СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ урок по геометрии в 9 классе.

Урок
Скалярное произведение векторов

Цели: познакомить учащихся с понятием угла между векторами; ввести скалярное произведение векторов; рассказать о применении скалярного произведения векторов в физике, механике; развивать логическое мышление учащихся; воспитывать математическую культуру; развивать интерес к математике.

Ход урока

1.Организационный момент. Учащимся сообщается тема и план урока.

2.Актуализация знаний. Цели: повторить действия с векторами, понятие длины вектора

Учащиеся отвечают на вопросы: Повторим действия с векторами: 1.Что мы называем вектором? Какие действия над векторами вы знаете? УСТНО.

Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. В С

какие векторы коллинеарны вектору ? О

Какие векторы сонаправлены с вектором ?

Какие векторы равны вектору ? А Д

3. Изучение нового материала.

Цели: ввести понятия угла между векторами и скалярного произведения векторов, сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов, научить решать задачи. в лекционной форме излагается теоретический материал по теме с помощью опорного конспекта.

Учитель. Сегодня мы познакомимся с еще одним действием над векторами: скалярным произведением векторов. Это понятие тесно связано с таким понятием как угол между векторами, поэтому мы сначала познакомимся с этим понятием.

1. Ввести понятие угла между векторами и Пусть даны два вектора и . Рассмотрим сначала, случай, когда векторы не являются сонаправленными. От произвольной точки О отложим векторы , . Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ. Градусную меру этого угла обозначим буквой  и будем говорить, что угол между векторами и равен . Угол между векторами и обозначается так( , ).

Угол между векторами

1.Если векторы а и b сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол между векторами равен 0°.

2.Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°

3.Угол  между векторами и не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и . 4. Обозначение угла между векторами: .

5. Определение углов между векторами на рисунке 301.

Введение еще одного действия над векторами - скалярного умножения векторов. В отличие от суммы и разности векторов скалярное произведение есть число (скаляр) - именно это и обусловило название операции.

9. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу:

Определение. Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

скалярное произведение векторов

Если и , то

а) (0 ≤ < 90°) <=> ( > 0); б) (90° < ≤ 180°) <=> (< 0);

в) <=> ( = 0); г) (= 0°) <=> .

10. Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними: .

Пример.

. Сos 135° = cos (180° - 45°) = - cos 45° = .

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов:

1) ≥ 0 ( > 0 при 0); 2) ;

3) ; 4) .

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи №№ 1039 (а, б, ж, з) и 1040 (а, д, е) по готовым чертежам квадрата и ромба, заранее выполненным на доске.

2. Решить задачу № 1041 (в).

I. Проверочная работа (10 мин).

Вариант I

1. Известно, что , где и - координатные векторы. Выпишите координаты вектора .

2. Дан вектор (0; 5). Запишите разложение вектора по координатным векторам и .

3. Даны векторы (-1; 2) и (2; 1). Найдите координаты суммы векторов и .

4. Найдите координаты вектора , если (-3; 0).

5. Даны векторы (5; 6) и (-2; 3). Найдите координаты вектора .

6. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника.

7. в треугольнике АВС угол А = 45°, АВ = 2, АС = 3. Вычислите .

8. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Чему равен угол между векторами и ?

Вариант II

1. Дан вектор (3; 0). Запишите разложение вектора по координатным векторам и .

2. Известно, что , где и - координатные векторы. Выпишите координаты вектора .

3. Найдите координаты вектора -, если (0; -2).

4. Даны векторы (2; -1) и (3; -1). Найдите координаты разности векторов и .

5. Даны векторы (-1; 9) и (3; -2). Найдите координаты вектора .

6. В треугольнике МРQ угол M = 135°; МР = 5, МQ = 2. Вычислите .

7. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.

8. Чему равно скалярное произведение координатных векторов и ?

II. Изучение нового материала.

1. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

2. Изучение теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и свойств скалярного произведения полезно построить так, чтобы учащиеся сами проводили алгебраические преобразования.

Полученные результаты можно записать в тетради и вынести в настенную таблицу:

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов:

1) ≥ 0 ( > 0 при 0); 2) ;

3) ; 4) .

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1043 (объясняет учитель):

, тогда по правилу треугольника (или по правилу параллелограмма вектор есть равнодействующая сила ).

