Урок-презентация "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Открытый урок по алгебре в 9 классе, проведенный 18 марта 2013г.

Цель урока:

обобщение тем "Арифметическая прогрессия" и "Геометрическая прогрессия".

Задачи урока:

• обобщить и систематизировать теоретические знания учащихся;

• проконтролировать и развивать умения и навыки применять формулы прогрессий при решении задач;

• повысить интерес к предмету.

Ход урока

Организационный момент

Слова учителя:

Изучена данная тема,
Пройдена теории схема,
Вы много новых формул узнали,
Задачи с прогрессией решали.
И вот в последний урок
Нас поведет
Красивый лозунг
"ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД"

Термин "прогрессия" был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio - "движение вперед".

На столах лежат карточки к уроку, ваша цель внимательно посмотреть и записать правильные ответы.

Задача 1(На столе карточка №1)

Определите, какая последовательность является арифметической или геометрической прогрессией, ответы запишите на листочках, найти разность и знаменатель, при проверке повторить определение прогрессий.

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
3) 1; 6; 11; 20; 25;…
4) -4; -8; -16; -32;…
5) 5; 25; 35; 45; 55;…
6)-2; -4; - 6; - 8; - 10;…

Ответ:

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…

арифметическая прогрессия d = 3

2) 3; 9; 27; 81; 243;…

геометрическая прогрессия q = 3

3) 1; 6; 11; 20; 25;…

последовательность чисел

4) -4; -8; -16; -32; …

геометрическая прогрессия q = 2

5) 5; 25; 35; 45; 55;…

последовательность чисел

6) -2; -4; - 6; - 8; - 10;…

арифметическая прогрессия d = - 2

Примерные вопросы

1. Что называется арифметической прогрессией?

2. Что называется геометрической прогрессией?

3. Как вычислить знаменатель геометрической прогрессии?

4. Как вычислить разность арифметической прогрессии?

5. К каким числам принадлежит n?

Давайте послушаем сообщения учащихся по теме «Стремительное размножение». Это интересные факты из жизни животных и насекомых.

Сообщения учащихся

Одна пара кроликов в год приплод в 50 крольчат. Если бы они все оставались в живых, то в грубом приближении можно было бы считать, что число кроликов увеличивается в 25 раз каждый год. Но тогда через 2 года их число увеличилось бы в 625 раз, через 3 года в 15625 раз и т.д. Последовательность чисел 1, 25, 625, 15625... возрастает очень быстро - уже через 5 лет было бы 25⁵, т.е. более девяти миллионов пар ,а еще через 5 лет кролики исчислялись бы биллионами.

Еще быстрее увеличилось бы количество растений мака, если бы каждое маковое зерно давало новое растение. В одной головке содержится примерно 3000 маковых зерен, и уже через 5 лет число потомков одного растения равнялось бы 3000⁵ = 243 000 000 000 000 000. Это примерно по 2000 растений на каждый метр суши, включая песчаные пустыни Сахары и Каракумов и ледяные просторы Ирландии и Антарктиды.

А комнатные мухи размножались бы вообще с головокружительной быстротой. Если считать, что муха откладывает по 200 яичек и в течение лета появляется 7 поколений, то за лето появилось бы более чем 800 000 000 000 000 мух. Эти мухи весили бы несколько десятков миллионов тонн, а выстроенные в одну линию, заняли бы отрезок длиной в 1500 млн. км., что в 10 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство одной пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара.

Разумеется, в действительности мы не наблюдаем такого чудовищного роста - в любом сообществе животных и растений через некоторое время устанавливается динамическое равновесие. Одни питаются другими. Погодные условия также влияют на продолжительность жизни и т.д.

А теперь рассмотрим задачи практического характера. В каких областях можно встретиться с геометрической прогрессией?

Задание 2. Даются 3 задачи по одной каждой группе с заданием: «Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи». Время 3 минуты.

I. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? (256; 128;64; 32; 16;…)

II (Экономика) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)

III. (Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

Выпишите на доске ваши полученные последовательности. Как получается второй член последовательности? Третий?...

(1.Делением предыдущего члена на 2 или умножением на .

2. Умножением предыдущего на 1,05.

3. Умножением предыдущего на 3.)

Эти числа называются знаменателем геометрической прогрессии.

q = (это отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену)

Устная работа

1) Дано: (а n ) , а₁ = 5 d = 3 Найти: а₆ ; а_10.

2) Дано: (b n ) ,b₁= 5 q = 3 Найти: b₃ ; b_5.

3) Дано: (а n ) , а₄ = 11 d = 2 Найти: а₁ ;

4) Дано: (b n ) , b₄= 40 q = 2 Найти: b₁ ;

Ответы 1) а₆ = а₁ +5 d = 5+ 53 = 20

а₁₀ = а₁ +9 d = 5+ 93 = 32

2) b₃ = b₁q² = 5 3² =59=45

b₅ = b₁q⁴ = 5 3⁴ =581=405

3) а₄= а₁ +3 d а₁ = а₄ - 3 d = 11 - 32 = 5

4) b ₄= b₁ q³ b ₁ = b ₄ : q³ = 40 : 2³ = 5

Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в новой форме по алгебре в 9 классе

1.Арифметическая прогрессия (а _n ) задана условием: а _n =6-4n. Какое из чисел не является членом этой прогрессии?

