимир Даль.

Цели: уметь применять знания в нестандартной ситуации; развивать логическое мышление и терпение.

Задача. Замените буквы цифрами. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, а) УРАН

+УРАН

НАУКА

Решение: Сумма двух четырехзначных чисел равна пятизначному, значит, Н=1.

УРА1

+УРА1

1АУКА Получаем: А=2.

6Р21

+6Р21

12642 Получаем: Р=3.

б) ШАРИК

+ МУРКА

ДРУЗЬЯ

УР21

+УР21

12УК2 Получаем: К=4, У=6.

Ответ: 6321

+6321

12642

Решение: Для записи чисел используются 10 цифр. Подсчитаем, сколько цифр нужно нам.

Ш-1 А-2 Р-3 И-4 К-5 М-6 У-7 Д-8 3-9 Ь-10 Я-11. Значит, данный пример решения не имеет, в) УДАР

+УДАР

ДРАКА

Решение: Сумма двух четырехзначных чисел равна пятизначному, значит, Д=1.

У1АР

+ У1АР

1РАКА Получаем: А=2.

У126

+У126

16252 Получаем: У=8.

г) КИС

+ КСИ

ИСК

У12Р

+У12Р

1Р2К2 Получаем: Р=6, К=5.

Ответ: 8126

+8126

16252

Решение: И≠0, И+С+1=С+10, откуда И=9.

К9С

+ КС9

9СК Получаем: К=4.

49С

+4С9

9С4 Получаем: С=5.

Ответ: 495

+ 459

954.

Занятие 15.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ И ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИИ

У страха глаза, что плошки,

а не видят ни крошки.

Владимир Даль.

Цели: показать различные виды симметрии; формировать умение делать несложные геометрические построения.

1. Отметьте на листе гладкой бумаги точки А, В, С и О. Постройте точки, симметричные относительно точки О.

2. М - центр симметрии фигуры. Постройте эту фигуру.

3. Какое изображение соответствует зеркальному отображению данной буквы?

а) б) в)

Ответ: б).

4. Прочтите слово, отраженное в зеркале.

Ответ: Молодец.

5. Допишите слово.

ША

Приведите примеры таких слов.

Ответ: шалаш; например, топот.

Занятие 16.

ПУТЕШЕСТВИЯ

Ум бороды не ждет.

Владимир Даль.

Цели: отработать различные способы решения задач на движение; использовать традиционные формулы скорости, времени и расстояния; показать графический способ решения задач.

1. Идет человек в другой город и проходит по 40 верст в день, а другой человек идет ему навстречу из другого города и в день проходит по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?

Решение: 1) 40+30=70 (в/д.) - скорость сближения. 2) 700 : 70=10 (д.). Ответ: через 10 дней путники встретятся.

2. Один путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй тот же путь проходит за 15 дней.

Через сколько дней путешественники встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Решение: 1) 1/10 пути проходит 1-й путешественник за 1 день.

2) 1/15 пути проходит 2-й путешественник за 1 день.

3) 1/10+ 1/15 = 1/6 пути они проходят вместе за 1 день.

4) 1: 1/6 = 6.

Ответ: за 6 дней.

3. Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идет по 4 версты в час, а второй -по 3 версты в час. Путь же вокруг города составляет 15 верст. Через сколько часов они сошлись, и сколько раз каждый из них обошел вокруг города? | 2

Решение: 1) (в/ч) - скорость отставания второго пешехода.

2) 15 : - =22,5 (ч) - за это время можно преодолеть 15 верст со скоростью (в/ч). 3) 4 • 22,5= 90 (в) - прошел первый пешеход за 22,5 (ч).

4) 3 • 22,5 =75 (в) - прошел второй пешеход за 22,5 (ч). 5) 90 :15=6

(раз) - прошел первый пешеход вокруг города. 6) 75 : 15 - 5 (раз) -

прошел второй пешеход вокруг города.

Ответ: они сошлись через 22,5 часа, первый обошел вокруг города 6 раз, а второй - 5 раз.

4. Один воин вышел из города и проходил 12 верст в день. Другой вышел одновременно с первым и шел так: в 1-й день прошел одну версту, во 2-й день - 2 версты, в 3-й день - 3 версты и так прибавлял в день по версте, пока не догнал первого.

Через сколько дней второй воин догонит первого?

Решение:

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

11-й

12-й

день

день

день

день

день

день

день

день

день

день

день

день

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

За 12 дней расстояние между ними увеличилось до 11+10+9+ +8+7+6+5+4+3+2+1+0=66 верст.

13-й

14-й

15-й

16-й

17-й

18-й

19-й

20-й

21-й

22-й

23-й

день

день

день

день

день

день

день

день

день

день

день

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

На 23 день расстояние сократилось на 1+2+3+4+5+6+7+8+ +9+10+11=66 верст.

Ответ: догонит на 23 день.

5. Прохожий, догнав другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Другой прохожий ответил: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями. А если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно по середине между деревнями».

Сколько верст осталось идти первому прохожему?

Решение: Д1 з^^|>^2в^^--# ^-^^ до

Д1 1/3 2В 2/3 Д2

1) часть всего пути - это 2 версты.

2) (в.) - все расстояние от Д1 до Д2.

3) 12∙ =8 (в.)- осталось пройти.

Ответ: 8 верст.

Занятие 17.

ДЕНЕЖНЫЕ РАСЧЕТЫ

Ученье лучше богатства.

Владимир Даль.

Цель: вспомнить: старинные меры, их использование при решении задач; перевод единиц измерения. ГРИВНА = 10 КОПЕЕК; АЛТЫН = 3 КОПЕЙКИ; ПОЛУШКА = 1/4 КОПЕЙКИ.

1. Некто купил 3/4 аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо заплатить за 11 аршин сукна?

Решение: 1)3: 3=1 (алтын) стоит 1/4 аршина сукна; 2) 1 • 4=4 (алтына) стоит аршин сукна; 3) 4 • 11=44 (алтына) стоят 11 аршин; 44 -3=132 (коп.)= 1 руб. 32 коп.

Ответ: 1 руб. 32 коп.

2. Купили 96 гусей. Половину гусей - по цене 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных заплатили по 2 алтына без полушки.

Сколько стоит покупка?

Решение: 1) 96 : 2=48 (г.) - половина всех гусей.

2) 48 • 2 алт. 7 пол =96 алт. 336 пол.

3) 48 • 2 алт. без пол.= 96 алт. без 48 пол.