C = 180° - 120° = 60° (сумма односторонних углов равна 180°). По теореме косинусов из треугольника ВСD найдем ВD:

BD² = BC² + CD² - 2BC ∙ CD ∙ cos C =

= 8² + 15² - 2 ∙ 8 ∙ 15 ∙ = 64 + 225 - 120 = 169;

= 169; = 13.

Ответ: 13.

5. Решить задачу № 1051. Решение

= 1 ∙ 2 cos 60° + 2 ∙ 2 cos 60° = 2 ∙ + 4 ∙ = 1 + 2 = 3.

Ответ: 3.

6. Решить задачу № 1049 на доске и в тетрадях (для угла А объясняет учитель):

Решение

cos A = ; cos A = , то A = 60°.

2) cos B = ;

= 1 + 12 = 13;

BC = = 3,5;

cos B = ≈ 0,9286; B находим по таблицам Брадиса:

B ≈ 21°47′. 3) C = 180° - 60° - 21°47′ ≈ 98°13′.

Ответ: A = 60°; B ≈ 21°47′; C ≈ 98°13′.

7. Решить задачу № 1052. Решение

= 5² - 2 ∙ 5 ∙ 2 cos 90° + 2² - 4² =

= 25 + 4 - 16 = 13; = 13.

Ответ: 13.

8. Решить задачу № 1066.Решение По условию .

= 9 ∙ 1 - 24 ∙ 1∙ 1 ∙ 0 + 16 ∙ 1 = 25.

= 25, тогда = 5.

Ответ: 5.

I. Математический диктант (10 мин).

Вариант I

1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а угол между ними равен 120°.

2. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно 0. Определите угол между векторами и .

3. Вычислите скалярное произведение векторов и , если (3; -2), (-2; 3).

4. Найдите угол между ненулевыми векторами (х; у) и (-у; х).

5. Вычислите косинус угла между векторами и , если (3; -4), (15; 8).

6. Даны векторы (2; -3) и (х; -4). При каком значении х эти векторы перпендикулярны?

Вариант II

1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а угол между ними равен 135°.

2. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Определите угол между этими векторами.

3. Вычислите скалярное произведение векторов и , если (-4; 5), (-5; 4).

4. Найдите угол между ненулевыми векторами (х; -у) и (у; х).

5. Вычислите косинус угла между векторами и , если (-12; 5), (3; 4).

6. Даны векторы (3; у) и (2; -6). При каком значении у эти векторы перпендикулярны?

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 1025 (б, е, з) на доске и в тетрадях, используя микрокалькулятор.

2. Решить задачу № 1056 на доске и в тетрадях.

Решение

Пусть АВСD - данный ромб. Выразим векторы и через векторы и :

используя эти выражения, получаем:

так как АD = АВ. Следовательно, АС ВD, то есть доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

3. Решить задачу № 1042 на доске и в тетрадях.

б)

cos 120° = cos (180° - 60°) = -cos 60° = -.

в) ∙ cos 90° = 0, так как cos 90° = 0;

г) ∙ cos 0° = a ∙ a ∙ 1 = a².

ответ: а) a²; б) -a²; в) 0; г) а².

4. Решить задачу № 1050.

Решение

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, тогда

.

= 5² - 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ + 8² = 25 - 40 + 64 = 49, ; значит,
= 7.

Опорный конспект.

Опорный конспект по теме: «Скалярное произведение векторов»

Повторим действия с векторами: 1.Что мы называем вектором? Какие действия над векторами вы знаете? УСТНО.

Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. В С

какие векторы коллинеарны вектору ? О

Какие векторы сонаправлены с вектором ?

Какие векторы равны вектору ? А Д

Изучение новой темы. Обозначение угла между векторами: .

1. Угол между векторами и не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и .

2. Угол между сонаправленными векторами считается равным нулю.

3.Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°

Задание 1.

Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Если и , то а) (0 ≤ < 90°) <=> ( > 0); б) (90° < ≤ 180°) <=> (< 0);

в) <=> ( = 0); г) (= 0°) <=> .

Пример. Длина вектора а равна 2, а длина вектора в равна 3 и угол между ними 135⁰. Найдите скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов: 1) ≥ 0 ( > 0 при 0); 2) ;

3) ; 4) .