Понятие функции

Начнем с примеров.

Пример 1. Из геометрии известно, что объем куба равен кубу длины его ребра. Это утверждение носит общий характер, оно относится к любому кубу. Естественно, соответствующее ему равенство написать также в общем виде. Пусть - длина ребра куба, - его объем. Тогда указанное геометрическое свойство можно записать следующим образом:

У = а3 (а>0). (1)

Неравенство, записанное в скобках, говорит, что указанное свойство нас интересует только для положительных значений , потому что длина ребра куба есть положительное число.

Равенством (1) пользуются как формулой, при помощи которой вычисляется объем любого конкретного куба. Мы видим, что каждому значению длины ребра в силу закона, выражаемого формулой (1), соответствует определенное значение объема . В таком случае говорят, что есть функция от , определенная для положительных значений . Говорят еще, что есть функция от , определенная на множестве положительных чисел .

Пример 2. Из физики известно, что при прямолинейном движении тела с постоянной скоростью, например 80 (км/ч), путь (км), пройденный этим телом за время (ч), вычисляется по формуле

. (2)

Каждому неотрицательному значению в силу закона, выражаемого формулой (2), соответствует определенное значение . Поэтому и в этом случае говорят, что есть функция от , определенная для неотрицательных значений или определенная на множестве неотрицательных чисел .

Приведем общее определение функции.

Пусть есть некоторое множество чисел, и пусть каждому числу из этого множества в силу некоторого закона приведено в соответствие число , тогда говорят, что есть функция от , определенная на заданном множестве.

Называют еще независимой переменной или аргументом, а зависимой переменной или функцией от .

Еще одним примером функции может служить зависимость

.

В этом примере закон зависимости переменной от переменной заключается в том, что каждому числу ставится в соответствие число , равное трем . Говорят еще, что функция, выражающая эту зависимость, задана формулой .

Функция может быть задана в виде таблицы. Например, если измерять температуру воздуха через каждый час, то каждому моменту времени будет соответствовать определенное число . Это соответствие можно записать в виде таблицы:

Время , час

0

…

7

8

9

10

11

12

Температура , ° С

18

…

16

15

13

9

8

10

Таким образом, мы получили, что есть функция от , определенная на множестве целых чисел от 0 до 12 и заданная таблицей. Закон, в силу которого каждому из этого множества соответствует , определяется в данном случае не формулой, а таблицей.

В дальнейшем мы будем изучать в основном функции, определяемые формулами.

Вопросы.

1. Что называется функцией?

2. Что называется аргументом?

Упражнения.

1. Привести пять примеров функций, заданных формулами

2. Записать периметр квадрата как функцию длины его стороны .

3. Привести пример функции, заданной таблицей.