4) 96 алт.+96 алт. +(336 пол. - 48 пол.)=192 алт. 288 пол. 1 алт. =12 пол.

192 алт. 288 пол.= 2592 пол.= 648 коп.= 6 руб. 48 коп.

Ответ: 6 руб. 48 коп.

3. Принес крестьянин на рынок яйца. Подходит к нему покупатель и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил: «Двадцать пять яиц без полушки стоят 5 полушек без 5 яиц».

Сосчитайте, по какой цене крестьянин продавал десяток яиц?

Решение: 25 я. - 1 п. =5 п. - 5 я.; 30 я. = 6 п.

2 п. = 10 я.; 2 п. = 1/2 коп.

Ответ: 1 десяток яиц стоит 1/2 коп.

4. Купил полторажды полтора аршина, дал полтретьяжды полтрети гривны.

Сколько за полдевятиджы полдевята аршина?

Пояснение:

Полторажды полтора -

Полтретьяжды полтретьи -

Полдевятижды полдевята - Т.е. полтрети - это

а полдевята - 9 -

аршина гривны. аршина - х гривен.

Ответ: 200 гривны. 36

5. Хозяин послал работника на базар купить 20 птиц: гусей, уток, малых чирков. Он дал работнику 16 алтын. Гусей велел покупать по

3 копейки за штуку, уток - по копейке, а малых чирков - по 2 штуки на копейку. Сколько гусей, уток и малых чирков купил работник?

Решение:

16-3 =48 (коп.) - было.

48 : 3=16 (гусей) можно купить, но не купишь уток и чирков, значит, гусей не больше 15 штук.

20 • 1 = 20 (коп.) - заплатили, если бы все птицы были по копейке.

48 - 20 =28 (коп.) - разница, которую надо заплатить за гусей.

28:2 =14 (гусей) и еще там, где платили по копейке, значит, гусей 15.

15 • 3 = 45 (коп.) - стоят гуси. 48 - 45 = 3 (коп.) - осталось на чирков и уток, а всего их 5. 4 чирка - за 2 копейки и 1 утку - за 1 коп.

Ответ: 15 гусей, 1 утку, 4 чирка.

Занятие 18.

О ПРАВИЛАХ «ФАЛЬШИВЫХ

И ГАДАТЕЛЬНЫХ»

Не всяк умен, кто с головою.

Владимир Даль.

Цель: показать традиционные и нестандартные способы решения задач.

1. Найти такое число, что если к нему прибавить его третью часть и от полученной суммы отнять ее шестую часть, то будет 100.

Решение: Предположим, что это число 144.

∙ 144 = 48 144 + 48 = 192 ∙ 192 = 32 192 - 32 = 160 -не угадали.

Предположим, что это число 108.

∙ 108 = 36 108 + 36 = 144 ∙ 144 = 24 144 - 24 = 120-не угадали.

Вычисляем, насколько мы ошиблись.

В 1-м случае Во 2-м случае

160-100 = 60. 120-100 = 20.

144 60

108 20

108 • 60 = 6480

144 • 20 = 2880

(6480 - 2880): (60 - 20) = 90.

90 - искомое число.

Разность произведений: на разность ошибок = искомому числу.

Таким образом поступают, если оба результата больше (или меньше) данного числа.

Если одно число больше, а другое меньше данного числа, то сумма произведений : на сумму ошибок = искомому числу.

2. Купил некто сукно трех сортов, всего 106 аршин. Первого купил на 12 аршин больше, чем второго, а второго - на 9 аршин больше, чем третьего.

Сколько сукна каждого сорта куплено?

Решение: Предположим, что купили: 32 аршина - первого сорта, 20 аршин - второго сорта, 11 аршин - третьего сорта. Всего - 63 аршин. Ошибка: 106 - 63 = 43 аршина.

Предположим, что купили: 50 аршин - первого сорта, 38 аршин -второго сорта, 29 аршин-третьего сорта. Всего -117 аршин. Ошибка: 117 - 106 = 11 аршин.

32 43

50 11

50- 43 = 2150. 32-11 = 352.

(2150 - 352): (43+11) = 46 (аршин) - сукна первого сорта.

46 - 12 = 34 (аршин) - сукна второго сорта.

34 - 9 = 251 (аршин) - сукна третьего сорта.

3. Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму:

«Если ты дашь мне 2/3 твоих денег, то я один смогу заплатить за корову.

А второй отвечает первому:

«Дай мне 3/4 твоих денег, тогда я заплачу ее цену». Сколько у каждого из них денег, если корова стоит 24 руб.?

Решение: Пусть у первого 12 руб., тогда второй должен ему 12

2

руб., что составляет 2/3 денег второго. Значит, у второго 12 : = 18

руб.

• 12 = 9 (руб.) - первый отдает второму,

18+9 = 27 (руб.) - у второго, а корова стоит 24 руб. Ошибка -3 руб.

Пусть у первого 20 руб., тогда второй должен 4 руб., что состав-

2

ляет 2/3 денег второго. Значит, у второго 4: = 6 руб.

• 20 = 15 (руб.) - первый отдает второму,

6+15=21 (руб.) - у второго, а корова стоит 24 руб. Ошибка -3 руб.

12 3

20 3

20 • 3=60 12 • 3= 36

(60+36): (3+3)= 16 (руб.) - у первого. 2

(24 - 16): = 12 (руб.) - у второго.

Ответ: 16 руб. и 12 руб.

4. Три человека беседуют. Первый, обращаясь к двум другим, говорит: «Если бы я взял из ваших денег по половине, то у меня было бы 17 руб.». Второй, обращаясь к первому и третьему, сказал, что, если бы они дали ему по 1/3 своих денег, то у него стало бы также 17 руб.

Сколько денег имел каждый собеседник?

Ответ: 5 руб.; 11 руб.; 13 руб.

Занятие 19.

НОВОГОДНЕЕ ОРИГАМИ

Взялся за гуж, не говори,

что не дюж.

Владимир Даль.

Цели: Познакомить учащихся с геометрическими фигурами, с их элементами; сделать игрушки для украшения елки из бумаги.

Приятно, когда на новогодней елке не только дорогие игрушки из магазина, но и украшения, сделанные своими руками. Попробуем сделать несколько простых украшений. Поможет нам в этом оригами - японское искусство складывания игрушек из бумаги.