1) -18

2) 2

3) 10

4) -2

Решение:

а _n =6-4n, а_n=-18

-18=6-4n

4n=24

n=6 (да)

а _n =6-4n, а_n=2

2=6-4n

4n=4

n=1 (да)

а _n =6-4n, а_n=10

10=6-4n

4n=-4

n=-1 (нет)

а _n =6-4n, а_n=-2

-2=6-4n

4n=8

n=2 (да)

2. В арифметической прогрессии (с _n ) с₁= -4, а сумма первых девяти ее членов равна 72. Найдите разность арифметической прогрессии.

Решение: S₉=72, с₁=-4. d-?

-72+72d=144

-1+d=2, d=3

Ответ: 3

3. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500м, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение:

В задачах такого типа главное - правильно сделать краткую запись, то есть определить, какие величины нам известны, а какую - надо найти.

В данном случае, 500 м -это сумма всех членов прогрессии; 3 м - это первый член прогрессии, 10 дней - это количество членов. Найти нужно десятый член прогрессии.

S₁₀=500

a₁=3

n=10

a₁₀-?

Удобно воспользоваться второй формулой суммы, так как именно она связывает данные величины с искомой.

Подставим данные и решим это уравнение относительно десятого члена прогрессии.

S₁₀=(a₁+a₁₀) ·5

100=3+ a₁₀

a₁₀=97

В последний день рабочие проложили 97 м туннеля.

Ответ: 97

4.В геометрической прогрессии (с _n ) с₄ = , с ₇= -25. Найдите знаменатель прогрессии (с _n ).

Решение:

с₄=с₁·q³

с₇=с₁·q⁶

= с₁·q³

-25= с₁·q⁶ (2)/(1)

, q³=-5, q=-

Ответ: -

4. В геометрической прогрессии (b _n ) b₁ =-1/27 , а произведение первых пяти ее членов равно -1/243. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что он отрицательный.

Решение:

b₁· b₂·b₃·b₄·b₅

b₁· b₁q· b₁q²· b₁q³· b₁q⁴

(b₁ )⁵ q¹⁰

(b₁q²)⁵=

b₁q²=, q²=:=9, q=±3

Ответ:-3

5.Какая из последовательностей не является геометрической?

А. -3, 6, -12, …

В. 50, 10, 2, …

С. 200, 20, 2, …

D. 64, 2, 8,…

Решение:

Используя свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

А. -3, 6, -12, …(6²=-3·(-12)=36)

В. 50, 10, 2, … (10²=50·2=100)

С. 200, 20, 2, … (20²=200·2=400)

D. 64, 32, 8, … (32²=8·64=512≠1024)

1.Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии: 12,8; 12,5; …

a_n>0,

а₁=12,8; а₂=12,5; d=12,5-12,8=-0,3

d=-0,3
a_n = a1 + (n-1)*d > 0
12,8 + (n-1)*(-0,3) > 0

12,8 + 0,3 -0,3n > 0

-0,3n >-13,1
n < 43,7

т.е. в данной прогрессии 43 положительных членов

S₄₃ = [(2*12.8 + 42*(-0.3))*43] / 2 =((25.6-12.6)*43)/2=13*43/2=559/2=279.5

S₄₃ = 279.5

Ответ: 279.5

2.Между числами 2 и 18 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Решение:

b₁,b₂ ,b₃ ,b₄ ,b₅

2,b₂ ,b₃ ,b₄ ,18

b₁=2, b₅= b₁*q⁴

2*q⁴=18

q⁴=9, q=

b₂ =2*=2

b₃ =2*=6

b₄=6*=6

Ответ: 2,6, 6

3.В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 84, а сумма второго и третьего членов равна 112. Найдите первые три члена этой прогрессии.

b₁+b₂ =84

b₂ +b₃ =112

Найти: b₁ ,b₂ ,b₃

b₁ +b₁q =84

b₁ q+b₁q² =112

b₁(1+q)=84

b₁ q(1+q) =112

b₁(1+q)=84

q*84=112

q=112/84=4/3

b₁=84/(1+q)=84/(7/3)=36

36*(4/3)=48

48*(4/3)=64

Ответ: 36, 48, 64

Конкурс «Допиши, как можешь?»

1) 2, 3, 4, 5, …(6)

2) 10, 9, 8, 7, …(6)

3) 5, 10, 15, 20, …(25)

4) 8, 8, 8, ..(8)

5) 1, 2, 4, 8, …(16)

6) 25, 5, 1, …(1/5)

7) 3, ?, 27, …(9²=3*27=81)

8) 9, ?, 21,…(15=(21+9)/2)

9) 18, ?, 24, …(21=(24+18)/2)

Соотнести и сопоставить формулы прогрессий в таблице для проверки знаний теории.

Прогрессии

Арифметическая

Геометрическая

Определение

, ,

, (n=2,3…, ,)

Формула n первых членов

Сумма n первых членов прогрессии

,

,

Постоянное число

Свойства

,

Подведение итогов

Вопрос к классу:

• Какие еще вопросы мы сегодня повторили при решении задач (свойства степеней с одинаковым основанием, решение неравенств линейных, метод подстановки, действия с дробями и числами разных знаков).

Урок сегодня завершён,

Дружней вас не сыскать.

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут.

Спасибо за урок. До свидания.