История возникновения оригами уходит корнями в глубокую древность. Начало этого искусства, как утверждают «Японские хроники» («Нихонги»), восходит к 610 году. Все фигуры складываются из прямоугольных или квадратных листов бумаги.

В переводе с японского ори означает сложенный, а коми - бумага.

Загадка

Дед с бородою

на свете живет,

сроду горячего

чая не пьет.

Голова - белый квадрат 15 на 15.

Туловище - красный квадрат 15 на 15.

Голову и туловище соединить с помощью клея. К шапочке сделать помпон.

Помпон. Вырезать 6 равных кругов радиусом 1,5 см. Склеить их по центру, надрезать по краю и распушить.

Занятие 20.

ЖИТЕЙСКИЕ ИСТОРИИ

Не красна книга письмом,

а красна книга умом.

Владимир Даль.

Цель: показать, что одну и ту же задачу можно решать различными методами.

1. Муж выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой - за 10 дней. За сколько дней жена выпьет бочонок кваса?

Решение: 1) 1/14 бочонка выпьет за 1 день муж;

2) 1/10 бочонка выпьют за 1 день вместе;

3) бочонка выпьет за день жена;

4) (д.).

Ответ: За 35 дней.

2. Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза».

Как разделить орехи?

Решение: меньшая часть - х орехов,

большая часть - (130 - х) орехов.

12 х = 130-х,

13 х = 130,

х = 10.

Ответ: 10 орехов; 120 орехов.

3. Двенадцать человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина -2 хлеба, женщина - по половине хлеба, а ребенок - по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин, детей?

Решение: Мужчин было не более 5 человек. Дадим всем по половинке хлеба: 1/2 12 = 6 (х.). Мужчинам не хватает по 1,5 хлеба, а у детей по четверти лишнего.

12-6 = 6 (х.) - осталось,

6 : 1,5=4 (мужчин), но излишки хлеба есть и у детей, и понесут его мужчины. Значит, мужчин 5.

Чтобы получить 1,5 хлеба из четвертинок, нужно 6 четвертей, значит, детей 6.

12-5-6=1- женщина.

Ответ: 5 мужчин; 1 женщина и 6 детей.

4. Пришел крестьянин на базар и принес лукошко яиц. Торговцы его спросили: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» Крестьянин молвил им так: «Я всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню: перекладывал их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6 в лукошко, но каждый раз одно яйцо оставалось на земле. А когда я положил по 7 яиц в лукошко, то ни одного не осталось.

Сочтите, сколько яиц у меня в лукошке?» Решение: Число яиц делится на 7 нацело. Пусть яиц - р. Тогда р -1 делится на 2; 3; 4; 5; 6 нацело. Наименьшее

р - 1 = 60. 60 х +1 = 7у

х=1 61 не делится на 7

х=2 121 не делится на 7

х=3 181 не делится на 7

х=4 241 не делится на 7

х=5 301 делится на 7

Наименьшее число, которое делится на 4; 5; 6; 7, равно 420.

301+421=721,

721+420=1141,

1141+420=1561 и т.д. Ряд чисел бесконечен, но по смыслу задачи-301 яйцо.

Ответ: 301 яйцо.

Занятие 21.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОВМЕСТНУЮ

РАБОТУ

Век живи - век учись.

Владимир Даль.

Цель: показать, что задачи на совместную работу тесно связаны с задачами на движение.

Основными составляющими при решении задач на совместную работу являются: время, производительность труда (работа, выполненная в единицу времени, т.е. скорость работы) и объем выполненной работы.

Это напоминает нам решение задач на движение, где составляющими являются: скорость, время и расстояние.

t- время;

v - скорость; n - производительность;

v • t - расстояние; n∙t - объем выполненной работы.

Если объем выполненной работы не указан, то его принимают за единицу.

1. Воробей склевал горсть пшена за 1 час. Воробьиха склевала горсть пшена за 2 часа. Воробышек склевал горсть пшена за 3 часа. Спрашивается, за какое время они склевали бы пшено вместе?

Решение:

1-й способ

1) За 1 час воробей склевывает горсть пшена, воробьиха - 1/2 горсти пшена, воробышек - 1/3 горсти пшена.

2) 1+1/2+ 1/3= горсти пшена они склевывают за 1 час вместе.

Ответ: за часа они склевывают горсть пшена вместе.

2-й способ.

Пусть воробей, воробьиха и воробышек склевывают пшено за 6 часов. Воробей склюет 6 горстей пшена, воробьиха - 3 горсти пшена, воробышек - 2 горсти пшена. Всего 11 горстей пшена.

6 : 11= -(ч) на 1 горсть пшена.

2. На птицефабрику привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям - на 45 дней.

Рассчитайте, на сколько хватит привезенного корма и уткам, и гусям вместе.

Решение: 1) - всего корма съедают за 1 день все утки.

2) - всего корма съедают за 1 день все гуси. -.

3) - всего корма съедают за 1 день все утки и гуси

вместе.

Ответ: на 18 дней.

3. Плот плывет от А до В 40 часов, а катер - 4 часа.

Сколько часов катер плывет от В до А?

Решение: 1) 1/40 часть пути проплывает плот за 1 час.

2) 1/4 часть пути проплывает катер по течению за час.

3) 1/4 - часть пути проплывает катер в стоячей воде.

4) часть проплывает катер за час против течения.

5)1: =5 (ч).

Ответ: плывет от В до А 5 часов.

4. Пароход идет вниз по течению 2 часа, а вверх - 3 часа.

Сколько времени между теми же населенными пунктами будет

плыть бревно?

Пояснения: Vпо = Vc + Vт Vпо = Vc - Vт

Ответ: 12 часов.

Занятие 22.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ «ОБРАТНЫМ ХОДОМ»

Не пером пишут, а умом.

Владимир Даль.

Цель: показать графический способ решения задач.

1. Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила половину всех яиц и еще пол-яйца. Вторая - половину оставшихся яиц и еще пол-яйца. Третья купила последний десяток.

Сколько яиц хозяйка принесла на базар?

Решение: 10,5 яиц - это пол-остатка, значит, остаток - 21 яйцо.

21,5 яйцо - это половина всех яиц.

Всего 43 яйца.

Ответ: 43 яйца.

2. В первый месяц на ферме израсходовали 1/6 запасенных кормов, во второй месяц - 1/5 остатка, в третий месяц -1/4 остатка, после чего осталось 30 ц кормов.

Сколько ц кормов было заготовлено?

Решение:

1) -остаток.

2) = - - израсходовали за 2 месяц. 5 6 6

3) - у - второй остаток.

4) - израсходовали за 3 месяц.

5) - израсходовали за 3 месяца.

6) 30 : 1/2 = 60 (ц).

Ответ: было заготовлено 60 ц кормов.

3. Мама принесла персики. Ане она дала 1/3 всех персиков. Лене третью часть оставшихся и еще 2 персика. Вене - треть нового остатка и последние 4 персика.

Сколько было всего персиков, и сколько получил каждый ребенок?

Решение: 4 персика - это 2/3 последнего остатка, значит, последний остаток - 6 персиков. 6 + 2= 8 - это 2/3 первого остатка, значит, первый остаток - 12 персиков. 12 персиков - это первый остаток, или 2/3 всех персиков, значит, 18 персиков всего.

6 персиков - Ане.

4 + 2 = 6 персиков - Лене.

18-12 = 6 персиков - Вене.

Ответ: всего 18 персиков, каждый ребенок получил по 6 персиков.

4. Пришли на постоялый двор три богатыря. Пока хозяйка варила им картофель, они уснули. Проснулся ночью первый, увидел на столе картошку, съел 1/3 и снова уснул. Проснулся второй и, не зная, что один из них уже поел, съел 1/3 увиденного картофеля и тоже пошел спать. Проснулся третий и поступил так же, как первые два. Утром, когда проснулись все трое, они обнаружили на столе 8 картофелин.

Сколько картофелин сварила хозяйка?

Ответ: 27 картофелин.

5. Пятиклассник Вася, отправляясь в школу, получил от мамы некоторую сумму денег. По дороге подвернулся ему первоклассник Петя, после чего Васин капитал вырос на 20%, а Петя побежал жаловаться своему заступнику Максу. Вася же от радости прыгал и скакал до тех пор, пока не потерял 6 руб. Пришел Макс, схватил Васю за шиворот и конфисковал у него треть наличных денег. Осталось у Васи 16 руб.

Сколько денег дала Васе мама?

Ответ: 25 рублей.

Занятие 23.

СТАРИННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ НА СМЕШЕНИЕ ВЕЩЕСТВ

Старая пословица век не сломится.

Владимир Даль.

Цель: показать различные способы решения задач.

1. У некоторого человека было масло на продажу разных сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же - 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих масел, смешав их, масло по 7 гривен за

ведро. Какие части этих масел надо смешать, чтобы получить ведро масла по 7 гривен?

Решение:

10 - 6 =4 (г.) - разница в цене между дорогим и дешевым маслом.

Ответ: 3/4 ведра дешевого масла, 1/4 ведра дорогого масла.

2. Имеется серебро: одно - 11-й пробы, а другое - 14-й пробы.

Сколько и какого серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра 12-й пробы?

Решение:

11 2

12 14 1

14 - 11 =3. - 11-й пробы и - - 14-й пробы.

Ответ: 2/3 фунта и 1/3 фунта.

3. Имеется чай трех сортов: цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт.

В каких долях надо смешать эти три сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Решение:

5 6

6

12 1

6+1+2+1= 10 частей, из них 6+2=8 частей по 5 гривен и по 1 части по 12 гривен и 8 гривен.

5 2

6

8 1

Ответ: 8/10 по 5 гривен, 1/10 по 12 гривен и 1/10 по 8 гривен.

4. Некто имеет серебро разных проб: одно -12-й пробы, другое -10-й пробы, третье - 6-й пробы.

Сколько и какого серебра надо взять, чтобы получить серебро 9-й пробы?

Решение:

6 3

9 3+3+1+3=10 частей всего. X

12 3 3+1 =4 части 6-й пробы, 3 части 12-й пробы

и 3 части 10-й пробы.

Ответ: 2/5-6-йпробы, 3/10- 12-йпробы и 3/10 - 10-йпробы.

Занятие 24.

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ

Красна птица перъем,

а человек уменьем.

Владимир Даль.

Цель: показать, какие из известных нам величин находятся в прямой или обратной зависимостях.

Задача.

Прослышал Кузя, что ученые Древней Греции не считали дробные числа числами, думая: «Математика должна изучать только целые числа, с дробными пусть возится «черный люд»: купцы да ремесленники». И снится Кузе сон, будто пришел он в лавку, а за прилавком сам Архимед стоит. Просит Кузя продать ему тетрадку. Ученый говорит: «По одной не продаю. На 4 рубля дам столько штук, сколько рублей стоят 9 тетрадей». «Ничего себе, - думает Кузя, - вот так закавыка!» Потер лоб и составил таблицу.

Количество

Стоимость

х штук

4 руб.

9 штук

х руб.

4/дс стоит одна тетрадь и х 19 стоит одна тетрадь.

4 : х = х : 9,

х² = 36,

х =6.

Вот почему он по одной тетради не продает - дробное число получится.

1. Две собачки у Ерошки весят столько же, сколько и три его кошки. Все кошки Ерошки одного веса, и обе собачки весят одинаково. Есть еще хомячок-толстячок. Собачка весит столько, сколько кошка и хомячок вместе.

Сколько процентов вес хомячка составляет от веса кошки?

Решение: 2 с=3 к,

1 с=1,5 к. 1,5 к+к=х,

1 с=к+х,

х=0,5 к.

Ответ: 50%.

2. Выехал я на прекрасную дорогу и помчался с ветерком. За 2 мин проезжал столько километров, за сколько минут проносился с ветерком 8 км.

Сколько километров я проехал в час?

Решение: t S

2 мин. х км

х мин. 8 км

2 : х = х : 8,

х2=16,

х=Л.

V=4:2 = 2(км/мин.)=2 • 60 =120 (км/ч).

Ответ: 120 км/ч.

3. У Бабы-Яги - именины. Ждет гостей - Змея Горыныча и Кощея Бессмертного. Напекла на троих 2 порции хрумчиков и поймала Ваню. Нет, не для того, чтобы в печке зажарить. Давно уже она не питается Ванями. Мальчик ей нужен, чтобы посчитать кое-что. Говорит ему: «Посчитай-ка, милок, кому сколько хрумчиков дать. Я самая младшенькая - всего-то 200 годков исполнилось. Положи мне целую порцию. Гостям остального хватит. Да дели по какому-нибудь закону. Кощеюшка страх как не любит беззакония».

Узнал Ваня, что Змей Горыныч уж 3 века живет, а Кощей и того больше - 6 веков. По какому закону делить, чтоб Бабку-Ежку не обидеть и порядок соблюсти? Решил: «Буду делить обратно пропорционально возрасту: Яге - порцию, а Горынычу во столько раз меньше, во сколько раз он старше. Если долю Горыныча обозначить за х, то 1 : х = 3 : 2; х =2/3.

Кощею отделю во столько раз меньше, чем Горынычу, во сколько раз он

старше его. Если доля Кощея у, то :у = 6:3; 6 у = 2;у = .

Итак, Яге -1 порцию, Горынычу - 2/3 порции, Кощею -1/3 порции. Уложился!»

Найдите более рациональный способ решения этой задачи.

Решение: Возрасты участников торжества относятся как 2:3:6. Хрумчики распределены обратно пропорционально этим числам, т.е. прямо пропорционально обратным им числам.

- умножим на 2 порции, получим:

4. Отправился Дед Мороз на елку к зайцам. За плечи мешок с морковкой закинул: из расчета каждому косому по 100 морковок. Собрались зайчишки на елку, да на 1/5 меньше того, на что Дед Мороз рассчитывал. Волки ли, охотники ли виноваты!? Вся морковка была роздана всем прибывшим на елку поровну. Сколько получил каждый?

Решение:

Должно быть Было

Зайцев х х

Моркови 100х 100x

4

100 х: - х = 25 ∙ 5=125 (морковок). Ответ: 125 морковок.

Занятие 25.

ИНТЕРЕСНЫЕ СВОЙСТВА ЧИСЕЛ

Люби смородинку,

люби оскоминку.

Владимир Даль.

Цель: познакомить с интересными математическими закономерностями и попытаться их продолжить.

9² = 81 9-7=63

99² = 9801 99-77=7623

999² = 998001 999 • 777= 776223

9999² = ... 9999-7777=...

99999² = ... 99999 • 77777=...

Удивительные примеры:

12345679 9=1111111111

12345679 • 18=2222222222

12345679 ∙∙ 27=3333333333

12345679-36=...

12345679-...=...

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.

Любое такое число можно представить в виде 10А+5:

(10Л+5) (10Л+5) = 10Л(Л+1)+25.

9015²= 901 • 902 • 100+25=81270225.

а² = (а - в){а+в) + в².

27² =(27 - 3)(27+3)+32= 24-30+9=729.

63² =...

68²=...

1. Двое путников одновременно вышли из пункта А по направлению к пункту В. Шаг второго был на 20% короче, чем шаг первого, но зато второй успевал за то же время сделать на 20% шагов больше, чем первый.

Сколько времени потребовалось второму путнику для достижения цели, если первый прибыл в пункт В спустя 5 часов после выхода из пункта А?

Решение:

Шаг второго путника составлял 80% или 0,8 шага первого путника. На каждые 100 шагов первого путника второй успевал сделать 120 шагов, т.е. за то же время второй путник успевал сделать в 1,2 раза больше шагов, чем первый. Следовательно, расстояние, пройденное за некоторое время вторым путником, составляло 0,8 • 1,2 = = 0,96 расстояния, пройденного за то же время первым. Путь, пройденный телом за некоторое время, прямо пропорционален скорости движения. Поэтому скорость второго путника составляла 0,96 скорости первого. Время, которое затрачивает тело на прохождение определенного пути, обратно пропорционально скорости движения. Поэтому продолжительность движения первого путника из А в

В составляет 0,96 продолжительности движения второго путника на этой дистанции.

Для перехода из А в В второму путнику потребовалось: 5 : 0,96= =5,2 (ч)= 5 ч 12 мин.

2. Чтобы сдать книгу в срок в библиотеку, ученик должен был читать ежедневно по 40 страниц. Однако он читал каждый день на 15 страниц меньше и вернул книгу на 6 дней позже срока.

За сколько дней ученик должен был прочитать книгу?

Решение:

Способ 1-й.

Для прочтения книги в сниженном темпе потребовалось дополнительно 6 дней сверх установленного срока. За эти 6 дней ученик прочитал 25 ■ 6=150 страниц, накопившихся в результате того, что в течение запланированного времени «задолженность» возрастала ежедневно на 15 страниц. В соответствии с первоначальным планом срок прочтения книги составлял 150 : 15=10 дней.

Способ 2-й

Обозначим х намеченный срок прочтения книги.

40x=25(л+6);

40х=25х+150;

40х-25л=150;

15х=150;

x=10.

Ответ: 10 дней.

Занятие 26.

ИЗ ИСТОРИИ ИНТЕРЕСНЫХ ЧИСЕЛ

Из поговорки слова не выкинешь.

Владимир Даль.

Цель: познакомить с числами, которые названы чьим-то именем.

Отношение длины окружности к ее диаметру стали обозначать буквой л- первой буквой греческого слова периферия, что означает окружность. Впервые этот символ употребил в 1706 году английский математик Уильям Джонс.

Архимед считал, что

22 совы скучали

На больших сухих суках.

22 совы мечтали

О семи больших мышах,

О мышах довольно юрких,

В аккуратных серых шкурках.

1001 называют числом Шехерезады.

1001 - самое маленькое натуральное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел.

1001= 100+1=10³+1³.

1001=77 13 (Семьдесят семь чертовых дюжин.)

1001 = (104+26+13)- 7=2года+ 1/2 года+1/4 года.

1 год = 52 неделям.

е = 2,718281... - неперово число (основание натуральных логарифмов) названо именем Джона Непера - шотландского математика.

1. Расставить вдоль сторон треугольника цифры 1,2, 3,..., 9 так, чтобы сумма цифр вдоль каждой стороны равнялась 20-ти.

Цифра, стоящая в вершине треугольника, принадлежит каждой из сторон, выходящих из этой вершины.

Решение: Сумма цифр от 1 до 9 равна: 1 + 2 + 3 + +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9=45.

При сумме цифр вдоль каждой стороны, равной 20, сумма цифр по трем сторонам равна 60. Полученная разность 60 - 45=15 объясняется тем, что каждая из цифр, размещенных в вершинах треугольника, принадлежит двум сторонам и суммируется дважды. Следовательно, сумма стоящих в вершинах цифр равна 15. На рисунке приведен один из вариантов размещения цифр. Предлагается самостоятельно отыскать другие варианты.

Ответ: см. рисунок.

2. Из поврежденной книги выпала часть сшитых вместе листов. Номер первой выпавшей страницы -143. Номер последней записан теми же цифрами, но в ином порядке.

Сколько страниц выпало из книги?

Решение: Первая выпавшая страница имеет нечетный номер.

Следовательно, номер последней выпавшей страницы четный и равен 314 (единственное четное число, большее 143 и составленное из тех же цифр).

В книге осталось 142 страницы, предшествующие выпавшим. Поэтому число выпавших страниц равно 314 - 142=172.

Ответ: 172 страницы.

Занятие 27.

ВОЗРАСТ И МАТЕМАТИКА

Не вкусив горького,

не видать и сладкого.

Владимир Даль.

Цель: Показать, что и в молодом возрасте можно достичь многого и хорошими делами прославить свое имя.

Норберт Винер (1894-1964) - американский математик.

В 3 года научился читать, в 11 лет поступил в колледж, в 18 лет получил степень доктора в Гарвардском университете, защитив диссертацию по математике и философии.

Блез Паскаль (1623-1662) - французский математик и физик.

Примерно в 8 лет открыл и доказал ряд теорем Евклида, в 16 лет написал сочинение о конических сечениях, в 24 года открыл закон давления жидкостей и в 31 год создал основы теории вероятностей.

Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) - французский математик.

В 18 лет стал профессором университета в Турине.

Алексис Клод Клеро (1713-1765) - французский математик, геометр и астроном. В 12 лет написал первую научную работу, в 18 стал членом Парижской академии.

Игорь Ростиславович Шафаревич (р. 1923) - вьщающийся российский математик. В 17 лет окончил механико-математический факультет МГУ, в 19 лет защитил кандидатскую, а в 23 года - докторскую диссертацию.

Леонард Эйлер (1707-1783) - математик, механик, физик и астроном.

По происхождению швейцарец. В 20 лет стал адъюнктом Академии наук в Петербурге, спустя четыре года - профессором физики, в 26 лет - профессором математики и академиком.

Эварист Галуа (1811-1832) - французский математик.

В возрасте 16-18 лет разработал отдел алгебры, который сейчас известен, как теория Галуа.

Нильс Хенрик Абель (1802-1829) - норвежский математик. Один из создателей теории алгебраических уравнений.

1. Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось на 27?

Решение:

Удвоенная неизвестная цифра дополняет сумму известных цифр числа до величины, кратной 9.

Сумма известных цифр - четная и равна 16. Удвоенная неизвестная цифра - четная величина. Следовательно, сумма цифр искомого числа - четная и равна 18, так как кратна 9. Итак, искомая цифра равна 1, искомое число -1971.

Ответ: нужно приписать 1.

2. Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

Решение:

Искомое частное равно 6; оно показывает, во сколько раз делимое больше делителя.

Делитель в 6 раз больше частного и равен 36. Делимое в 6 раз больше делителя и равно 216.

Ответ: 216; 36; 6.

3. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8.

Решение:

В обоих случаях - как при делении искомого числа на 7, так и при делении его на 9 - остаток на единицу меньше делителя.

Увеличив делимое на 1, получим число, которое делится без остатка и на 7, и на 9.

Наименьшее такое число - 63. Искомое число на 1 меньше и равно 62.

Ответ: 62.

4. Коля и Вася живут в одном доме, на каждой лестничной клетке которого 4 квартиры. Коля живет на пятом этаже, в квартире 83, а Вася - на 3-м этаже в квартире 169.

Сколько этажей в доме?

Решение:

Если вести сквозной отсчет этажей, начиная с первого подъезда, то Коля живет на 21-м этаже: 83 : 4=20 (ост.З).

В своем подъезде Коля живет на 5-м этаже, поэтому в подъездах, предшествующих Колиному, 16 этажей.

16 делится лишь на числа, кратные 2-м, поэтому в доме может быть либо 16 этажей, либо 8 этажей (вариант четырехэтажного дома исключаем, поскольку Коля живет на 5 этаже).

Вася живет на 43 этаже, считая от первого этажа первого подъезда 169 : 4= 42 (ост. 1).

Значит, в подъездах, предшествующих Васиному, 40 этажей. 40 делится на 8, но не делится на 16, следовательно, в доме 8 этажей.

Замечание.

В процессе решения задачи мы определили числа этажей (16 и 40) в двух разных группах подъездов.

Число этажей в каждой группе подъездов кратно числу этажей в доме, оно равно произведению числа этажей в доме на число подъездов в группе.

Задача сводится к нахождению общего делителя чисел 16 и 40 с условием, что делитель этот не меньше 5.

Ответ: 8 этажей.

Занятие 28.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ

Чего не хочет, того и не слышит.

Владимир Даль.

Цель: показать, как меняется суть задачи при наличии в ней слов: одновременно; в разное время; навстречу друг другу; в разные стороны. 1. Заполните пропуски в тексте задачи, используя данные чертежа.

_30км

А 5 км/ч …км/чВ

Из пунктов А и В одновременно ... друг к другу отправились пешеход и велосипедист. Скорость... 5 км/ч, а скорость... вдвое больше.

Через какое время произойдет встреча, если известно, что расстояние между пунктами А и В равно .. .км?

2. Рассмотрите чертежи. Вычислите, каким будет расстояние между участниками движения через 1 час после одновременного

старта?

3 2

15-км/ч 5 - км/ч 5-► .-5_

А 12 км В А 12^ км В

1 2 - + -4 3

3 5

-+-7 6

4 2 - + -9 3

7 2 -+ -11 3

4 2

- + - 7 5

3_1

4 2

7 1

5 1

11 3

8 4

5 9

8 2

6 3

14 7

6-1

10

7-1 13

5-2 3

2-1 6

4-1 5

Первая команда, которая нашла все ошибки, получает 10 баллов, затем 8 баллов и т.д. 5-й этап. Привал.

1-й экипаж

2-й экипаж

3-й экипаж

4-й экипаж

5-й экипаж

Максимальное количество - 12 баллов, затем 10 баллов и т.д.

Занятие 30.

КАК УРАВНЯТЬ ДВА ВЫРАЖЕНИЯ

Идти в науку - терпеть муку.

Без муки - нет и науки.

Владимир Даль.

Цель: показать, каким образом можно уравнять правую и левую части математического высказывания.

а>в в 2 раза а=2в

1. Составить уравнение и вычислить х, если

груз на левой чашке весов на 0,5 тяжелее, чем на правой.

Решение: 2х - 0,5 = х + 0,2,

х = 0,7.

Груз на левой чашке весов в 3 раза тяжелее, чем на правой.

Решение: х+7= 3(х+1),

х+7=3x+3,

х=2.

2. Медвежонок Ляпа на 1 месяц старше Тяпы. Через 5 месяцев медвежатам вместе будет втрое больше месяцев, чем теперь.

Сколько месяцев каждому медвежонку?

Решение: Сейчас Через 5 месяцев

Ляпе: (х+1) месяц (х+6) месяцев

Тяпе: х месяцев (х+5) месяцев

х+6+х+5=3(х+1+х),

2х+11=6х+3,

4x=8,

х=2.

Ответ: Тяпе - 2 месяца, Ляпе - 3 месяца.

3. У Растеряшки в лукошке было немного ягод: 12 ягод черники, на 5 ягод больше земляники. Растеряшка упал и рассыпал ягоды: несколько ягод черники и вдвое больше земляники. Осталось теперь в лукошке немного ягод черники и на ягодку больше земляники. Сколько всего ягод осталось у несчастного Растеряшки?

Решение: Было Потерял Осталось

Черника 12 х 12-х

Земляника 12+5 2х 17-2х

17-2х-(12-*)= 1,

17-2*-12 + х=1,

х = 4.

Осталось 8 ягод черники и 9 ягод земляники.

Ответ: 17 ягод осталось.

Занятие 31.

КАК НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ

Ум хорошо, а два лучше.

Владимир Даль.

Цель: показать основные приемы работы над текстом задачи.

Одна из целей обучения математике - научиться решать задачи. В соответствии со структурой задачи и процессом ее решения рассматриваются следующие составляющие общего умения решать задачи:

1. Читать текст задачи.

2. Оформлять краткую запись или чертеж.

3. Выделять данные и искомые величины в задаче.

4. Устанавливать связь между искомыми и данными величинами.

5. Переводить словесный текст задачи на математический язык.

6. Устанавливать полноту данных в условии задачи.

7. Актуализировать теоретические знания, необходимые при решении задачи.

8. Давать оценку результатам решения.

При работе над текстом задачи надо помнить, что отдельно взятое слово само по себе не определяет выбора действия, необходимо учитывать сочетание слов и их последовательность расположения в тексте.

При решении задачи с помощью уравнения важно уметь выбирать в тексте основание для составления уравнения.

ОДНА ВЕЛИЧИНА = ДРУГАЯ ВЕЛИЧИНА.

ОДНА ВЕЛИЧИНА + ДРУГАЯ ВЕЛИЧИНА = СУММА ВЕЛИЧИН.

ОДНА ВЕЛИЧИНА - ДРУГАЯ ВЕЛИЧИНА = РАЗНОСТЬ ВЕЛИЧИН.

ОДНА ВЕЛИЧИНА ДРУГАЯ ВЕЛИЧИНА

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕЛИЧИН.

ОДНА ВЕЛИЧИНА : ДРУГАЯ ВЕЛИЧИНА = ЧАСТНОЕ (ОТНОШЕНИЕ) ВЕЛИЧИН.

Памятка по решению задач учащимся

и их родителям

Процесс решения задачи можно разделить на 6 этапов:

1. Анализ задачи.

2. Схематическая запись задачи.

3. Поиск способа решения задачи.

4. Осуществление решения задачи.

5. Проверка решения задачи.

6. Формулировка ответа задачи.

Задача. На трех полках 105 книг, на второй полке на 5 книг больше, чем на первой, а на третьей на 5 книг больше, чем на второй.

Сколько книг на каждой полке?

1. Анализ задачи: Речь идет о трех полках, на которых всего 105 книг. Нам неизвестно количество книг ни на одной полке, но известна разница книг на полках. Задачу будем решать уравнением по схеме:

одна + другая + третья = сумма

величина величина величина величин

2. Схематическая запись. х книг на первой полке, (л+5) книг на второй полке, ((х+5)+5) книг на третьей полке.

3. По условию задачи известно, что всего на трех полках 105 книг.

4. Можно составить уравнение:

х+(х+5)+((;с+5)+5)=105,

Зл+15=105,

х=30.

30 книг на первой полке, 35 книг на второй полке, 40 книг на третьей полке.

5. 30+35+40=105 (книг) - всего.

35 - 30 =5, 40 - 35 = 5 - разница между первой и второй полками, второй и третьей полками.

Ответ: 30 книг; 35 книг; 40 книг.

Помните!

Пока не произведен полный и глубокий анализ задачи, не построена, если нужно, схематическая запись, нельзя приступать к решению задачи.

Поспешность в решении задач вредна.

Обязательно проверьте, верно вы решили задачу или нет.

Проверьте себя, решив задачи:

1. На первой стоянке в 4 раза меньше автомашин, чем на второй. После того, как на первую стоянку приехало еще 35 машин, а со второй уехало 25 машин, автомобилей на обеих стоянках стало поровну.

Сколько машин было на каждой стоянке первоначально?

1) Подчеркните слова, положенные в основу составления уравнения в данной задаче.

2) Измените условие задачи так, чтобы ее можно было решить с помощью следующего уравнения:

а)x + 10=4x-5; г) 4х+д=25;

б)2х = 3x-10; д)(x=10)-(4х-40)=10.

в)4х - х=18;

2. У 10 треугольников и четырехугольников 36 сторон. Сколько треугольников и четырехугольников в отдельности?

Занятие 32.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Наступил на зубья -граблями в лоб.

Владимир Даль.

Цели: обобщить знания по теме «Уравнения»; закрепить их в игровой форме.

1. Что означает полученное слово?

х ∙ 10 = 2,5 Е х + 6,05 = 6,5 П 2 (х + 0,7) = 15 Н

х - 3,2 = 4,8 А 5 - ==0,3 Р

х : 0,8 = 12,5 О 4,2 : х = 0,7 Ф

Решение:

0,45

8

4,7

6

0,25

6,8

10

П

А

Р

Ф

Е

Н

О

Н

Ответ: Парфенон - храм Афины Парфенос на Акрополе в Афинах.

2. Узнайте, каким термином называется числовой множитель.

2x=0,7 Н Зx-x=3 Т 0,3.у=1,2 О

1,4х - x=2 И а-0,2а= Э 2,7х+20,07x=0 Е

y-0,6y=7 Ц 99,5х+ х=13 Ф p-0,25p=0 К

Любое число

4

1

0,13

0,13

5

Нет

корней

5

0

0,35

1,5

Ответ: коэффициент.

3. Решите уравнения:

0,Зх+2,4х=270 0,2(4х+х)=12 2х+.х+0,6=4,2

Б...М Б...М Б...М

Используя найденные ответы, узнайте имена клоунов, если известно, что у Бима корень уравнения совпадает с ответом примера:

40 • 1,25 • 0,8 • 2,5,

а у Бома корень уравнения наименьший. Третьего клоуна зовут Бум.

4. Решите задачу с помощью уравнения:

а) Девочки нашли в лесу мухоморов в 5 раз больше, чем съедобных грибов. Сколько они нашли несъедобных грибов, если расстроенной маме они принесли всего 342 гриба?

Ответ: 285 грибов несъедобных.

б) Марина сделала в диктанте несколько ошибок, Гриша все У нее списал, да еще допустил 5 ошибок. Сколько ошибок допустил каждый, если учитель обнаружил в двух диктантах 35 ошибок?

Ответ: 15 ошибок сделала Марина и 20 ошибок сделал Гриша. 5. Можно ли решить следующие задачи с помощью следующих уравнений?

а) Из двух пунктов, расстояние между которыми 30,6 км, одновременно, навстречу друг другу вышли пешеход и велосипедист, скорость которого в 2 раза больше скорости пешехода. Какова скорость каждого, если через час они встретятся?

2х + х = 30,6.

Ответ: Можно.

б) В автобусе мальчиков в 3 раза больше, чем девочек. Сколько девочек в автобусе, если всего в автобусе 45 человек?

Зх + х + 3 = 45. Ответ: Нельзя.

в) Составьте предыдущую задачу так, чтобы ее можно было решить с помощью этого уравнения.

Ответ: например, «добавить» в автобус троих взрослых.

Занятие 33.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ (Продолжение)

1. Соедините уравнение с его ответом.

х2 =16 Для данного уравнения число 4 является корнем.

1: х = 0,25 -4 - корень.

(х-4) ∙ (х+4) = 0 4 и -4 корни одновременно.

|x| =4-

х: 10 = -0,4.

2.2х = -3, Зх = 2, -1х = -5, 5х=.-, 0х = -7, 7х = 0. 3 3

Какие из высказываний истинные, а какие - ложные?

1. Все уравнения имеют корни.

2. Наименьший корень у четвертого уравнения.

3. Отрицательный корень имеет только одно уравнение. 3.

30

1,5

6

1/3

-30

0

-1,5

1,2

-6

-1/3

Корней

нет

C

К

У

О

Л

Т

И

Б

Р

А

И

Н

Вычеркните буквы, соответствующие корням уравнений, а из остальных составьте слово. Что оно означает?

7х - 11 = -4(3-х); 7х - (4+2х) = 5х+8;

(х+2):4=х:3; -5(2х-4)=11х+20;

Ответ: колибри.

4. Узнайте название звезды, решив уравнения:

х:1,25=4 Л О

Р А

(х²+1)(х+ )=0 Ь

-0,5 | -5

-0,75

5

3,6

-3,6

А

Л

Ь

К

О

Р

Если перевести слово на русский язык, то эта звезда называется «всадник». Рядом с ней есть звезда Мицар, что означает конь. По этим двум звездам в старину проверяли остроту зрения. Тот, кто видел не только коня (Мицар), но и всадника (Алькор), мог стать метким стрелком из лука.

Занятие 34.

«ЗВЕЗДНЫЙ ЧАС ДРОБИ»

Шутка шуткой,

а дело делом.

Владимир Даль.

Цель: в игре определить уровень усвоения темы «Дроби». За верный ответ учащимся выдается звезда. 1-й тур. На доске таблица:

1

2

3

4

5

6

7

8

1

4

7

1

2

17

12

5

- 3

5

6

4

4

5

3

6

У всех играющих в руках таблицы с цифрами от 1 до 8.

На обдумывание вопроса 10 сек.

1. Какая дробь выражает понятие четверть?

2. Какая дробь может быть заменена числом 3 - ?

3. Какая дробь равна 4?

4. Какая дробь больше 1, но меньше 2?

5. Назвать все неправильные дроби.

6. Какую дробь можно назвать словом половина? 2-й тур. У каждого по 9 кубиков с цифрами от 1 до 9.

а) Достать 5 кубиков и составить из них все возможные правильные или несократимые дроби.

в) Достать 5 кубиков и составить из них все возможные непра-

вильные или сократимые дроби. На каждое задание по 30 сек. 3-й тур. На доске таблица:

1

2

3

4

1

1

1

1

3

4

7

8

1. Расположите дроби в порядке возрастания.

2. Вычислить:

На каждое задание по 10 сек.

4-й тур. Заготовить большой квадрат.

За 1 мин. составить из слова, которым мы называем эту фигуру, различные слова. Оценивается не только число составленных слов, но и число букв в словах.

Например: ад, ква, карт, карта, дратва,

рак, вата, квадра,

вар, тара,

дар.

Подведение итогов и награждение победителей с наибольшим числом звезд.

Занятие 34.

Подведение итогов

Литература

1.Аллан Рей, Вилльямс Мартин. Математика на 5. - М., 1998. БалкМ., БалкГ. Поиск решения. - М., 1983. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике. - М., 1984.

2.Кинг Эндрю. Учим дроби. - М., 1998.

3.Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроке математики. - М., 1990.

4.Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. - М., 1988.

5.Никольская И.Л., Семенов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать.-М., 1989.

6.Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. - М., 1996.

7.Оникул ПР. 19 игр по математике. - СПб, 1999.

8.Остер Г. Ненаглядное пособие по математике. - М., 1992.

9.Петраков КС. Математические кружки. - М., 1987.

10.Предметные недели в школе. Математика. - Волгоград, 1997.

Раз, два, три - отвечай!: Математические развлечения для младших школьников. - М., 1993.

11.Смекалка для малышей: Занимательные задачи, загадки, ребусы, головоломки. - М., 1996.

12.Сухинин ИТ. Веселая математика. 1-7 класс. - М., 2003.

13.Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. -М., 1984.

14.Худодатова Л.М. Математика в ребусах, кроссвордах, чайнвордах, криптограммах. - М., 2002.

15.Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика. Задачи на смекалку. -М., 1996.

16.Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике. -М., 1996.

17.Анфимова Татьяна Борисовна. МАТЕМАТИКА. Внеурочные занятия 5-6 классы

ООО «Илекса» г. Москва. 2012г.